历年自考04184线性代数试题真题及答案分析解答.docx
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历年自考04184线性代数试题真题及答案分析解答
A.mn
（mn）
A.ACB
B.CAB
C.CBA
D.BCA
1.已知2阶行列式
a1a2
m,
b1b2
n,则
b1b2
b1b2
C1C2
a1C1a2C2
每小题
2分，共20分）
D.
B.n
一、单项选择题（本大题共10小题,
C.mn
（B）
b1b2
b1
b2
b1b2
a1C1a?
C2
a1
a2
C1C2
2.设A,B,C均为n阶方阵，ABBA,ACCA，则ABC（D）
ABC（AB）C（BA）CB（AC）B（CA）BCA.
3.设A为3阶方阵，B为4阶方阵，且|A|1,|B|2，则行列式||B|A|之值为（A）
A.8
B.2
C.2
D.8
||B|A||2A|
（2）3|A|8.
a11
a12
a13
a11
3a12
a13
1
0
0
1
0
0
4.
A
a21
a22
a23
B
a21
3a22
a23,
P
0
3
0,Q
3
1
0，则B（B）
a31
a32
a33
a31
3a32
a33
0
0
1
0
0
1
A.
PA
B.AP
C.
QA
D.
AQ
a11
a12
a13
1
0
0
a11
3a12
a13
APa21
a22
a23
0
3
0
a21
3a22
a23
B.
a31
a32
a33
0
0
1
a31
3a32
a33
5.已知A是一个34矩阵，下列命题中正确的是（C）
A.若矩阵A中所有3阶子式都为0,则秩（A）=2
B.若A中存在2阶子式不为0，则秩（A>=2
C.若秩（A）=2，则A中所有3阶子式都为0
D.若秩（A）=2，则A中所有2阶子式都不为0
6.下列命题中错误的是（C）
A.只含有1个零向量的向量组线性相关
B.由3个2维向量组成的向量组线性相关
7.已知向量组
1，2,
3线性无关,
线性相关,
A.1必能由
线性表出
B.
2必能由
1，3,
线性表出
C.3必能由
线性表出
D.
必能由
3线性表出
注:
的一个极大无关组.
A.小于m
B.等于m
C.小于n
D.等于n
8.设A为mn矩阵，mn，则方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A的秩（D）
注：
方程组Ax=0有n个未知量.
9.设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为（A）
A.AT
B.A23
C.A1
D.A
A.0
B.1
C.2
D.3
|EAt||（EA）t||EA|，所以A与A有相同的特征值.
10.二次型f（Xi,X2,X3）
x；X；x!
2X1X2的正惯性指数为（C）
2222
f（X1,X2,X3）（X1X2）X3%，正惯性指数为2.
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
11.行列式
20072008
20092010
的值为
20072008
20092010
20002000
20002000
78
910
11320
13.设（3,1,0,2）T,
（3,1,1,4）T，若向量满足2
3，则
12.设矩阵A201,B01，则ATb
32（9,3,3,12）t（6,2,0,4）T（3,5,3,8）T.
14•设A为n阶可逆矩阵，且|A|1，则IIA1I
n
15.设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解,
则IA|
n个方程、n个未知量的Ax=0有非零解，则|A|0.
x1x2x30
16•齐次线性方程组123的基础解系所含解向量的个数为
2x1x23x30
A111111，基础解系所含解向量的个数为nr321.
213031
11
17•设n阶可逆矩阵A的一个特征值是3，则矩阵丄A2必有一个特征值为
3
12121211
A有特征值3，则-A2有特征值-（3）23,-A有特征值—.
3333
122
18.设矩阵A2x0的特征值为4,1,2，则数X
200
由1x0412，得X2.
a1/720
19.已知A1/J2b0是正交矩阵，则ab
01
1
由第1、2列正交，即它们的内积¥（ab）0，得ab0.
