高考学年最新数学高考一轮复习训练高考大题专项练2 高考中的三角函数与解三角形.docx
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高考学年最新数学高考一轮复习训练高考大题专项练2高考中的三角函数与解三角形
高考大题专项练二 高考中的三角函数与解三角形
1.（2017山师大附中一模）设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=
acosB.
（1）求角B的大小;
（2）若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.
2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.
（1）证明:
A=2B;
（2）若cosB=
求cosC的值.
3.在△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD的面积是△ADC面积的2倍.
（1）求
;
（2）若AD=1,DC=
求BD和AC的长.
4.（2017湖北武汉五月调考）在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足
.
（1）求角A的大小;
（2）若D为BC上一点,且
=2
b=3,|AD|=
求a.
5.已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a+b=
c,2sin2C=3sinAsinB.
（1）求角C;
（2）若S△ABC=
求c.
6.（2017辽宁鞍山一模）已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2,c=3,△ABC的面积为
又
=2
∠CBD=θ.
（1）求a,A,cos∠ABC;
（2）求cos2θ的值.
7.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos2C-cos2A=2sin
sin
.
（1）求角A的值;
（2）若a=
且b≥a,求2b-c的取值范围.
8.
如图,在△ABC中,∠BAC=90°,点D为斜边BC上一点,且AC=CD=2.
（1）若CD=2BD,求AD的长;
（2）若AD=
BD,求角B的正弦值.
参考答案
高考大题专项练二 高考中的三角函数与解三角形
1.解
（1）∵bsinA=
acosB,由正弦定理得sinBsinA=
sinAcosB.
在△ABC中,sinA≠0,即得tanB=
∴B=
.
（2）∵sinC=2sinA,由正弦定理得c=2a,
由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,
即9=a2+4a2-2a·2acos
解得a=
∴c=2a=2
.
2.
（1）证明由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin（A+B）=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin（A-B）.
又A,B∈（0,π）,故0所以B=π-（A-B）或B=A-B,
因此A=π（舍去）或A=2B,所以A=2B.
（2）解由cosB=
得sinB=
cos2B=2cos2B-1=-
故cosA=-
sinA=
所以cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=
.
3.解
（1）S△ABD=
AB·ADsin∠BAD,
S△ADC=
AC·ADsin∠CAD.
因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.
由正弦定理可得
.
（2）因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=
.
在△ABD和△ADC中,由余弦定理知
AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,
AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.
故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.
由
（1）知AB=2AC,所以AC=1.
4.解
（1）由
则（2c-b）cosA=acosB,
由正弦定理可知
=2R,
则a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,
得（2sinC-sinB）cosA=sinAcosB,
整理,得2sinCcosA-sinBcosA=sinAcosB,
由A=π-（B+C）,则sinA=sin[π-（B+C）]=sin（B+C）,
即2sinCcosA=sin（A+B）=sinC,
由sinC≠0,则cosA=
即A=
∴角A的大小为
.
（2）过点D作DE∥AC交AB于点E,则在△ADE中,ED=
AC=1,∠DEA=
.
由余弦定理可知AD2=AE2+ED2-2AE·EDcos
则AE=4,即AB=6.
在△BED中,由余弦定理可知BD2=BE2+ED2-2BE·EDcos
解得BD=
则△BED为直角三角形,故△ACB为直角三角形,则a=BC=3
a的值为3
.
5.解
（1）∵2sin2C=3sinAsinB,
∴sin2C=
sinAsinB,∴c2=
ab.
∵a+b=
c,∴a2+b2+2ab=3c2.
∴cosC=
∴C=
.
（2）∵C=
∴S△ABC=
absinC=
ab=
.∴ab=4.
又c2=
ab,∴c=
.
6.解
（1）由△ABC的面积为
bcsinA,
可得
×2×3×sinA=
可得sinA=
.
又A为锐角,可得A=
再由余弦定理可知a2=b2+c2-2bccosA=22+32-2×2×3×cos
=7,解得a=
可得cos∠ABC=
.
（2）由
=2
知CD=1,则△ABD为正三角形,即BD=3,且sin∠ABC=
cosθ=cos
=cos
cos∠ABC+sin
sin∠ABC=
cos2θ=2cos2θ-1=
.
7.解
（1）因为cos2C-cos2A=2sin
sin
所以2sin2A-2sin2C=2
化简得sinA=
.所以A=
或A=
.
（2）因为b≥a,所以A=
.
由正弦定理
=2,得b=2sinB,c=2sinC.
故2b-c=4sinB-2sinC=4sinB-2sin
=3sinB-
cosB=2
sin
.
又因为b≥a,所以
≤B<
即
≤B-
.
所以2b-c=2
sin
∈[
2
）,
即2b-c的取值范围为[
2
）.
8.解
（1）∵CD=2,CD=2BD,∴BD=1,∴BC=3BD=3.
则在Rt△ABC中,cosC=
.
在△ACD中,由余弦定理得,AD2=AC2+CD2-2AC·CD·cosC=4+4-8×
.∴AD=
.
（2）在△ACD中,由余弦定理可得
AD2=AC2+CD2-2·AC·CD·cosC=8-8cosC.
在Rt△ABC中,BC=
.
故BD=BC-CD=
-2=
.
∵AD=
BD,∴AD2=2BD2.
∴8-8cosC=2·
.
∵1-cosC≠0,∴1=
即cos2C+cosC-1=0.
又cosC>0,∴cosC=
.
又B+C=
∴sinB=
.
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