中考数学重难点专题讲座 第二讲 图形位置关系.docx
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中考数学重难点专题讲座第二讲图形位置关系
2019-2020年中考数学重难点专题讲座第二讲图形位置关系
【前言】在中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆这么几类图形之间的关系。
在中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察，这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。
综合整个xx一模来看，18套题中有17套都是很明确的采用圆与三角形问题的一证一算方式来考察。
这个信息告诉我们中考中这一类题几乎必考。
由于此类题目基本都是上档次解答题的第二道，紧随线段角计算之后，难度一般中等偏上。
所以如何将此题分数尽揽怀中就成为了每个考生与家长不得不重视的问题。
从题目本身来看,一般都是采取很标准的两问式.第一问证明切线,考察切线判定定理以及切线性质定理及推论,第二问通常会给定一线段长度和一角的三角函数值,求其他线段长，综合考察圆与三角形的知识点。
一模尚且如此,中考也不会差的太远。
至于其他图形位置关系,我们将会在后面的专题中涉及到.所以本讲笔者将从一模真题出发，总结关于圆的问题的一般思路与解法。
第一部分真题精讲
【例1】（xx，丰台，一模）
已知：
如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．
（1）求证：
DE为⊙O的切线；
（2）若DE=2，tanC=，求⊙O的直径．
【思路分析】本题和大兴的那道圆题如出一辙，只不过这两个题的三角形一个是躺着一个是立着，让人怀疑他们是不是串通好了…近年来此类问题特别爱将中点问题放进去一并考察，考生一定要对中点以及中位线所引发的平行等关系非常敏感，尤其不要忘记圆心也是直径的中点这一性质。
对于此题来说，自然连接OD，在△ABC中OD就是中位线，平行于BC。
所以利用垂直传递关系可证OD⊥DE。
至于第二问则重点考察直径所对圆周角是90°这一知识点。
利用垂直平分关系得出△ABC是等腰三角形，从而将求AB转化为求BD，从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。
【解析】
（1）证明：
联结OD．∵D为AC中点，O为AB中点，
∴OD为△ABC的中位线．∴OD∥BC．
∵DE⊥BC，∴∠DEC=90°.
∴∠ODE=∠DEC=90°.∴OD⊥DE于点D.
∴DE为⊙O的切线．
（2）解：
联结DB．∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．∴DB⊥AC．∴∠CDB=90°.
∵D为AC中点，∴AB=AC．
在Rt△DEC中，∵DE=2，tanC=，∴EC=.（三角函数的意义要记牢）
由勾股定理得：
DC=.
在Rt△DCB中，BD=．由勾股定理得：
BC=5.
∴AB=BC=5.
∴⊙O的直径为5.
【例2】（xx，海淀，一模）
已知：
如图，为的外接圆，为的直径，作射线，使得平分，过点作于点.
（1）求证：
为的切线；
（2）若，，求的半径.
【思路分析】本题是一道典型的用角来证切线的题目。
题目中除垂直关系给定以外，就只给了一条BA平分∠CBF。
看到这种条件，就需要大家意识到应该通过角度来证平行。
用角度来证平行无外乎也就内错角同位角相等，同旁内角互补这么几种。
本题中，连OA之后发现∠ABD=∠ABC，而OAB构成一个等腰三角形从而∠ABO=∠BAO，自然想到传递这几个角之间的关系，从而得证。
第二问依然是要用角的传递，将已知角∠BAD通过等量关系放在△ABC中，从而达到计算直径或半径的目的。
【解析】证明：
连接.
∵，
∴.
∵，
∴.∴.
∴∥.（得分点，一定不能忘记用内错角相等来证平行）
∵,
∴.∴.
∵是⊙O半径，
∴为⊙O的切线.
（2）∵,，，
∴.
由勾股定理，得.
∴.（通过三角函数的转换来扩大已知条件）
∵是⊙O直径，
∴.∴.
又∵,,
∴.（这一步也可以用三角形相似直接推出BD/AB=AB/AC=sin∠BAD）
在Rt△中，==5.
∴的半径为.
【例3】（xx，昌平，一模）
已知：
如图，点是⊙的直径延长线上一点，点
在⊙上，且
（1）求证：
是⊙的切线；
（2）若点是劣弧上一点，与相交
于点，且，，
求⊙的半径长.
