普通高中选课与学习指南数学.docx
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普通高中选课与学习指南数学
普通高中选课与学习指南·数学
王尚志、张饴慈、马芳华编著
北京大学出版社
目录
序3
一、高中数学课程的总体介绍4
1.课程结构4
2.内容结构5
3内容主线8
4课程顺序9
5课程变化9
二、如何选择课程14
1、课程功能15
2、课程选择建议16
3、课程调整16
三、数学课程的选择性17
1.选择性与系统性17
2.选择性——“选择选修课”18
四、高中课程的整体把握19
五、数学课程内容定位——必修与选修系列1、227
六、高中数学课程内容定位——选修系列3、434
选修3-2信息安全与密码34
选修3-3球面几何36
选修3-4对称与群36
选修3-5欧拉公式与闭曲面分类37
选修3-6三等分角与数域扩充38
选修4-2矩阵与变换39
选修4-4坐标系与参数方程40
选修4-7试验设计与优选法41
选修4-8统筹法与图论初步43
选修4-10开关电路与布尔代数45
选修4-5不等式选讲46
选修4-6初等数论初步47
选修3-1数学史选讲48
选修4-1几何证明选讲49
选修4-3数列与差分50
选修4-9风险与决策50
七、数学建模与数学探究51
八、如何学好数学?
54
九、评价57
主要参考文献60
序
为了配合高中新课程的推进,北京大学出版社推出一套丛书,拟帮助同学们理解高中新课程,理解如何进行选课,理解课程的定位,包括必修课程、选修1、2、选修3、4内容的定位。
我们有幸参加了高中课程标准的研制,参加了北师大版高中数学课程教材的编写,也参与一些推进高中课程的实验工作,参与了国家级高中数学骨干教师培训,参加了高中课程实验调研。
对高中新课程有一定的了解,我们把一些感受和体会介绍给同学们,希望有助于同学们理解新课程,有助于同学们对选择性的思考,有助于同学们提高学习效果。
同学们在使用这本书时,最好能取得教师的指导,一定会有更好的效率。
全书共分为十个专题。
其中前四个专题是对高中数学课程的总体介绍,包括如何选择高中课程、高中课程的变化和高中课程的选择性;第五、六、七、八专题是本书的重点,从几个不同的视角来介绍高中数学课程的整体性、高中数学课程必修和选修内容的定位和数学建模与数学探究等等;第九专题,我们就数学的学习,提了的一些建议,希望能使学生受益;最后一个专题,我们抛砖引玉的谈了一下大家都非常关注的评价问题,希望引起深入地思考。
本书的基本想法之一是强调整体的把握高中数学课程。
这应该是我们打好基础的重要组成部分。
函数思想、几何思想、算法思想、运算思想、随机思想等都是高中数学课程的主线,它们彼此之间又有着密切的联系,是贯穿整个高中数学课程最基本最重要的数学思想,从多个角度链接起了高中数学课程的许多内容。
这些主线可以把高中数学知识编织在一起,构成了一张无形的网,把整个高中数学课程的知识融会贯通。
我们应该不断加深对这个网的认识,从不同的角度认识高中数学课程,从局部到整体,从整体到局部,整体的把握高中数学课程。
最近,我们比较忙,北京大学出版社再三邀请。
盛情难却。
我们都是北京大学的毕业生,希望能为培养我们的母校做一点有益的事,尽力而为。
但是,我们不是数学教育的科班出身,又由于水平有限,在书中一定有很多不妥和错误,恳请教师和同学们批评指正,书中的内容仅供参考。
王尚志张饴慈
2005年8月22日
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一、高中数学课程的总体介绍
1.课程结构
同学们进入高中的学习,应该做一些准备,首先,应该了解一下,整个高中课程的框架和结构,对高中课程有一个比较全面地了解。
然后,我们再由粗到细,由简到繁,逐步的向同学们展开对高中课程的介绍。
首先,我们应该了解,高中课程由三部分组成。
一是必修部分,由五个模块组成,每个模块要学习36个课时,这是每个同学都要学习的内容。
