普通高中选课与学习指南数学.docx
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普通高中选课与学习指南数学
普通高中选课与学习指南·数学
王尚志、张饴慈、马芳华编著
北京大学出版社
目录
序3
一、高中数学课程的总体介绍4
1．课程结构4
2．内容结构5
3内容主线8
4课程顺序9
5课程变化9
二、如何选择课程14
1、课程功能15
2、课程选择建议16
3、课程调整16
三、数学课程的选择性17
1.选择性与系统性17
2.选择性——“选择选修课”18
四、高中课程的整体把握19
五、数学课程内容定位——必修与选修系列1、227
六、高中数学课程内容定位——选修系列3、434
选修3-2信息安全与密码34
选修3-3球面几何36
选修3-4对称与群36
选修3-5欧拉公式与闭曲面分类37
选修3-6三等分角与数域扩充38
选修4-2矩阵与变换39
选修4-4坐标系与参数方程40
选修4-7试验设计与优选法41
选修4-8统筹法与图论初步43
选修4-10开关电路与布尔代数45
选修4-5不等式选讲46
选修4-6初等数论初步47
选修3-1数学史选讲48
选修4-1几何证明选讲49
选修4-3数列与差分50
选修4-9风险与决策50
七、数学建模与数学探究51
八、如何学好数学？
54
九、评价57
主要参考文献60
序
为了配合高中新课程的推进，北京大学出版社推出一套丛书，拟帮助同学们理解高中新课程，理解如何进行选课，理解课程的定位，包括必修课程、选修1、2、选修3、4内容的定位。
我们有幸参加了高中课程标准的研制，参加了北师大版高中数学课程教材的编写，也参与一些推进高中课程的实验工作，参与了国家级高中数学骨干教师培训，参加了高中课程实验调研。
对高中新课程有一定的了解，我们把一些感受和体会介绍给同学们，希望有助于同学们理解新课程，有助于同学们对选择性的思考，有助于同学们提高学习效果。
同学们在使用这本书时，最好能取得教师的指导，一定会有更好的效率。
全书共分为十个专题。
其中前四个专题是对高中数学课程的总体介绍，包括如何选择高中课程、高中课程的变化和高中课程的选择性；第五、六、七、八专题是本书的重点，从几个不同的视角来介绍高中数学课程的整体性、高中数学课程必修和选修内容的定位和数学建模与数学探究等等；第九专题，我们就数学的学习，提了的一些建议，希望能使学生受益；最后一个专题，我们抛砖引玉的谈了一下大家都非常关注的评价问题，希望引起深入地思考。
本书的基本想法之一是强调整体的把握高中数学课程。
这应该是我们打好基础的重要组成部分。
函数思想、几何思想、算法思想、运算思想、随机思想等都是高中数学课程的主线，它们彼此之间又有着密切的联系，是贯穿整个高中数学课程最基本最重要的数学思想，从多个角度链接起了高中数学课程的许多内容。
这些主线可以把高中数学知识编织在一起，构成了一张无形的网，把整个高中数学课程的知识融会贯通。
我们应该不断加深对这个网的认识，从不同的角度认识高中数学课程，从局部到整体，从整体到局部，整体的把握高中数学课程。
最近，我们比较忙，北京大学出版社再三邀请。
盛情难却。
我们都是北京大学的毕业生，希望能为培养我们的母校做一点有益的事，尽力而为。
但是，我们不是数学教育的科班出身，又由于水平有限，在书中一定有很多不妥和错误，恳请教师和同学们批评指正，书中的内容仅供参考。
王尚志张饴慈
2005年8月22日
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一、高中数学课程的总体介绍
1．课程结构
同学们进入高中的学习，应该做一些准备，首先，应该了解一下，整个高中课程的框架和结构，对高中课程有一个比较全面地了解。
然后，我们再由粗到细，由简到繁，逐步的向同学们展开对高中课程的介绍。
首先，我们应该了解，高中课程由三部分组成。
一是必修部分，由五个模块组成，每个模块要学习36个课时，这是每个同学都要学习的内容。
第二部分，由选修1、2组成，这部分内容可以选择，简单地说，如果感觉自己适合在人文社科方面发展，可以选择选修1系列课程，两个模块，72个课时；如果感觉自己适合在理工等方面发展，可以选择选修2系列课程。
三个模块，108个课时。