【思路分析】此题条件中有OA=AB=OD，聪明的同学瞬间就能看出来BA其实就是三角形OBD中斜边OD上的中线。
那么根据直角三角形斜边中线等于斜边一半这一定理的逆定理，马上可以反推出∠OBD=90°，于是切线问题迎刃而解。
事实上如果看不出来，那么连接OB以后像例2那样用角度传递也是可以做的。
本题第二问则稍有难度，额外考察了有关圆周角的若干性质。
利用圆周角相等去证明三角形相似，从而将未知条件用比例关系与已知条件联系起来。
近年来中考范围压缩，圆幂定理等纲外内容已经基本不做要求，所以更多的都是利用相似三角形中借助比例来计算，希望大家认真掌握。
【解析】
（1）证明：
连接.
∵，
∴.
∴是等边三角形.
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.（不用斜边中线逆定理的话就这样解，麻烦一点而已）
又∵点在⊙上，
∴是⊙的切线.
（2）解：
∵是⊙的直径，
∴.
在中，,
∴设则，
∴.
∴.（设元的思想很重要）
∵,
∴∽.
∴.
∵,
∴.
∴.………………………………………5分
【例4】（xx，密云，一模）
如图，等腰三角形中，，．以为直径作交于点，交于点，，垂足为，交的延长线于点．
（1）求证：
直线是的切线；
（2）求的值．
【思路分析】本题和前面略有不同的地方就是通过线段的具体长度来计算和证明。
欲证EF是切线，则需证OD垂直于EF，但是本题中并未给OD和其他线角之间的关系，所以就需要多做一条辅助线连接CD，利用直径的圆周角是90°，并且△ABC是以AC,CB为腰的等腰三角形，从而得出D是中点。
成功转化为前面的中点问题，继而求解。
第二问利用第一问的结果，转移已知角度，借助勾股定理，在相似的RT三角形当中构造代数关系，通过解方程的形式求解，也考察了考生对于解三角形的功夫。
【解析】
（1）证明：
如图，连结，则．
∴．
∵，∴．
∴是的中点．
∵是的中点，
∴．
∵于F．
∴．
∴是的切线．
（2）连结，∵是直径,∴．（直径的圆周角都是90°）
∴．
∴．
设，则．
在中，．
在中，．（这一步至关重要，利用两相邻RT△的临边构建等式，事实上也可以直接用直角三角形斜边高分比例的方法）
∴．解得．即．
在中．
∴．
【例5】xx，通州，一模
如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆交AD于F，交BC于G，延长BA交圆于E.
（1）若ED与⊙A相切，试判断GD与⊙A的位置关系，并证明你的结论；
（2）在
（1）的条件不变的情况下，若GC＝CD＝5，求AD的长.
【思路分析】本题虽然是圆和平行四边形的位置关系问题，但是依然考察的是如何将所有条件放在最基本的三角形中求解的能力。
判断出DG与圆相切不难，难点在于如何证明。
事实上，除本题以外，门头沟，石景山和宣武都考察了圆外一点引两条切线的证明。
这类题目最重要是利用圆半径相等以及两个圆心角相等来证明三角形相似。
第二问则不难，重点在于如何利用角度的倍分关系来判断直角三角形中的特殊角度，从而求解。
【解析】
（1）结论：
与相切
证明：
连接
∵点、在圆上，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴
∴
∵
∴
∴（做多了就会发现，基本此类问题都是要找这一对角，所以考生要善于把握已知条件往这个上面引）
在和
∴
∴
∵与相切
∴
∴
∴
∴与相切
（2）∵，四边形是平行四边形
∴，，
∵
∴
∴
∴（很多同学觉得题中没有给出特殊角度，于是无从下手，其实用倍分关系放在RT三角形中就产生了30°和60°的特殊角）
∴
∴.
