《二次根式》典型分类练习题.docx
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《二次根式》典型分类练习题
《二次根式》分类练习题
知识点一：
二次根式的概念
【知识要点】
二次根式的定义：
形如山」二11的式子叫二次根式，其中量叫被开方数，只有当二是一个非负数时,心才有意义.
【典型例题】
置璽=：
二次很或的粥定
■4,5）,
（一）,6）口,7八a^2a-1
其中是二次根式的是（填序号）.
举一反三:
位置在（）
A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限
【例3】若y=x-5+-5-X+20GG，贝UG+y=
_x-50
解题思路：
式子4a（aX））,i—,x=5,y=20GG，贝UG+y=20GGI5-X"
举一反三：
1、若x-1-1-x=（x・y）2，则G-y的值为（）
A1B.1C.2D.3
2、若G、y都是实数，且y=、-2x一3••3—2x4，求Gy的值
3、当a取什么值时，代数式■2a1「取值最小，并求出这个最小值。
已知a是■■一5整数部分，b是的小数部分，求a•的值b+2
若、3的整数部分是a，小数部分是b，则'3a-b二。
2+丄
若.、17的整数部分为G,小数部分为y，求X-的值•
知识点二：
二次根式的性质
【知识要点】
1.非负性：
•.a（a—0）是一个非负数.
注意：
此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到.
2.（a）2=aQ-0）.
注意：
此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：
a二（：
a）2（a-0）
3.a2忙a（a-0）注意：
（1）字母不一定是正数.
La（av0）
（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替.
（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号
留在根号外.
4•公式a2嗣二"已一0］、与（a）2=aa0）的区别与联系-a（avO）
（1）a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数.
（2）（、.a）2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数.
（3）-.a2和（•、a）2的运算结果都是非负的.
【典型例题】
as-:
xjfcas®双血罪负悝
举一反三：
1、若.-3（n■1）2=0，贝Um■n的值为。
2、已知x,y为实数，且,x-1・3y-22=0,则x-y的值为（）
A.3B.£C.1D.-1
3、已知直角三角形两边G、y的长满足|G2—4|+y2-5y6=0，则第
三边长为.
i2005
4、若—b*1与Ja+2b+4互为相反数，则2一b）二
【例5】化简：
a-1+（V3）2的结果为（）
A、4—2aB、0C、2a—4D、4
举一反三：
1、在实数范围内分解因式*2一3=；m^4m24=
x4_9=,x2_2T2x+2=
2、化简：
■3「31-、.3
3、已知直角三角形的两直角边分别为2和'、5，贝U斜边长为
【例6】已知x：
2，则化简、,x2_4x4的结果是
A、x-2
C、-x-2
举一反三：
1、根式,r3）T的值是（）
A.-3B.3或-3C.3D.9
2、已知a<0，那么「孑—2a丨可化简为（）
A.—aB.aC.—3aD.3a
3、若2A.5-2aB.1-2aC.2a-5D.2aT
4、若a—3v0，则化简"-6a+9+—a的结果是（）
（A）—1（B）1（C）2a—7（D）7—2a
_2
5、化简4x2-4x1-.2x-3得（）
【例7】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简丨a—
b1+Uab）2的结果等于（）
A.—2bB.2bC.—2aD.2a
举一反三：
实数a在数轴上的位置如图所示：
化简：
a-1+J（a-2）2=.
【例8】化简1-x-Jx2-8x+16的结果是2G-5，则G的取值范围是（）
（A）G为任意实数（B）1WG<4（C）G>1（D）G<1
举一反三：
若代数式；（2-a）2■（a-4）2的值是常数2，则a的取值范围是
（）
A.a>4B.a<2C.2［例9】如果a「a2_2a^1，那么a的取值范围是（）
A.a=0B.a=1C.a=0或a=1D.a<1
举一反三：
1、如果a•、a2-6a9=3成立，那么实数a的取值范围是（）
A.a空0B.a乞3;C.a——3;D.a—3
2、若..（x【3）2「*-3=0，则x的取值范围是（）
（A）x3（B）x3（C）x-3（D）x乞3
a+2
【例10】化简二次根式％;-雪的结果是
Va
（A）.._a_2（B）iFa_2（C）,a_2（D）_一a_2
1、把二次根式a、.-；化简，正确的结果是（）
A.-：
-aB.-.-aC.「ad..a
1-a
2、把根号外的因式移到根号内：
当b>0时，Ppx=
x
知识点三：
最简二次根式和同类二次根式
【知识要点】
1、最简二次根式：
（1）最简二次根式的定义：
①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号.