第二部分,由选修1、2组成,这部分内容可以选择,简单地说,如果感觉自己适合在人文社科方面发展,可以选择选修1系列课程,两个模块,72个课时;如果感觉自己适合在理工等方面发展,可以选择选修2系列课程。
三个模块,108个课时。
第三部分,根据学生兴趣的需求,设计了选修3和选修4系列课程,其功能在第六章具体介绍。
为了有个直观的了解,可以参考以下框图,一目了然。
从数学课程内容来说,理解选择性是非常重要的,理解了选择性才能搞清楚课程结构。
2.内容结构
为了使同学们对课程有一个大致的了解,这里对内容先作粗略介绍,由简到繁,由粗到细,一步一步细化。
用框图的形式对内容给予简单的描述是一种好方法,同学们可以不断地修改这个框图,如果能把这样的框图印在自己的头脑中就更好了,我们在中学时,遇到了一些好老师,他们要求我们对学过的东西有个整体认识,还要求能“背着”讲出来。
把东西放在头脑中,这样一个好的方法就使得思考的机会大大增加了。
必修内容体系的框图:
必修与选修1(选修2)的体系框图:
选修3
选修3由六个专题组成:
数学史选讲,球面上的几何,对称与群,欧拉公式与闭曲面分类,信息安全与密码,三等分角与数域扩充。
选修3的内容是以前的高中没有正式开设的,一些学校以选课的形式开设过,对同学们来说,必修、选修1、2没有太大的区别,选修3就内容来说也并不难,但是,需要认真深入地体会其中蕴涵的思想。
同样,先做一个概述,随后再不断的深人。
数学史选讲是要告诉同学们数学发展的一个基本的脉络,选择一些数学历史发展中一些重要的事件、成果作为线索,介绍一些伟大的数学家的贡献和奋斗人生,这些是非常有趣的。
对球面上的几何,顾名思义,讨论“球面上图形的性质”,我们学过平面几何,它们有什么相同,有什么不同?
有什么用处?
相信很多同学希望搞清楚。
“对称”是日常生活中常用的词,特别是图形,在生活中有很多“对称得很漂亮”的图形,这些对称图形不相同,如何对它们加以区别?
这些对称图形中蕴涵什么数学?
“对称”有什么用处?
“对称与群”将使同学们对“对称”有个初步了解。
很多同学都知道欧拉,他是最伟大的数学家之一,他的成就非常丰富,多面体的欧拉公式就是其中之一,四面体、长方体等都是多面体,欧拉发现了:
这些图形的“面数减去棱数再加上顶点数是2”,并且他给出了很好的证明。
这是很有趣的,反映了这些图形——曲面的性质,同学们一定会问:
是否还有其他图形也有这样的性质?
是否所有多面体的曲面都有这样的性质?
等等。
“欧拉定理与闭曲面分类”这个专题将回答这些问题。
在“信息时代”,传送信息时保密的需求越来越大。
在“信息安全与密码”中,将告诉同学们一些基本的数学原理,同学们可以通过操作,认识和使用,进一步的了解和熟悉常用的信息安全保密的方法。
“用尺规可以三等分角吗?
”这是同学们都想了解的一个问题。
在“三等分角与数域扩充”这个专题中,我们将引导同学们一步一步地解决这个问题,同学们会发现,解决这样问题与做习题不大一样,我们应该学习这样一种思考方法,不论是否专门学习数学,这种思考问题的方法都是很有用的。
我们希望同学们喜欢这些选题,选几个学一下,会对数学有一些新的感觉。
当我们是高中生的时候,中国一些著名数学家,像华罗庚、段学复、熊庆来等,就开设了许多类似的讲座,对当时年轻人的成长起了很大作用。
选修4
选修4包括十个专题,可以分为三类,
一类是与中学数学内容密切联系的,例如,几何证明选讲,不等式选讲,坐标系与参数方程。
一类是中小学数学课程内容拓展的,例如,矩阵与变换,数列与差分,初等数论初步。
另一类是数学应用方面的选题,例如,风险决策,优选法与实验设计,统筹法与图论初步,开关电路与布尔代数。
这样的分类并不严格,仅仅是提供思考的背景。
选修4与选修3一样,就内容来说并不难,但是,需要认真深入地体会其中蕴涵的思想,这些思想在今后学习和工作中会对我们有很大帮助。
在随后的内容中,我们再进一步地介绍这些选题的内容定位,不断的深人。
3内容主线
整体地把握高中数学课程,这是我们在这本书中给各位同学最基本的建议。
在学习高中数学时,我们希望同学们思考一些问题,其中之一是:
是否有贯穿高中数学课程的“主线”?