【总结】经过以上五道一模真题，我们可以得出这类题型的一般解题思路。
要证相切，做辅助线连接圆心与切点自不必说，接下来就要考虑如何将半径证明为是圆心到切线的距离，即“连半径，证垂直”。
近年来中考基本只要求了这一种证明切线的思路，但是事实上证明切线有三种方式。
为以防遇到，还是希望考生能有所了解。
第一种就是课本上所讲的先连半径，再证垂直。
这样的前提是题目中所给条件已经暗含了半径在其中。
例如圆外接三角形，或者圆与线段交点这样的。
把握好各种圆的性质关系就可以了。
第二种是在题目没有给出交点状况的情况下，不能贸然连接，于是可以先做垂线，然后通过证明垂线等于半径即可，就是所谓的“先证垂直后证半径”。
例如大家看这样一道题，如图△ABC中，AB=AC，点O是BC的中点，与AB切于点D，求证：
与AC也相切。
该题中圆0与AC是否有公共点是未知的，所以只能通过O做AC的垂线，然后证明这个距离刚好就是圆半径。
如果考生想当然认为有一个交点，然后直接连AC与圆交点这样证明，就误入歧途了。
第三种是比较棘手的一种，一方面题目中并未给出半径，也未给出垂直关系，所以属于半径和垂直都要证明的题型。
例如看下面一道题：
如图，中，AB=AC，=，O、D将BC三等分，以OB为圆心画，求证：
与AC相切。
本题中并未说明一定过A点，所以需要证明A是切点，同时还要证明O到AC垂线的垂足和A是重合的，这样一来就非常麻烦。
但是换个角度想，如果连接AO之后再证明AO=OB，AO⊥AC，那么就非常严密了。
（提示：
做垂线，那么垂足同时也是中点，通过数量关系将AO，BO都用AB表示出来即可证明相等，而△AOC中利用直角三角形斜边中线长是斜边一半的逆定理可以证出直角。
）
至于本类题型中第二问的计算就比较简单了，把握好圆周角，圆心角，以及可能出现的弦切角所构成的线段，角关系，同时将条件放在同一个RT△当中就可以非常方便的求解。
总之，此类题目难度不会太大，所以需要大家做题速度快，准确率高，为后面的代几综合体留出空间。
第二部分发散思考
【思考1】（xx，海淀，一模）
如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B.
（1）求证：
AD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长.
【思路分析】此题为去年海淀一模题，虽然较为简单,但是统计下来得分率却很低.因为题目中没有给出有关圆心的任何线段，所以就需要考生自己去构造。
同一段弧的圆周角相等这一性质是非常重要的，延长DB就会得到一个和C一样的圆周角，利用角度关系，就很容易证明了。
第二问考解三角形的计算问题，利用相等的角建立相等的比例关系，从而求解。
（解法见后）
【思考2】xx，西城，一模
已知：
如图，AB为⊙O的弦，过点O作AB的平行线，交
⊙O于点C，直线OC上一点D满足∠D=∠ACB.
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若⊙O的半径等于4，，求CD的长.
【思路分析】本题也是非常典型的通过角度变换来证明90°的题目。
重点在于如何利用∠D=∠ACB这个条件，去将他们放在RT三角形中找出相等，互余等关系。
尤其是将∠OBD拆分成两个角去证明和为90°。
（解法见后）
【思考3】xx，北京
已知：
如图，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M,经过B,M两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径.
（1）求证：
AE与⊙O相切；
（2）当BC=4,cosC=时，求⊙O的半径.
【思路分析】这是一道去年北京中考的原题，有些同学可能已经做过了。
主要考点还是切线判定，等腰三角形性质以及解直角三角形，也不会很难。
放这里的原因是让大家感受一下中考题也无非就是如此出法，和我们前面看到的那些题是一个意思。
【思考4】xx，西城，二模
如图，等腰△ABC中，AC=BC，⊙O为△ABC的外接圆，
D为上一点，CE⊥AD于E.
求证：
AE=BD+DE．
【思路分析】前面的题目大多是有关切线问题，但是未必所有的圆问题都和切线有关，去年西城区这道模拟题就是无切线问题的代表。
此题的关键在于如何在图形中找到和BD相等的量来达到转化的目的。
如果图形中所有线段现成的没有，那么就需要自己去截一段，然后去找相似或者全等三角形中的线段关系。
【思考5】.xx，东城，二模
如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE＝CF．
（1）求证：
DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝6，BD＝3，求AE和BC的长．
【思路分析】又是一道非常典型的用角证平行的题目。
题目中虽未给出AC评分角EAD这样的条件，但是通过给定CE=CF，加上有一个公共边，那么很容易发现△EAC和△CAF是全等的。
于是问题迎刃而解。
第二问中依然要注意找到已知线段的等量线段，并且利用和，差等关系去转化。
第三部分思考题解析
【思考1解析】
1）证明:
如图,连接AO并延长交⊙O于点E,连接BE,则∠ABE=90°.
∴∠EAB+∠E=90°.
∵∠E=∠C,∠C=∠BAD，
∴∠EAB+∠BAD=90°.
∴AD是⊙O的切线.
（2）解：
由
（1）可知∠ABE=90°.
∵AE=2AO=6,AB=4,
∴.∵∠E=∠C=∠BAD,BD⊥AB,
∴
∴
∴.
