学年高考数学总复习 简单的线性规划提高知识梳理doc.docx
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学年高考数学总复习简单的线性规划提高知识梳理doc
2019-2020学年高考数学总复习简单的线性规划提高知识梳理
【考纲要求】
1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。
2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。
3.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；
4.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。
5.熟练应用不等式性质解决目标函数的最优解问题。
【知识网络】
【考点梳理】
【高清课堂：
不等式与不等关系394841知识要点】
考点一：
用二元一次不等式（组）表示平面区域
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
要点诠释：
画二元一次不等式
或
表示的平面区域的基本步骤：
①画出直线
（有等号画实线，无等号画虚线）；
②当
时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当
时，另取一特殊点判断；
③确定要画不等式所表示的平面区域。
简称：
“直线定界，特殊点定域”方法。
考点二：
二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
因为对在直线Ax+By+c=0同一侧的所有点（x,y），实数Ax+By+c的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点（x0,y0）（若原点不在直线上，则取原点（0,0）最简便）.把它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0（或<0）表示直线的哪一侧.
要点诠释：
判断二元一次不等式Ax+By+c>0（或<0）表示直线的哪一侧的方法：
因为对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点（x,y），数Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点（x0,y0）（若原点不在直线上，则取原点（0,0）最简便），它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0（或<0）表示直线的哪一侧.
考点三：
线性规划的有关概念：
①线性约束条件：
在一个问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x、y的一次式z=ax+by（a，b∈R）是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
要点诠释：
在应用线性规划的方法时，一般具备下列条件：
①一定要能够将目标表述为最大化（极大）或最小化（极小）的要求。
②一定要有达到目标的不同方法，即必须要有不同的选择的可能性存在；
③所求的目标函数是有约束（限制）条件的；
④必须将约束条件用代数语言表示成为线性等式或线性不等式（组），并将目标函数表示成为线性函数。
考点四：
解线性规划问题总体步骤：
设变量→找约束条件，找目标函数
作图，找出可行域
求出最优解
要点诠释：
线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：
①在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；
②给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．
【典型例题】
类型一：
二元一次不等式（组）表示的平面区域
例1.用平面区域表示不等式组
.
【解析】不等式
表示直线
右下方的区域，
表示直线
右上方的区域，
取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。
举一反三：
【变式1】画出不等式组
表示的平面区域并求其面积。
【解析】如图，面积为
；
【变式2】由直线
，
和
围成的三角形区域（如图）用不等式组可表示为。
【解析】
【变式3】求不等式组
表示平面区域的面积.
【解析】不等式所表示的平面区域如图
联立方程组得
所以
例2.画出下列不等式表示的平面区域
（1）
；
（2）
【解析】
（1）原不等式等价转化为
或
（无解），
故点
在区域
内，如图：
（2）原不等式等价为
或
，如图
举一反三：
【变式1】用平面区域表示不等式
（1）
；
（2）
；（3）
【解析】
（1）
（2）（3）
例3.求满足不等式组
的整数解.
【解析】设
：
，
：
，
：
，则
由
，得
，
由
，得
由
，得
于是看出区域内点的横坐标在
内，取
，
当
时，代入原不等式组有
，即
，得
＝－2，
∴区域内有整点
。
同理可求得另外三个整点
、
、
.
举一反三：
【变式1】求不等式组
的整数解。
【解析】如图所示，
作直线
，
，
，
在直角坐标平面内画出满足不等式组的区域，
此三角形区域内的整点（2,1），（1,0），（2,0），（1,－1），（2,－1），（3,－1）即为原不等式组的整数解。
类型二：
图解法解决简单的线性规划问题.
【高清课堂：
不等式与不等关系394841基础练习一】
例4．设变量
满足约束条件
，则目标函数
的最大值为（）
A．12B．10C．8D．2
【解析】由约束条件
可知可行域如图：
平移
知在
处取得最大值
答案：
B
举一反三：
【变式1】求
的最大值和最小值，使式中的
满足约束条件
.