或说基本脉络。
这些“主线”是什么?
根据我们在研制高中数学课程标准过程中的思考,我们感到“主线”还是有的。
在这里,我们提供一些建议,供同学们参考。
在高中数学课程中,函数思想,运算思想,几何思想(把握图形的能力),算法思想,统计和随机思想,等等,这些都是贯穿在高中数学课程始终的东西,构成高中数学的基本脉络。
另一方面,这些思想之间联系密切。
它们像一张无形的网,把高中数学课程的所有内容有机地联系起来,抓住了这张网,就可以更好地掌握数学课程,了解实质,提高学习的效率,当然,也会提高解题能力,考试能力,学习高中课程应该这样,以后,在大学学习、在工作中学习,也应该这样。
著名数学家华罗庚先生常常说“既要能把书读厚,又能把书读薄”。
读厚,就是要把每一逻辑关系,每一个细节搞清楚,想清楚;读薄,就是能抓住课程的主线,基本脉络,抓住课程的内在联系,形成整体认识。
现在,我们的中学教师非常重视细节,这是好的传统,希望同学们保持,整体是另一方面,也必须重视,在一定程度上,更为重要。
在“高中课程整体把握”这部分内容中,我们将一起来分析为什么它们是“主线”。
4课程顺序
学习数学课程的内容,总是有前有后。
什么在前,什么在后,我们必须清楚。
首先,必修课程在选修1、2之前开设,选修3、4和必修课程是可以同时开设的。
在必修中,必修1又是所有必修课程的基础,先开设必修1,才能开设其他必修课,不同学校可以根据自己的实际情况确定必修2、必修3、必修4、必修5的开设顺序。
选修3、4的开设会因校而异,我们希望学校能有计划、有组织地多开设一些选修课,同学们可以根据自己的兴趣,学校的实际,加以选择,选择能力对一个人来说是非常重要的,希望同学们有意识地锻炼自己的选择能力,在下一部分,我们专门讨论如何选择课程。
5课程变化
高中课程改革,使高中数学课程有一些变化,有内容上的变化,这对同学们来说是平等的,还有一些指导思想方面的变化,或理念上的变化,了解这些变化,形成科学的学习习惯,有效率的学习方法,对同学们是有益的,“人无远虑,必有近忧”。
希望同学们看得远一些。
(1)数学课程目标的变化
1)三维目标
在这一轮课程改革中,根据教育部课程改革纲要,在课程改革目标中,提出了三维课程目标的精神。
把课程目标分为三个维度,知识与技能的目标,过程与方法的目标,情感、态度、价值观的目标。
三维目标有各自的独立内涵,但是它们之间又存在着密切的联系。
同学们,有这样一个问题是值得我们一起来思考的,小学、初中学习了很多数学,仔细地回忆,哪些东西是留在我们头脑里的呢?
熟练地进行数与代数式的四则运算,了解了许多几何定理,例如,勾股定理,等等。
就是说你们已经掌握了一些数学的知识和技能。
除此而外,还有另外一个重要方面,形成了一些学习数学的习惯,学会了数学思考问题的方法,等等,还可以用这些“东西”思考和解决一些实际问题,例如,与别人讨论问题时,希望大家有同样的出发点,不然,讨论一通,不可能达成共识,这就是数学教给我们的思维习惯。
这一方面是属于“过程性”、“方法性”的东西,它们与知识技能的重要性是一样的。
我们认为把“过程与方法”作为目标是一个很大的变化。
在以前的教学《大纲》中,在不同程度上都强调了“过程与方法”的重要性,但是,这次课程改革把“过程与方法”作为目标,这样,“过程与方法”不是可有可无的东西,而是必须实现的基本目标,我们必须认识这种变化不仅力度大,而且有非常重要的意义。
实际上,在长期的教学活动中,优秀的教师不仅关注学生对知识技能的掌握,而且特别关注掌握知识技能的过程,包括知识的来龙去脉,结论的背景、产生过程和意义,获取知识的能力和方法,等等。
以数学学科为例,我们都知道在知识技能中,蕴涵着一些重要的数学思想和方法,学习的目的,不仅在于掌握知识技能和结果,更重要的是经历形成这些知识技能的过程,体会其中所蕴含的思想和方法,学会运用这些思想和方法去学习其他的知识,并能从中感悟数学的作用和价值,提高学生学习数学的兴趣,树立学生学好数学的信心。
“过程与方法”是课程的目标,如何实现这个目标呢?