V2
20.二次型f（x1,X2,x3）4X4X22x1x36X2X3的矩阵是
三、计算题（本大题共
6小题,
每小题
9分,
共54分）
21.计算行列式
a
a2
b
b2
c
c2
的值.
abc
abc
111
解：
D
c2以^2
abc
c2u2^2
abc
abc
abc
aabbcc
Ju3c3
abc
a2b2c2
b
b
a
c
1
1
1
c3
3
a3
abc
b
b2
a
a2
c
c2
a
a2
abc
b
b2
a2
abc（b
a）（c
a）
abc（b
a）（c
a）（c
22.已知矩阵B
（2,1,3），
（1,2,3），
（1）A
BTC；
（2）
A2•
解：
（1）ABTC1
3
（1,2,3）
（2）注意到CBt
（1,2,3）
13，
所以
A2（BtC）（BtC）
Bt（CBt）C13BtC13A
131
23．设向量组1
（2,1,3,1）T,
2
（1,2,0,1）T
3（
1,1,3,0）
T,4（1,1,1,1）T，求向量组的秩
及一个极大线性无关组，
并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量．
2
1
1
1
11
0
1
110
1
解：
A（1,2,
3,
4）
1
2
1
1
12
1
1
011
0
3
0
3
1
30
3
1
033
2
1
1
0
1
21
1
1
011
1
110
1
1
1
0
1
10
1
1
011
0
0
1
1
0
01
1
0
，向量组的秩为
3，1,2,4是
000
2
0
0
0
1
00
0
1
000
1
0
0
0
0
00
0
0
一个极大无关组，
3
1
2．
1
2
3
14
24．已知矩阵A
0
1
2
B
2
5
．
（1）求A1；
（2）解矩阵方程
AXB．
0
0
1
1
3
1
2
3
1
0
0
1
201
0
3
解：
（1）（A,E）
0
1
2
0
1
0
0
100
1
2
0
0
1
0
0
1
0
01
0
0
1
100
1
2
1
1
2
1
010
0
1
2，
A1
0
1
2；
»
001
0
0
1
0
0
1
1
2
1
1
4
4
9
（2）XA
1B
0
1
2
2
5
0
11
．
0
0
1
1
3
1
3
25．问a为何值时，
x1
2x2
3x3
4
线性方程组
2x2
ax3
2有惟一解？
有无穷多解？
并在有解时求出
2x1
2x2
3x3
6
其解（在有无穷多解时，
要求用
一个特解和导出组的基础解系表示全部解）．
1
2
3
4
1
2
3
4
1
234
解：
（A,b）
0
2
a
2
0
2
a
2
0
2a2．
2
2
3
6
0
2
3
2
0
0a30
（A,b）
a3时，r（A,b）r（A）3，有惟一解，此时
Xi
X2
X3
（A,b）
a3时，r（A,b）r（A）2n，有无穷多解，此时
0
3/2
0
X1
2
1,X2
X3
»3，通解为
X3
0
3/2，其中k为任
1
意常数.
26.设矩阵A
0
1,2,5，求正的常数a的值及可逆矩阵P,使
a的三个特征值分别为
3
P1AP02
00
解：
由|A|
2（9
a2）
125，得a24，a2.
对于11，解（EA）x
X1
X2
0
X3，取P1
X3
X3
对于22，解（E
A）x
对于
A）x
X2
X3
X1
X2
X3
（P1,P2,P3）
四、证明题
（本题6分）
27.设A,
证：
A,B,
X1
0,
X3
X3
则P是可逆矩阵,
B,AB均为n阶正交矩阵，证明（A
B）1
P2
，取
P3
1AP
AB均为n阶正交阵，则ATa1
bt
（A
（AB）1（AB）tAt
Bt
全国2010年7月高等教育自学考试线性代数
一、单项选择题（本大题共
1.设3阶方阵A
|B||（12
2,2,3）|
|A|1（
b）t
（AB）1，所以
（经管类）试题答案
10小题，每小题2分，共20分）
3），其中i（i1,2,3）为A的列向量，若
6，则IA|（C）
1,2,3）||（122,2,
3）|6.
A.12
B.
C.6
D.12
2.计算行列式
A.180
10
B.
120
C.120
D.180
210
00
3
（2）
210
3
（2）30180.
3.若A为3阶方阵且|A1|2，则|2A|（C）
B.2
C.4
D.8
131
|A|2，|2A|2|
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