线面垂直与面面垂直典型例题精选.docx
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线面垂直与面面垂直典型例题精选
线面垂直与面面垂直
基础要点
、若直线a与平面,所成的角相等，则平面与的位置关系是（B）
A、//B、不一定平行于C、不平行于D、以上结论都不正确
、在斜三棱柱ABCA1B1C1,BAC90o,又BC1AC,过C1作C1H⊥底面，垂足为H，则H一定在（B）
A、直线上B、直线上C、直线上D、△的内部
、如图示，平面⊥平面，A,B,AB与两平面,所成的角
分别为4和6，过A、B分别作两平面交线的垂
线，垂足为A,B，则AB:
AB（A）
A、2:
1
B、3:
1
C、3:
2
D、4:
3
、如图示，直三棱柱ABB1DCC1中，ABB190o,AB4BC2,CC11上有一动点P，则△APC1周长的最小值是
AB
C1
C
5.已知长方体ABCDA1B1C1D1中，A1AAB2,若棱上存在点P，使得D1PPC,则棱长的取值范围是。
题型一：
直线、平面垂直的应用
1.（2014，F分别PAAC,PA求证：
（1）证明：
（1）
江苏卷）如图，在三棱锥中，D，E，为棱，，的中点.已知6，BC8，DF5.
PAP平面DEF；
（2）平面BDE平面ABC.因为D，E分别为棱，的中点，
所以∥
又因为?
平面，平面，所以直线∥平面.
（2）因为D，E，F分别为棱，，的中点，＝6，＝8，所以∥，＝1＝3，＝1＝4.
22
又因＝5，故2＝2＋2，所以∠＝90°，即丄.
又⊥，∥，所以⊥.
因为∩＝E，平面，平面，所以⊥平面.
又平面，所以平面⊥平面.
2.（2014,北京卷，文科）如图，在三棱柱
中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1
F分别为A1C1、BC的中点.
1）求证：
平面ABE平面B1BCC1；
（2）求证：
C1F//
平面ABE.
证明：
（1）在三棱柱ABCA1B1C1中，
BB1底面ABC,BB1AB,ABBC,AB平面B1BCC1,
QAB平面ABE,平面ABE平面B1BCC1.
（2）取的中点G，连接，
QE、F分别为
QACPA1C1，AC
1A1C1、BC的中点,FGPAC,FGAC,
2
FGPEC1，FGEC1,则四边形FGEC1为平行四
A1C1，
边形，
C1FPEG,QEG
平面ABE,C1F平面ABE,C1FP平面ABE.
3．如图，
P是ABC所在平面外的一点，且PA平面ABC，
平面PAC平面PBC．求证BCAC．
分析：
已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂
直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．．
证明：
在平面PAC内作ADPC，交PC于D．因为平面PAC平面PBC于PC，AD平面PAC，且ADPC，所以AD平面PBC．又因为BC平面PBC，于是有ADBC①．另外PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC．由①②及ADPAA，可知BC平面PAC．因为AC平面PAC，所以BCAC．
说明：
在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直．
4.过点S引三条不共面的直线SA、SB、SC，如图，BSC90，ASCASB60，若截取SASBSCa
（1）求证：
平面ABC平面BSC；
（2）求S到平面ABC的距离．
分析：
要证明平面ABC平面BSC，根据面面垂直的判定定理，须在平面ABC或平面BSC内找到一条与另一个平面垂直的直线．
（1）证明：
∵SASBSCa，
又ASCASB60，
∴ASB和ASC都是等边三角形，
∴ABACa，
取BC的中点
H，连结
AH，∴AH
BC．
在RtBSC中，
BSCS
a，∴SH
BC，BC2a，
22
2
2
22a2
2
2a
∴AHAC
CH2
a
（a）2，
22
∴SH．
2
22
在SHA中，∴AH2a2，SH2a2，SA2a2
∴SA2SH2HA2，∴AHSH，∴AH平面SBC．
