离散数学综合测试答案.docx

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离散数学综合测试答案

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离散数学形成性考核作业4

离散数学综合练习书面作业

要求：

学生提交作业有以下三种方式可供选择：

1.可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅．

2.在线提交word文档．

3.自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传．

一、公式翻译题

1．请将语句“小王去上课，小李也去上课．”翻译成命题公式．

答：

设P：

小王去上课。

Q：

小李去上课。

则命题公式为：

P∧Q

2．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．

答：

设P：

他去旅游。

Q：

他有时间。

则命题公式为：

P→Q

3．请将语句“有人不去工作”翻译成谓词公式．

答：

设A（x）：

x是人B（x）：

去工作则谓词公式为：

∃x（A（x）∧B（x））

4．请将语句“所有人都努力学习．”翻译成谓词公式．

答：

1设A（x）：

x是人B（x）：

努力学习则谓词公式为：

∀x（A（x）∧B（x））

二、计算题

1．设A={{1},{2},1,2}，B={1,2,{1,2}}，试计算

（1）（AB）；

（2）（A∩B）；（3）A×B．

解：

（1）A-B={{1},{2}}

（2）A∩B={1,2}（3）A×B={<{1},1>,<{1},2>,<{1},{1,2}>,<{2},1>,<{2},2>,<{2},{1,2}>,<1,1>,<1,2>,<1,{1,2}>,<2,1>,<2,2>,<2,{1,2}>}

2．设A={1，2，3，4，5}，R={|xA，yA且x+y4}，S={|xA，yA且x+y<0}，试求R，S，RS，SR，R-1，S-1，r（S），s（R）．

解：

R={<1,1>,<1,2>,<1,3><2,1><2,2><3,1>}S=空集R•S=空集S•R=空集R-1={<1,1>,<2,1><3,1><1,2><2,2><1,3>}S-1=空集r（S）={<1,1><2,2><3,3><4,4><5,5>}s（R）={<1,1><1,2><1,3><2,1><2,2><3,1>}

3．设A={1,2,3,4,5,6,7,8}，R是A上的整除关系，B={2,4,6}．

（1）写出关系R的表示式；

（2）画出关系R的哈斯图；

（3）求出集合B的最大元、最小元．

1）R={<1,1><1,2><1,3><1,4><1,5><1,6><1,7><1,8><2,2><2,4><2,6><2,8><3,3><3,6><4,4><4,8><5,5><6,6><7,7><8,8>}

（2）R的哈斯图为：

（3）集合B没有最大元，最小元是2

4．设G=，V={v1，v2，v3，v4，v5}，E={（v1,v3），（v2,v3），（v2,v4），（v3,v4），（v3,v5），（v4,v5）}，试

（1）给出G的图形表示；

（2）写出其邻接矩阵；

（3）求出每个结点的度数；（4）画出其补图的图形．

1.G的图形为：

2.邻接矩阵为：

3.补图为：

（3）v1结点度数为1，v2结点度数为2，

v3结点度数为3，v4结点度数为2，v5结点度数为2：

5．图G=，其中V={a,b,c,d,e}，E={（a,b）,（a,c）,（a,e）,（b,d）,（b,e）,（c,e）,（c,d）,（d,e）}，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试

（1）画出G的图形；

（2）写出G的邻接矩阵；

（3）求出G权最小的生成树及其权值．

1.G的图形

2.邻接矩阵；

3.最小的生成树及其权值．

6．设有一组权为2,3,5,7,17,31，试画出相应的最优二叉树，计算该最优二叉树的权．

解：

二叉树的权

权：

2*5+3*5+5*4+7*3+17*2+31=131

7．求P®QÚR的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式．

解：

PQR⇔RQR

取范式、合取范式、主合取范式都为：

RQR

主析取范式为：

（PQR）（PQR）（PQR）

（PQR）（PQR）（PQR）（PQR）

8．设谓词公式

．

（1）试写出量词的辖域；

（2）指出该公式的自由变元和约束变元．

答：

（1）量词x的辖域为：

P（x,y）→（∀z）Q（y,x,z）

量词z的辖域为：

Q（y,x,z）

量词y的辖域为：

R（y,z）

（2）P（x,y）中的x是约束变元，y是自由变元

Q（y,x,z）中的x和z是约束变元，y是自由变元R（y,z）中的z是自由变元，y是约束变元

9．设个体域为D={a1,a2}，求谓词公式（y）（x）P（x,y）消去量词后的等值式；

答：

（y）（x）P（x,y）=xP（x,a1）xP（x,a2）

=（P（a1,a1）P（a2,a1））（P（a1,a2）P（a2,a2））

三、证明题

1．对任意三个集合A,B和C，试证明：

若A´B=A´C，且A¹

，则B=C．

证明：

（1）对于任意∈A×B,其中a∈A,b∈B,因为A×B=A×C,必有∈A×C,其中b∈C因此B⊆C

（2）同理,对于任意∈A×C,其中,a∈A,c∈C,因为A×B=A×C，必有∈A×B,其中c∈B,因此C⊆B

由

（1）

（2），得B=C。

2．试证明：

若R与S是集合A上的自反关系，则R∩S也是集合A上的自反关系．

证明：

若R与S是集合A上的自反关系,则任意x∈A,∈R,∈S,从而∈R∩S,注意x是A的任意元素,所以R∩S也是集合A上的自反关系

3．设连通图G有k个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加

条边才能使其成为欧拉图．

证明：

由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k是偶数．

又根据定理4.1.1的推论，图G是欧拉图的充分必要条件是图G不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图．故最少要加k/2条边到图G才能使其成为欧拉图．

4．试证明（P（QR））PQ与（PQ）等价．

（P（QR））PQ

⇔（P（QR））PQ

⇔（PQR）PQ

⇔（PPQ）（QPQ）（RPQ）

⇔（PQ）（PQ）（PQR）

⇔PQ

⇔（PQ）

5．试证明：

Ø（A∧ØB）∧（ØB∨C）∧ØCÞØA．

（P（QR））PQ

⇔（P（QR））PQ

⇔（PQR）PQ

⇔（PPQ）（QPQ）（RPQ）

⇔（PQ）（PQ）（PQR）

⇔PQ

⇔（PQ）