第三部分，根据学生兴趣的需求，设计了选修3和选修4系列课程，其功能在第六章具体介绍。
为了有个直观的了解，可以参考以下框图，一目了然。
从数学课程内容来说，理解选择性是非常重要的，理解了选择性才能搞清楚课程结构。
2．内容结构
为了使同学们对课程有一个大致的了解，这里对内容先作粗略介绍，由简到繁，由粗到细，一步一步细化。
用框图的形式对内容给予简单的描述是一种好方法，同学们可以不断地修改这个框图，如果能把这样的框图印在自己的头脑中就更好了，我们在中学时，遇到了一些好老师，他们要求我们对学过的东西有个整体认识，还要求能“背着”讲出来。
把东西放在头脑中，这样一个好的方法就使得思考的机会大大增加了。
必修内容体系的框图：
必修与选修1（选修2）的体系框图：
选修3
选修3由六个专题组成：
数学史选讲，球面上的几何，对称与群，欧拉公式与闭曲面分类，信息安全与密码，三等分角与数域扩充。
选修3的内容是以前的高中没有正式开设的，一些学校以选课的形式开设过，对同学们来说，必修、选修1、2没有太大的区别，选修3就内容来说也并不难，但是，需要认真深入地体会其中蕴涵的思想。
同样，先做一个概述，随后再不断的深人。
数学史选讲是要告诉同学们数学发展的一个基本的脉络，选择一些数学历史发展中一些重要的事件、成果作为线索，介绍一些伟大的数学家的贡献和奋斗人生，这些是非常有趣的。
对球面上的几何，顾名思义，讨论“球面上图形的性质”，我们学过平面几何，它们有什么相同，有什么不同？
有什么用处？
相信很多同学希望搞清楚。
“对称”是日常生活中常用的词，特别是图形，在生活中有很多“对称得很漂亮”的图形，这些对称图形不相同，如何对它们加以区别？
这些对称图形中蕴涵什么数学？
“对称”有什么用处？
“对称与群”将使同学们对“对称”有个初步了解。
很多同学都知道欧拉，他是最伟大的数学家之一，他的成就非常丰富，多面体的欧拉公式就是其中之一，四面体、长方体等都是多面体，欧拉发现了：
这些图形的“面数减去棱数再加上顶点数是2”，并且他给出了很好的证明。
这是很有趣的，反映了这些图形——曲面的性质，同学们一定会问：
是否还有其他图形也有这样的性质？
是否所有多面体的曲面都有这样的性质？
等等。
“欧拉定理与闭曲面分类”这个专题将回答这些问题。
在“信息时代”，传送信息时保密的需求越来越大。
在“信息安全与密码”中，将告诉同学们一些基本的数学原理，同学们可以通过操作，认识和使用，进一步的了解和熟悉常用的信息安全保密的方法。
“用尺规可以三等分角吗？
”这是同学们都想了解的一个问题。
在“三等分角与数域扩充”这个专题中，我们将引导同学们一步一步地解决这个问题，同学们会发现，解决这样问题与做习题不大一样，我们应该学习这样一种思考方法，不论是否专门学习数学，这种思考问题的方法都是很有用的。
我们希望同学们喜欢这些选题，选几个学一下，会对数学有一些新的感觉。
当我们是高中生的时候，中国一些著名数学家，像华罗庚、段学复、熊庆来等，就开设了许多类似的讲座，对当时年轻人的成长起了很大作用。
选修4
选修4包括十个专题，可以分为三类，
一类是与中学数学内容密切联系的，例如，几何证明选讲，不等式选讲，坐标系与参数方程。
一类是中小学数学课程内容拓展的，例如，矩阵与变换，数列与差分，初等数论初步。
另一类是数学应用方面的选题，例如，风险决策，优选法与实验设计，统筹法与图论初步，开关电路与布尔代数。
这样的分类并不严格，仅仅是提供思考的背景。
选修4与选修3一样，就内容来说并不难，但是，需要认真深入地体会其中蕴涵的思想，这些思想在今后学习和工作中会对我们有很大帮助。
在随后的内容中，我们再进一步地介绍这些选题的内容定位，不断的深人。
3内容主线
整体地把握高中数学课程，这是我们在这本书中给各位同学最基本的建议。
在学习高中数学时，我们希望同学们思考一些问题，其中之一是：
是否有贯穿高中数学课程的“主线”？
或说基本脉络。
这些“主线”是什么？
根据我们在研制高中数学课程标准过程中的思考，我们感到“主线”还是有的。
在这里，我们提供一些建议，供同学们参考。
在高中数学课程中，函数思想，运算思想，几何思想（把握图形的能力），算法思想，统计和随机思想，等等，这些都是贯穿在高中数学课程始终的东西，构成高中数学的基本脉络。