2、同类二次根式（可合并根式）：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
【典型例题】
【例11】在根式1）Ja2+b2;2）君;3）Jx2-xy;4）j27abc，最简二次根式是（）
A.1）2）B.3）4）C.1）3）D.1）4）
解题思路：
掌握最简二次根式的条件。
举一反三:
4、下列各式中罂些是最简二次根式，哪些不是？
为什么？
（1）■■■.3a⑵’2⑶xy⑷.a-b（ab）⑸5⑹8xy
举一反三：
1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（）
A、％/3^^A8b、73和卩C、Ja2b和Jab2D、Ja+1和Ja-1
」3「—厂
2、在二次根式：
①v'12;②、；23:
③』-:
④V27中，能与U3合并的二次根
■■3
式是。
3、如果最简二次根式，3a-8与1^2a能够合并为一个二次根式，则
a=
知识点四：
二次根式计算一一分母有理化
【知识要点】
1.分母有理化
定义：
把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2.有理化因式：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：
1单项二次根式：
利用'一a\亍=a来确定，女如：
a与.a,、.ab与、、ab，•:
a-b与..a-b等分别互为有理化因式。
2两项二次根式：
利用平方差公式来确定。
如a.b与a-、、b，
.b与'a-，a、xby与a.x-b・.，y分别互为有理化因式。
3.分母有理化的方法与步骤：
1先将分子、分母化成最简二次根式；
2将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；
③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
【典型例题】
【例13】把下列各式分母有理化
（1）
1
2
2
【例14】把下列各式分母有理化
2x28
（1）—
（2）（3）X、3（4）
J8x3y"a-bYx
【例15】把下列各式分母有理化：
a
b
2
X：
3（3）
33
3、2-2、3
举一反三：
1
23
厂2,3，求下列各式的值:
2、把下列各式分母有理化:
/1）a-b/勺）■■a—2（3）b-、ab
（1）a=b/2）/3）
a,b-.a'2■■■■,■.?
'a-■2ba■■b
小结：
一般常见的互为有理化因式有如下几类：
①丄:
与■T：
.L:
②lJ-：
'I与■1，-；
③：
一山与■；④；•上-与—上，.‘山.
知识点五：
二次根式计算——二次根式的乘除
【知识要点】
1.积的算术平方根的性质：
积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的
积。
Jab^/a•b/aX）,b>0）
2.二次根式的乘法法则：
两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
需Vb=Tab./a»,b>0）
3.商的算术平方根的性质：
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根
、匡=（a»,b>o）1b:
b
4.二次根式的除法法则：
两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术
、a
平方根。
j（a»,b>0）
注意：
乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式.
【典型例题】
【例16】化简
（1）
（2）一16"81（3）5215⑷9x2y2（x_0,y_0）（5）1X.623
【例17】计算
（1）4--
（2）34）「一*
塔応二0N厂
（5）d（6）-■-（7）（8）
（5）J81a‘—5aVa+3J4a5（6）Jxy+++—+2
知识点七：
二次根式计算——二次根式的混合计算与求值
【知识要点】
1、确定运算顺序；
2、灵活运用运算定律;
3、正确使用乘法公式;
4、大多数分母有理化要及时;
5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化;
3、1円・（-4,y）-丄x2y4、（•7^—2）.3—7.6
3-x62、3
知识点八：
根式比较大小
【知识要点】
1、根式变形法当a0,b0时，①如果ab，贝La.b;②如果a：
：
：
b，则、、a：
。
2、平方法当a0,b0时，①如果a2b2，则ab;②如果a2：
：
：
b2，则a■b。
3、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
4、分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。
5、倒数法
6、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。
7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：
①a-b.Oua.b；
②a一b：
：
0二a：
：
b
8、求商比较法它运用如下性质：
当
a1=a•b
a>0，b>0时，贝U:
①b
【典型例题】【例22】比较3,5与5、、3的大小。
（用两种方法解答）
21
［例23】比较2与'的大小。
屮.1V2-1
［例24】比较15-14与J4-/3的大小。
【例25】比较‘7-•6与-6_•5的大小。
【例26】比较打3与-87-3的大小
3、如果代数式■.有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的
灯mn
（1）2L^
（2）x2-3xyy2
x_y
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