这个问题就成为我们要认真探索的问题。
我们不仅需要总结优秀教师在这方面的经验,还需要探索一些新的课题,例如,如何理解过程性目标的问题,如何实现过程性目标的问题,如何评价过程性目标的问题,如何把知识技能目标与过程性目标有机结合的问题,如何把过程性目标与情感、态度、价值观的目标有机结合的问题。
这些问题是极具挑战性的,是值得广大教师和同学们一起来探索和解决的。
2)三维目标与数学课程目标
在过去,只有老师才关心课程目标,这次课改,有一点变化,希望同学们也来了解和关心课程目标,了解数学课程的目标。
这是合乎逻辑的,高中生是大人了,理应关注自己的未来发展,关注自己应该学到什么,关注自己应该获得哪些本领。
在《标准》中,如何把三维目标与数学课程目标有机结合?
这是在《标准》的研制过程中讨论的最基本的问题。
《标准》设置了六个具体的目标:
1.获得必要的数学基础知识和基本技能,理解基本的数学概念、数学结论的本质,了解概念、结论等产生的背景、应用,体会其中所蕴涵的数学思想和方法,以及它们在后续学习中的作用。
通过不同形式的自主学习、探究活动体验数学发现和创造的历程。
2.提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。
3.提高数学地提出、分析和解决问题(包括实际应用问题)的能力,数学表达和交流的能力,发展独立获取数学知识的能力。
4.发展数学应用意识和创新意识,力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和做出判断。
5.提高学习数学的兴趣,树立学好数学的信心,形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。
6.具有一定的数学视野,逐步认识数学的应用价值、科学价值和文化价值,形成批判性的思维习惯,崇尚数学的理性精神,体会数学的美学意义,从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。
从上面的具体目标可以看出,《标准》的研制者没有机械的把数学课程目标分为:
知识与技能的目标,过程与方法的目标,情感、态度、价值观的目标。
而是采取了整体融合的方式来表述课程目标。
(2)数学课程目标变化的意义
1)打好基础
在学习数学中,打好基础是非常重要的,中国的数学教育一直很重视这一点,这是一个好的传统。
近年来,由于“应试教育”的影响,在强调打好基础时,有一种异化的倾向,以考试为目标的“题型教学”,不加分析追求难题、偏题,等等。
都是这种异化的体现。
实际上,这些做法都冲击我们的好传统,冲击了“基础”,偏离了数学教育的目标。
在这里,我们不想全面论述基础,仅就整体的把握高中数学课程谈一些我们的看法。
高中的数学课程是一个整体,打好基础,首先要抓住贯穿高中数学课程的一些主要的东西,即主线。
函数思想、几何思想、算法思想、运算思想、随机思想等都是高中数学课程的主线,我们将在后面展开对它们的分析。
它们是贯穿整个高中数学课程最基本最重要的数学思想,从多个角度链接起了高中数学课程的许多内容。
这些主线可以把高中数学知识编织在一起,构成了一张无形的网,把整个高中数学课程的知识点融会贯通。
我们学习数学是线性序,但数学本身不是线性的。
我们可以从一个知识出发,推出后面的知识,同样我们也可以从另一个知识出发,按照一定的顺序推出来。
如果我们对这个网有了深刻的认识,可以从不同的角度从局部到整体,再从整体到局部与所学的知识进行呼应。
2)强调五个基本能力
高中阶段学习数学,应该获得那些本领?
