4.若LTI系统的输入x(n)和输出y(n)满足下列差分方程
y(n)=ay(n-1)+x(n)
求起始条件分别为h(n)=0,n<0和h(n)=0,n>0时的单位脉冲响应。
解:
(1)令x(n)=δ(n),根据起始条件可递推如下
y(0)=δ(0)=1,y
(1)=ay(0)=a,……y(n)=ay(n-1)=a^-n
因此h(n)=y(n)=a^-n.u(n)
(2)将差分方程改写成
y(n-1)=1/a[y(n)-x(n)]
n→n+1,则y(n)=1/a[y(n+1)-x(n+1)]
根据起始条件可递推如下
y(0)=1/a[y
(1)-δ
(1)]=0,y(-1)=1/a[y(0)-δ(0)]=-1/a,……y(n)=ay(n-1)=-a^-n
因此h(n)=y(n)=-a^-n.u(-n-1)
第三章:
1本章涉及信号及系统的频域分析方法,概念较多,但很基础,学习时要注意。
2.DFT是为适应计算机分析傅里叶变换规定的一种专门运算,本章是数字信号处理课程的重点章节。
一、重点与难点
1.序列的傅里叶变换(DTFT)的定义、物理意义和性质;
2.z变换的定义、收敛域、性质,z反变换;
3.系统函数,收敛域与系统因果、稳定性的关系;
4.频率响应的定义,几何确定法。
5.DFT的定义、性质,DFT与z变换、DTFT之间的关系;
6.循环卷积的计算;
7.频域采样定理;
8.圆周卷积和线性卷积的关系,DFT计算线性卷积的框图;
二、具体讲解
1.离散时间系统的频率响应
系统的单位脉冲响应h(n)的离散时间傅里叶变换
称为系统的频率响应,它表征了离散时间系统在频域中的特性。
一般来说,是复函数,表示为
其中,||称为系统的幅度响应或幅度特性,arg[]称为系统的相位响应或相位特性。
系统的频率响应是以2π为周期的ω的连续函数,这一点和连续系统的频率响应是不同的,学习时应加以注意。
若h(n)为实数,则系统的幅度响应在区间内是偶对称的,而相位响应是奇对称的。
2.傅里叶变换时域、频域对应关系
根据序列的傅里叶变换和离散傅里叶级数频域特性,再结合连续时间信号的傅里叶变换频域特性,我们可以得出傅里叶变换时、频域的一般对应关系:
连续→非周期,离散→周期。
这种对应关系很重要,要求熟记。
3.一些常用序列的z变换
(1)单位脉冲序列
Z[]=1
(2)实指数信号
,
,
,
,
4.系统函数零极点分布对系统特性的影响
系统稳定的充要条件是系统函数H(z)的收敛域包括单位圆,一个稳定的因果系统的系统函数的所有极点都在单位圆内。
对这些结论要能够理解。
5.频域采样定理
离散傅里叶变换相当于信号傅里叶变换的等间隔采样,也就是说实现了频域的采样,便于计算机计算。
那么是否任一序列都能用频域采样的方法去逼近呢?
这是一个很吸引人的问题。
我们考虑一个任意的绝对可和的序列x(n),它的z变换为
如果对X(z)单位圆上进行等距离采样
现在要问,这样采样以后,信息有没有损失?