【思考2解析】
解：
（1）直线BD与⊙O相切．
证明：
如图3，连结OB．-
∵∠OCB=∠CBD+∠D，∠1=∠D，
∴∠2=∠CBD．
∵AB∥OC，
∴∠2=∠A．
∴∠A=∠CBD．
∵OB=OC，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴∠OBD=90°．
∴直线BD与⊙O相切．
（2）解：
∵∠D=∠ACB，，
∴．
在Rt△OBD中，∠OBD=90°，OB=4，，
∴，．
∴．
【思考3解析】
1）证明：
连结，则．
∴．
∵平分．
∴．
∴．
∴．
∴．
在中，，是角平分线，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴与相切．
（2）解：
在中，，是角平分线，
∴
．
∵，
∴．
在中，，
∴．
设的半径为，则．
∵，
∴．
∴．
∴．
解得．
∴的半径为．
【思考4解析】
证明：
如图3，在AE上截取AF=BD，连结CF、CD．
在△ACF和△BCD中，
∴△ACF≌△BCD．
∴CF=CD.
∵CE⊥AD于E，
∴EF=DE.
∴.
【思考5解析】
证明：
（1）连接OC,
2019-2020年中考数学重难点专题讲座第十讲阅读理解题专题
【前言】新课标以来中考题型越来越活，阅读理解题出现在数学当中就是最大的一个亮点。
不同以往的单纯“给条件”to“求结果”式的题目，阅读理解往往是先给一个材料，或介绍一个超纲的知识，或给出针对某一种题目的解法，然后再给条件出题。
对于这种题来说，如果考生为求快速而完全无视阅读材料而直接去做题的话，往往浪费大量时间也没有思路，得不偿失。
所以如何读懂题以及如何利用题就成为了关键，让我们先看以下的例题。
【例1】xx，朝阳，一模
请阅读下列材料
问题：
如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1．求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．
李明同学的思路是：
将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠AP′C=150°，而∠BPC=∠AP′C=150°．进而求出等边△ABC的边长为．问题得到解决．
请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：
如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．
【思路分析】首先仔细阅读材料，问题中小明的做法总结起来就是通过旋转固定的角度将已知条件放在同一个（组）图形中进行研究。
旋转60度以后BP就成了BP`,PC成了P`A,借助等量关系BP`=PP`,于是△APP`就可以计算了.至于说为什么是60°,则完全是因为大图形是等边三角形,需要用60度去构造另一个等边三角形。
看完这个，再看所求的问题，几乎是一个一模一样的问题，只不过大图形由三角形变成了正方形。
那么根据题中所给的思路，很自然就会想到将△BPC旋转90度看看行不行。
旋转90度之后，成功将PC挪了出来，于是很自然做AP`延长线，构造出一个直角三角形来，于是问题得解。
说实话如果完全不看材料，在正方形内做辅助线，当成一道普通的线段角计算问题也是可以算的。
但是借助材料中已经给出的旋转方法做这道题会非常简单快捷。
大家可以从本题中体会一下领会材料分析方法的重要性所在。
【解析】
（1）如图，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A．
∴AP′=PC=1，BP=BP′=．
连结PP′，
在Rt△BP′P中，
∵BP=BP′=，∠PBP′=90°，
∴PP′=2，∠BP′P=45°．
在△AP′P中，AP′=1，PP′=2，AP=，
∵，即AP′2+PP′2=AP2．
∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P=90°．
∴∠AP′B=135°．
∴∠BPC=∠AP′B=135°．…
（2）过点B作BE⊥AP′交AP′的延长线于点E．
∴∠EP′B=45°.∴EP′=BE=1.∴AE=2.
∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=．
∴∠BPC=135°，正方形边长为．
【例2】xx，大兴，一模
若是关于的一元二次方程的两个根，则方程的两个根和系数有如下关系：
.我们把它们称为根与系数关系定理.
如果设二次函数的图象与x轴的两个交点为.利用根与系数关系定理我们又可以得到A、B两个交点间的距离为：
请你参考以上定理和结论，解答下列问题:
设二次函数的图象与x轴的两个交点为，抛物线的顶点为，显然为等腰三角形.
（1）当为等腰直角三角形时，求
（2）当为等边三角形时，.