这是同学们十分关心的问题。
从1963年《全日制中学数学教学大纲》(草案)中明确提出三个基本能力:
计算能力、逻辑推理能力和空间想象能力。
这三大能力是中国最著名前辈数学家华罗庚先生首先提出的。
明确这些说法,这对中小学数学教育起了很大的推动作用。
《标准》中提出了五个基本能力:
计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理能力。
为什么增加的两大基本能力:
抽象概括能力和数据处理能力呢?
抽象概括能力
我们知道,数学有三个基本特征,抽象性,严密性,应用的广泛性。
数学是严密的,对每一个正确的数学结果,它都是从一些定义、公理、定理出发,经过严密的逻辑推理得到的。
例如,一元二次方程的求根公式,就是通过“配方思想”,反复使用代数运算的基本规律:
结合律、交换律、分配律,最后得到的一个公式。
我们学习的数学课程都有一个比较严密的体系。
在数学的严密性中,逻辑推理能力,特别是演绎推理能力发挥着重要的作用。
演绎推理强调从一般到特殊、从抽象到具体。
这是数学一种重要的思维方式。
这种思维渗透到每一门数学课程中,也渗透到数学学习的每一个环节中。
在高中数学课程中,无论是代数的内容、几何的内容、函数的内容,还是其他内容,都是培养这种思维方式的载体。
但是,从另一个角度,数学不是无源之水、无根之木,无论是数学的抽象性,还是数学应用的广泛性,都反映它具有丰富的背景,每一个数学概念,数学公式,数学的结果,都与其他的数学知识,其它学科的知识,社会生活、日常生活的经验有着密切的联系,它们有“来龙”,也有“去脉”。
我们不仅仅需要同学们掌握数学知识和技能本身,还应该帮助同学们了解知识、技能、结论形成的过程,产生的过程,能够从特殊到一般,从具体到抽象,能够从一些现象中,通过类比、归纳、猜想,通过合情推理,总结数学规律,发现数学规律。
这也是数学的一种重要的思维方式,非常重要的创造性思维方式。
许多数学家反复建议,我们不仅要重视培养同学们的演绎推理能力,同样,也要重视培养同学们的抽象概括能力。
这种能力的培养也应该渗透到数学学习的各个环节中。
例如,我们应该关注,从映射概念认识函数概念,从函数概念认识具体的函数,例如,简单的幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,等差数列,等比数列等等。
更重要的,我们应不断地通过具体的函数体会函数的意义和作用,同学们在谈到函数时,头脑中不仅有抽象的定义,而有一批具体的实例,以及伴随着这些实例的图形,只有这样才能真正使数学“活起来”。
数据处理能力
从儿童时代,同学们获取数学知识的主要途径有如下几个:
一个是“数和数的运算”。
一个是各种“量”,例如,重量,高度,长度,等等。
“数”和“量”有着密切的联系和规律,这些规律反映在能够“算”。
一个是“图形”,图形的形状,图形的形质,图形的分类,图形的位置,图形的变化,等等。
另一个是“一堆数”,通常称为数据。
例如,对于一个单位的人来说,他们的身高,体重,其它健康状况的指标等等;他们的收入,消费,存款等等。
这些数据中有我们需要的信息,如何得到这些信息,如何使用这些信息,等等。
随着社会发展,人们对于数据、信息的关注越来越大,处理数据,已经成为百姓生活不可回避的问题。
生活中的很多数据都是“杂乱”的,但并非“无章”,如何发现其中的规律,如何利用这些规律提高生活质量。
数据处理能力成为现代人的基本能力。
在高中学习中,有必要掌握基本数据处理能力:
收集数据,整理数据,分析数据,从数据中提取信息,利用信息说明问题等等。
强调数据处理能力,是一个变化,希望同学们给予特别的注意。
有人说统计不难,数据处理不难,这是有道理的,不难不意味着应该不重要,对一般人来说,最有用的东西都是不难的。
3)主动学习和创新能力
在《标准》提出:
“通过不同形式的自主学习、探究活动体验数学发现和创造的历程。
”
“提高数学地提出、分析和解决问题(包括实际应用问题)的能力,数学表达和交流的能力,发展独立获取数学知识的能力。
”
“发展数学应用意识和创新意识,力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和做出判断。
”
主动学习