或者说,采样后所获得的有限长序列xN(n)能不能代表原序列x(n)。
为了弄清这个问题,我们从周期序列开始
由于
所以
也即是原非周期序列x(n)的周期延拓序列,其时域周期为频域采样点数N。
在第一章我们看到,时域的采样造成频域的周期延拓,这里又对称的看到,频域采样同样造成时域的周期延拓。
因此,如果序列x(n)不是有限长的,则时域周期延拓时,必然造成混叠现象,因而一定会产生误差。
对于长度为M的有限长序列,只有当频域采样点数N大于或等于序列长度M时,才有
即可由频域采样值X(k)恢复出原序列x(n),否则产生时域混叠现象,这就是所谓的频域采样定理。
例题
1.求,的反变换。
解:
X(z)全为一阶极点,故极点上的留数为:
所以
根据给定的收敛域,可知第一项对应于因果序列,第二项对应于左边序列,因此
2.已知H(z)=1-z^-N,利用几何法分析系统的幅频特性。
解:
H(z)的极点为z=0,这是一个N阶极点,它不影响系统的幅频特性。
零点有N个,令
z^N-1=0
则
,k=0,1,2...N-1
N个零点等间隔分布在单位圆上。
当ω从0变化到2π时,每遇到一个零点,幅度为0,在两个零点的中间幅度最大,形成峰值。
通常将图所示幅频特性的滤波器称为梳状滤波器。
3.对有限长序列的Z变换在单位圆上进行5等份采样,得到采样值,即
,
试根据频率采样定理求的逆离散傅里叶变换。
解:
3.快速傅里叶变换并不是一种新的变换,它是离散傅里叶变换的一种快速算法。
、重点与难点
1.DFT提高运算量的途径;
2.基2FFT的算法原理和FFT运算特点;
3.实序列FFT算法思路
2.画一个按时间抽取4点序列的基2FFT流图。
在图上标明时域、频域各输入、输出项的排列顺序,并标出由第4根水平线(从上往下数)发出的所有支路的系数。
解:
第四章
1掌握IIR和FIR两种滤波器的基本网络结构。
一、重点与难点
1.信号流图与方框图;
2.IIR滤波器的基本结构;
3.FIR滤波器的基本结构。
1.已知IIRDF系统函数,画出直接型的结构流图。
解:
其对应的差分方程为
2.已知FIR滤波器的单位脉冲响应为
试画出其直接型结构。
解:
2.设计IIR滤波器常用的两种设计方法——脉冲响应不变法和双线性变换法。
一、重点与难点
1.数字滤波器的分类,理想滤波器的幅频特性,性能指标;
2.模拟滤波器的分类、特点和设计方法;
3.脉冲响应不变法和双线性变换法的变换原理,s域和z域的映射关系,优缺点;
1.图示是由RC组成的模拟滤波器
(1)写出传输函数;
(2)选用一种合适的转换方法将转换成数字滤波器,设采样间隔为T;
(3)比较脉冲响应不变法和双线性变换法的优缺点。
解:
(1)由图可知该滤波器为模拟高通滤波器
(2)采用双线性变换法,因为选用脉冲响应不变法,会在高频处发生频率混叠现象。
(3)脉冲响应不变法:
优点:
时域逼近良好,;
缺点:
容易产生混叠失真,只适用于带限滤波器;
双线性变换法:
优点:
设计运算简单;避免了频谱的混叠效应,适合各种类型滤波器;
缺点:
,会产生非线性频率失真。
3.线性相位FIR滤波器常用的两种设计方法——窗函数法。
一、重点与难点
1.线性相位的基本概念;
2.线性相位滤波器的分类、特点;
3.窗函数法的设计思路,所设计滤波器与理想滤波器的不同之处,产生原因;
4.窗函数的特点,窗函数在设计滤波器中的作用,对窗函数的要求;
5.频率采样法的设计思路。
二、具体讲解
1.四种线性相位FIR滤波器的特性
实际使用时,一般来说,1型适合构成低通、高通、带通、带阻滤波器;2型适合构成低通、带通滤波器;3型适合构成带通滤波器;4型适合构成高通、带通滤波器。
习题1用矩形窗口设计法设计一个FIR线性相位低通数字滤波器,已知ωc=0.5π,N=21。
解:
写出理想的频响,求得理想冲激响应为
计算得
加矩形窗
所以
2.根据下列技术指标,设计一个FIR低通滤波器。
通带截止频率ωp=0.2π,通带允许波动Ap=0.25dB;
阻带截止频率ωs=0.3π,阻带衰减As=50dB。
解:
查表可知,海明窗和布拉克曼窗均可提供大于50dB的衰减。
但海明窗具有较小的过渡带从而具有较小的长度N。
据题意,所设计的滤波器的过渡带为
利用海明窗设计的滤波器的过渡带宽,所以
理想低通滤波器的截止频率为
理想低通滤波器的单位脉冲响应为