届高三模拟考试二模理科数学试题 含答案.docx

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届高三模拟考试二模理科数学试题含答案

2018年安庆市高三模拟考试（二模）

理科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：

本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，，则等于（）

A．B．C．D．

2.设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为（）

A．-1B．1C．-2D．2

3.设命题，；命题：

，，则下列命题为真的是（）

A．B．C．D．

4.等比数列中，，且为和的等差中项，则的公比等于（）

A．3B．2或3C.2D．6

5.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）

A．B．C.D．

6.已知为双曲线的焦点，过垂直于实轴的直线交双曲线于两点，交轴于点，若，则双曲线的离心率为（）

A．B．C.D．

7.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的的值为（）

A．2B．-1C.D．

8.若实数满足：

，则的最小值为（）

A．B．C.D．

9.已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于点对称，则的最小值是（）

A．B．C.D．

10.定义在上的奇函数满足：

，且当时，，则（）

A．B．C.D．

11.已知单位圆有一条长为的弦，动点在圆内，则使得的概率为（）

A．B．C.D．

12.已知函数，若存在满足，则的值为（）

A．4B．6C.8D．10

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.若二项式的展开式中常数项为20，则．

14.正四面体中，分别为边的中点，则异面直线所成角的余弦值为．

15.已知椭圆短轴的端点、，长轴的一个端点为，为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若的斜率之积等于，则到直线的距离为．

16.在中，三内角对应的边分别为，且，，设是边上的高，则的最大值为．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知数列中，，，设为数列的前项和，对于任意的，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求的前项和．

18.在如图所示的五面体中，面为直角梯形，，平面平面，，是边长为2的正三角形．

（1）证明：

平面；

（2）求二面角的余弦值．

19.据某市地产数据研究的数据显示，2018年该市新建住宅销售均价走势如下图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制.

（1）地产数据研究院发现，3月至7月的各月均价（万元/平方米）与月份之间具有较强的线性相关关系，试建立关于的回归方程（系数精确到0.01）；政府若不调控，依此相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价；

（2）地产数据研究院在2018年的12个月份中，随机抽取三个月的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为，求的分布列和数学期望．

参考数据：

，，；

回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

，.

20.已知抛物线，为其焦点，过点的直线交抛物线于两点，过点作轴的垂线，角直线于点，如图所示.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）直线是抛物线的不与轴重合的切线，切点为，与直线交于点，求证：

以线段为直径的圆过点.

21.已知函数．

（1）若，求函数的单调递增区间；

（2）若，，证明：

.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：

坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，若直线的极坐标方程是，且点是曲线：

（为参数）上的一个动点.

（1）将直线的方程化为直角坐标方程；

（2）求点到直线的距离的最大值与最小值.

23.选修4-5：

不等式选讲

已知.

（1）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值的集合；

（2）设，证明：

.

试卷答案

一、选择题

1-5:

BAACC6-10:

BDBAD11、12：

AC

二、填空题

13.-114.15.16.

三、解答题

17.

（1）由，得.

因为，，所以，

所以数列为首项为2，公差为2的等差数列，所以，.

（2）因为，

所以，

，

所以

，

所以.

18.

（1）取的中点，连接，依题意易知，

平面平面平面.

又，所以平面，所以.

在和中，.

因为，平面，所以平面.

（2）分别以直线为轴和轴，点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，

依题意有：

，，，

设平面的一个法向量，由，得，

由，得，令，可得.

又平面的一个法向量，所以.

所以二面角的余弦值为.

注：

用其他方法同样酌情给分.

19.

（1）

计算可得：

，，，

所以，，

所以从3月份至6月份关于的回归方程为.

将2018年的12月份代入回归方程得：

，

所以预测12月份该市新建住宅销售均价约为1.47万元/平方米.

（2）根据题意，的可能取值为1,2,3

，

，

，

所以的分布列为

因此，的数学期望.

20.

（1）依题意可得，直线的斜率存在，故设其方程为：

，设点，动点，

由，

，，

由，得，即点的轨迹方程为.

（2）设直线的方程为：

由

∵与抛物线相切，∴

又由

，∴以为直径的圆过点.

21.

（1）由已知，，

则①当时，由于，当时，，故函数的单调递增区间为；

②当时，由于，当时，；故函数的单调递增区间为和.

（2），则，，

欲证，即证在上单调递减，

∵，

令，

则

∴在上为减函数，

而

∴，则，

∴在上单调递减，

又，∴.

22.

（1）由，

将，代入

即可得到直线的直角坐标方程是.

（2）到直线的距离

∴，.

23.

（1）由绝对值不等式的性质知，

因为恒成立，所以，即，所以.

（2）

因为，所以，，故.

所以.