（3）设抛物线与轴的两个交点为、，顶点为，且,试问如何平移此抛物线，才能使？
【思路分析】本题也是较为常见的类型，即先给出一个定理或结论，然后利用它们去解决一些问题。
题干中给出抛物线与X轴的两交点之间的距离和表达式系数的关系,那么第一问要求取何值时△ABC为等腰直角三角形.于是我们可以想到直角三角形的性质就是斜边中线等于斜边长的一半.斜边中线就是顶点的纵坐标,而斜边恰好就是两交点的距离.于是将作为一个整体,列出方程求解.第二问也是一样,把握等边三角形底边与中线的比例关系即可.第三问则可以直接利用第一问求得的值求出K,然后设出平移后的解析式,使其满足第二问的结果即可.注意左右平移是不会改变度数的，只需上下即可。
【解析】．⑴解：
当为等腰直角三角形时，过作，垂足为，
则
∵抛物线与轴有两个交点，∴，（不要忘记这一步的论证）
∴
∵
又∵，
∵，
∴
∴（看成一个整体）
∴
∵．
∴…
⑵当为等边三角形时，
⑶∵，
∴．
即，
∴
因为向左或向右平移时，的度数不变，
所有只需要将抛物线向上或向下平移使，然后向左或向右平移任意个单位即可．
设向上或向下平移后的抛物线解析式为：
，
∵平移后，∴，
∴．
∴抛物线向下平移个单位后，向左或向右平移任意个单位都能使的度数由变为
【例3】xx，房山，一模
阅读下列材料：
小明遇到一个问题：
如图1，正方形中，、、、分别是、、和边上靠近、、、的等分点，连结、、、，形成四边形．求四边形与正方形的面积比（用含的代数式表示）．
小明的做法是：
先取，如图2，将绕点顺时针旋转至，再将绕点逆时针旋转至，得到个小正方形，所以四边形与正方形的面积比是；
然后取，如图3，将绕点顺时针旋转至，再将绕点逆时针旋转至，得到个小正方形，所以四边形与正方形的面积比是，即；
……
请你参考小明的做法，解决下列问题：
（1）在图4中探究时四边形与正方形的面积比（在图4上画图并直接写出结果）；
（2）图5是矩形纸片剪去一个小矩形后的示意图，请你将它剪成三块后再拼成正方形（在图5中画出并指明拼接后的正方形）．
【思路分析】本题属于典型的那种花10分钟读懂材料画1分钟就可以做出来题的类型。
材料给出的方法相当精妙，考生只要认真看过去并且理解透这个思路，那么不光是这道题可以做，以后碰见类似的题目都可以用这种方法。
材料中所给方法就是将周边的四个三角形其中的两个旋转90°，将三角形放在矩形当中去讨论面积。
事实上无论是几等分点，所构造出来的四个小三角形△AMD，△ABN，△BPC，△CQD都是全等的，并且都是90度，那么他们旋转以后所对应的就是两个矩形，如图三中的BN`PC和CM`DQ。
而矩形的面积恰好和中间正方形的面积有联系（想想看，是怎样用N等分点去证明面积比例的）于是顺理成章当N等于4的时候，去构造一个类似的网格，第一问就出来了。
至于第二问和裁剪问题沾点边，完全就是这个技巧方法的逆向思考，重点就在于找出这个多边形是由哪几部分构成。
于是按下图，连接BC，截外接矩形为两个全等的直角三角形，然后旋转即可。
说白了，这种带网格的裁剪题，其实最关键的地方就在于网格全是平行线，利用平行线截线段的比例性质去找寻答案。
【解析】
-
四边形与正方形的拼接后的正方形是正方形．
面积比是．
【例4】xx，海淀，一模
阅读：
如图1，在和中，,,、、、四点都在直线上，点与点重合.
连接、，我们可以借助于和的大小关系证明不等式：
（）.
证明过程如下:
∵
∴
∵,
∴.
即.
∴.
∴.
解决下列问题：
（1）现将△沿直线向右平移，设,且.如图2,当时,.利用此图,仿照上述方法,证明不等式：
（）.
（2）用四个与全等的直角三角形纸板进行拼接，也能够借助图形证明上述不等式.请你画出一个示意图，并简要说明理由.
【思路分析】本题是均值不等式的一种几何证明方法。
材料中的思路就是利用两个共底三角形的面积来构建不等式，利用来证明。
其中需要把握的几个点就是（b-a）是什么，以及如何通过（b-a）来造出。
首先看第一问说要平移△DEF，在平移过程中，DE的长度始终不变，EF垂直于M的关系也始终不变。
那么此时（b-a）代表什么？
自然就是BD和ED之和了。
于是看出K值。
接下来就是找那两个可以共底的三角形，由于材料所给提示，我们自然想到用BD来做这个底，而高自然就是AB和EF。
于是连接AD，△ABD和△BDF的面积就可以引出结果了。
第二问答案不唯一，总之就是先调整出（b-a）可以用什么来表达，然后去找b和a分别和这个（b-a）的关系，然后用面积来表达出的式子就可以了，大家可以继这个思路多想想。
【解析】
（1）
证明：
连接、.
可得.
∴
，
.
∵，
∴，
即.
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