接受、记忆、模仿和练习是同学们重要的数学学习活动,但是,不应只限于此,高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。
这些方式有助于发挥同学们学习的主动性,使同学们的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。
“通过不同形式的自主学习、探究活动体验数学发现和创造的历程。
”
教师的作用是不可替代的,传授知识,指导学习,组织各种学习活动,等等。
但是,所有这些不意味着教师可以替代学生进行学习,现在存在着一种倾向:
教师替学生做的事情太多了。
由于,很多领导急功近利,考试成为实现政绩的方式,提高考试成绩、检查考试成绩成为唯一的管理手段,各种考试,高考,年考,学期考,月考,甚至每星期考。
教师希望学生尽快地适应考试,在教学中,“题型教学”、高容量、高强度的课堂教学成为比较普遍的现象。
这样做法不符合学生的认知规律,事倍功半。
要改变,应从领导做起,改变急功近利的教育评价观,营造好的教育氛围。
当然,考试制度、考试内容等也需要尽快改革。
教师应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等多种学习数学的方式。
高中数学课程设立“数学探究”“数学建模”等学习活动,这些都是为同学们形成积极主动的、多样的学习方式创造有利的条件,以激发同学们的数学学习兴趣,鼓励学生在学习过程中,养成独立思考、积极探索的习惯。
如何开展这些活动,我们将在后面给予专题说明。
创新能力-
高中数学课程应力求“通过各种不同形式的自主学习、探究活动,让同学们体验数学发现和创造的历程”,发展同学们的创新意识。
在高中阶段,创新的最好体现应反映在:
培养学生的问题意识。
鼓励学生提出问题;鼓励学生从多种角度寻求解决问题的方法;课程应具有一定的开放性,给学生思考的空间;为学生营造一个积极思考、探索创新的氛围,等等。
“没有问题的学生,恐怕不能算好学生。
”这是我们的老师丁石孙说过的一段话。
非常有道理。
现在很多学生,包括一些非常优秀的学生,只有不会做的习题,提不出问题,提不出好的、有价值的问题。
希望教师和学生对此给予关注。
我们感到,这是中国优秀学生与一些国外优秀学生最大的差距。
没有提问题的习惯,提不出问题,就很难产生原创性的思想,这对于中国科学技术和社会的发展是十分不利的。
4)关于情感、态度、价值观与数学课程的结合
在数学的学习、教学中,情感、态度、价值观不是空洞的东西,与数学课程密切相关。
《标准》设定的目标指出:
“提高学习数学的兴趣,树立学好数学的信心,形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。
”
“具有一定的数学视野,逐步认识数学的应用价值、科学价值和文化价值,形成批判性的思维习惯,崇尚数学的理性精神,体会数学的美学意义,从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。
”
这里强调两点。
“兴趣”
有人说学习的动力来自以下方面,一是觉悟,一是功利,一是兴趣。
文化革命前,主要靠觉悟,现在的学生不太了解那个时代,为革命学习,为国家学习,为人民学习,这些是那个时代的口号。
这些口号激励了一大批人,努力地学习,刻苦地学习,发奋地学习。
现在不提这些了,这不好,为自己的祖国做些贡献,还是需要提倡的。
觉悟还有另一面,是对数学价值的认识,人都在追求好的东西,有价值的东西,形成一种责任感,也许对个人没有太大的利益,他们还会为之奋斗。
《标准》强调“认识数学的应用价值、科学价值和文化价值”的目的,主要在于此。
现在社会非常商业化,“功利”成为衡量事物的基本标准,这也没有什么不对。
但是,目前特别是在教育中,有些过分,在很多情况下,“功利”成为了唯一的追求,把教育的目标量化,这是很危险的,更可怕的是很多领导对此津津乐道。
在学生学习中,也把“功利”作为唯一的动力,短见,急功近利,严重地影响了学生的发展,特别是影响一些有潜力、有特长、有天才学生的发展。
“兴趣”的培养被忽视了。
最突出例子是数学竞赛,无论是国外,还是中国,数学竞赛的基本目的是培养学生学习数学的兴趣,现在,在很多地方数学竞赛已经变味了,变成追逐“功利”的舞台,背离了开展数学竞赛的初衷。
现在,小学数学竞赛