【解析】在平面直角坐标系内作出可行域（如图所示）
作直线
，把
向右上方平移至
位置，
即直线
经过可行域上点A时，
距原点距离最大，且
，
这时目标函数
取得最大值.
由方程组
，解得
，∴
.
把直线
向左下方平移至
位置，即直线l经过可行域上点B时，由于
，
这时目标函数
取得最小值.
由方程组
，解得
，∴
.
【变式2】给出平面区域如图所示，若使目标函数
取得最大值的最优解有无穷个，则
的值为.
【解析】由题意结合图形可知,线性目标函数与可行域的一边界平行,可得
.
【变式3】如果点
在平面区域
上，点
在曲线
上，那么
的最小值为（）
A．
B．
C．
D．
【解析】不等式组
表示的平面区域如图所示，
要求
的最小值只需求出圆心
到平面区域的最小值再减去半径1即可。
由图象可以知道圆心
到平面区域的最小值就是圆心
到直线
的距离
（垂足为A）
所以
，故选Ａ
例5.已知
、
满足约束条件
，求下列各式的最大值和最小值.
（1）
；
（2）
.
【解析】
（1）不等式组表示的平面区域如图所示：
求出交点
，
，
，
作过点
的直线
:
，平移直线
，得到一组与
平行的直线
:
.
可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于
的直线中，
当
经过点
时的直线
所对应的
最大，所以
；
当
经过点
时的直线
所对应的
最小，所以
.
（2）不等式组表示的平面区域如图所示：
作过点
的直线
:
，平移直线
，得到一组与
平行的直线
:
.
可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于
的直线中，
当
经过线段
上的所有点时的直线
所对应的
最大，所以
；
当
经过点
时的直线
所对应的
最小，所以
.
举一反三：
【变式1】求
的最大值和最小值，使式中的
、
满足约束条件
.
【解析】不等式组所表示的平面区域如图所示：
从图示可知，直线
在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，
以经过点
的直线所对应的
最小，
以经过点
的直线所对应的
最大.
所以
，
.
类型三：
某些实际背景的线性规划问题.
例6.某厂生产甲、乙两种产品，生产甲种产品每件要消耗煤9吨，电力4千瓦，使用劳动力3个，获利7000元：
生产乙种产品每件要消耗煤4吨，电力5千瓦，使用劳动力10个，获利12000元。
有一个生产日，这个厂可动用的煤是360吨，电力是200千瓦，劳动力是300个，问应该如何安排甲、乙两种产品的生产，才能使工厂在当日的获利最大，并问该厂当日的最大获利是多少?
【解析】设生产甲产品x件，乙产品y件
约束条件：
，
目标函数：
z=7000x+12000y
如图：
目标函数经过A点时，z取得最大值
，即A（20，24）
∴当x=20,y=24时，zmax=7000×20+12000×24=428000（元）。
答：
安排甲产品20件，乙产品24件时，利润最大为428000元。
举一反三：
【变式1】某运输公司有7辆载重量为6t的A型卡车与4辆载重量为10t的B型卡车，9名驾驶员，在建筑某段高速公路中，此公司承担了每天至少搬运360t沥青的任务，已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车8次，B型卡车6次，每辆卡车每天往返的成本费为A型卡车160元，B型卡车252元，每天派出A型车与B型车各多少辆，才能使公司所花的成本费最低？
【解析】设派出A型车x辆，B型车y辆，所花成本费为z=160x+252y，且x、y满足给条件如：
，即
如图所示，作出不等式表示的区域，
作直线
，即
，
作直线
的平行线
：
当直线
经过可行域内A点时，
纵截距最小，
可得A点坐标为
。
∵z=160x+252y，∴
，式中
代表该直线的纵截距b，
而直线
的纵截距b取最小值时，z也取得最小值，
即
过
时，
，
但此时
，
∴z=1220.8到不到，即它不是可行解，调整x、y的值，
当x=5，y=2时，点
在直线4x+5y=30上，且在可行域内符合x、y要求。
∴派5辆A型车，2辆B型车时，成本费用最低，
即zmin=160×5+2×252=1304（元）.
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