∵AH平面ABC，∴平面ABC平面BSC．
或：
∵SAACAB，∴顶点A在平面BSC内的射影H为BSC的外心，
又BSC为Rt，∴H在斜边BC上，
又BSC为等腰直角三角形，∴H为BC的中点，
∴AH平面BSC．∵AH平面ABC，∴平面ABC平面BSC．
（2）解：
由前所证：
SHAH，SHBC，∴SH平面ABC，
∴SH的长即为点S到平面ABC的距离，SHB2C22a，
∴点S到平面ABC的距离为22a．
、如图示，为长方形，垂直于所在平面，过A且垂直于的平面分别交、、于E、F、G，求证：
⊥⊥
6.在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，已知底面是面
积为23的菱形，ADC60，M是中点。
（1）求证：
（2）求证：
平面平面
7.在多面体中，1，2，AE面，
（1）求证：
平面；
E
A
D
（2）求证：
平面平面
题型二、空间角的问题
1.如图示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB1,BB131，E为BB1上使B1E1的点，平面AEC1交DD1于F，交A1D1的延长线于G，求：
（1）异面直线与C1G所成的角的大小
2）二面角AC1GA1的正弦值
2.如图，点A在锐二面角MN的棱MN上，在面内引射线
AP，使AP与MN所成的角PAM为45，与面所成的角大小为
分析：
首先根据条件作出二面角的平面角，然后将平面角放入一个可解的三角形中（最好是直角三角形），通过解三角形使问题
得解．
解：
在射线AP上取一点B，作BH于H，连结AH，则BAH
为射线AP与平面所成的角，BAH30．再作BQMN，交MN于Q，连结HQ，则HQ为BQ在平面内的射影．由三垂线定理的
逆定理，HQ
MN，
BQH为二面角
MN
的平面角．
设BQ
a，在Rt
BAQ中，BQA
90,
BAM
45,
AB2a,在Rt
△BHQ中，
2
BHQ
90,BQ
2
a,BHa,sin
BQH
BH
a
2
2,
2
BQ
a
2
BQH
是锐角，
BQH45,
即二面角
MN
等于45．
说明：
本题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所称
的角，斜线与平面所称的角，二面角等空间角，这些空间角都要
转化为平面角，而且还要彼此联系相互依存，要根据各个平面角的定义添加适当的辅助线．
3.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P是AD的中点．求二面角ABD1P的大小．
分析：
求二面角关键是确定它的平面角，按定义在二面角的棱上任取了点，在二个半平面上分别作棱的垂线，方法虽简便，但因与其他条件没有联系，要求这个平面角一般是很不容易的，所以在解题中不大应用．在解题中应用得较多的是“三垂线定理”
的方法，如图考虑到AB垂直于平面AD1，BD1在平面AD1上的射影就是AD1．再过P作AD1的垂线PF，则PF面ABD1，过F作D1B的垂线FE，PEF即为所求二面角的平面角了．
解：
过P作BD1及AD1的垂线，垂足分别是E、F，连结EF．∵AB面AD1，PF面AD1，
∴ABPF，又PFAD1，∴PF面ABD1．
又∵PEBD1，∴EFBD1，∴PEF为所求二面角的平面角．
sinPEFPF1，
PE2
PEF30．
１）求证：
∥平面（２）若二面角P－－A为，求证:
平面⊥平面
4
5.已知正方体中ABCDA1B1C1D1，E为棱CC1上的动点
MB
1）求证：
A1E⊥
（2）当E恰为棱CC1的中点时，求证：
平面
A
A1BD⊥平面EBD
（3）在棱CC1上是否存在一个点E，可以使二面角A1BDE的大小为45o？
如果存在，试确定E在棱CC1上的位置；如果不存在，请说明理由。
题型三、探索性、开放型问题
1.如图，已知正方形的边长为2，word.
中心为O。
设PA平面，,且2。
问当为多少时，平面
2.已知△中，BCD90o,BCCD1⊥平面，ADB60o、F分别是、上的动点，且AEAF（01）
ACAD
（1）求证：
不论为何值，总有平面⊥平面
（2）当为何值时，平面⊥平面?
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