另一方面，这些思想之间联系密切。
它们像一张无形的网，把高中数学课程的所有内容有机地联系起来，抓住了这张网，就可以更好地掌握数学课程，了解实质，提高学习的效率，当然，也会提高解题能力，考试能力，学习高中课程应该这样，以后，在大学学习、在工作中学习，也应该这样。
著名数学家华罗庚先生常常说“既要能把书读厚，又能把书读薄”。
读厚，就是要把每一逻辑关系，每一个细节搞清楚，想清楚；读薄，就是能抓住课程的主线，基本脉络，抓住课程的内在联系，形成整体认识。
现在，我们的中学教师非常重视细节，这是好的传统，希望同学们保持，整体是另一方面，也必须重视，在一定程度上，更为重要。
在“高中课程整体把握”这部分内容中，我们将一起来分析为什么它们是“主线”。
4课程顺序
学习数学课程的内容，总是有前有后。
什么在前，什么在后，我们必须清楚。
首先，必修课程在选修1、2之前开设，选修3、4和必修课程是可以同时开设的。
在必修中，必修1又是所有必修课程的基础，先开设必修1，才能开设其他必修课，不同学校可以根据自己的实际情况确定必修2、必修3、必修4、必修5的开设顺序。
选修3、4的开设会因校而异，我们希望学校能有计划、有组织地多开设一些选修课，同学们可以根据自己的兴趣，学校的实际，加以选择，选择能力对一个人来说是非常重要的，希望同学们有意识地锻炼自己的选择能力，在下一部分，我们专门讨论如何选择课程。
5课程变化
高中课程改革，使高中数学课程有一些变化，有内容上的变化，这对同学们来说是平等的，还有一些指导思想方面的变化，或理念上的变化，了解这些变化，形成科学的学习习惯，有效率的学习方法，对同学们是有益的，“人无远虑，必有近忧”。
希望同学们看得远一些。
（1）数学课程目标的变化
1）三维目标
在这一轮课程改革中，根据教育部课程改革纲要，在课程改革目标中，提出了三维课程目标的精神。
把课程目标分为三个维度，知识与技能的目标，过程与方法的目标，情感、态度、价值观的目标。
三维目标有各自的独立内涵，但是它们之间又存在着密切的联系。
同学们，有这样一个问题是值得我们一起来思考的，小学、初中学习了很多数学，仔细地回忆，哪些东西是留在我们头脑里的呢？
熟练地进行数与代数式的四则运算，了解了许多几何定理，例如，勾股定理，等等。
就是说你们已经掌握了一些数学的知识和技能。
除此而外，还有另外一个重要方面，形成了一些学习数学的习惯，学会了数学思考问题的方法，等等，还可以用这些“东西”思考和解决一些实际问题，例如，与别人讨论问题时，希望大家有同样的出发点，不然，讨论一通，不可能达成共识，这就是数学教给我们的思维习惯。
这一方面是属于“过程性”、“方法性”的东西，它们与知识技能的重要性是一样的。
我们认为把“过程与方法”作为目标是一个很大的变化。
在以前的教学《大纲》中，在不同程度上都强调了“过程与方法”的重要性，但是，这次课程改革把“过程与方法”作为目标，这样，“过程与方法”不是可有可无的东西，而是必须实现的基本目标，我们必须认识这种变化不仅力度大，而且有非常重要的意义。
实际上，在长期的教学活动中，优秀的教师不仅关注学生对知识技能的掌握，而且特别关注掌握知识技能的过程，包括知识的来龙去脉，结论的背景、产生过程和意义，获取知识的能力和方法，等等。
以数学学科为例，我们都知道在知识技能中，蕴涵着一些重要的数学思想和方法，学习的目的，不仅在于掌握知识技能和结果，更重要的是经历形成这些知识技能的过程，体会其中所蕴含的思想和方法，学会运用这些思想和方法去学习其他的知识，并能从中感悟数学的作用和价值，提高学生学习数学的兴趣，树立学生学好数学的信心。
“过程与方法”是课程的目标，如何实现这个目标呢?
这个问题就成为我们要认真探索的问题。
我们不仅需要总结优秀教师在这方面的经验，还需要探索一些新的课题，例如，如何理解过程性目标的问题，如何实现过程性目标的问题，如何评价过程性目标的问题，如何把知识技能目标与过程性目标有机结合的问题，如何把过程性目标与情感、态度、价值观的目标有机结合的问题。
这些问题是极具挑战性的，是值得广大教师和同学们一起来探索和解决的。
2）三维目标与数学课程目标
在过去，只有老师才关心课程目标，这次课改，有一点变化，希望同学们也来了解和关心课程目标，了解数学课程的目标。
这是合乎逻辑的，高中生是大人了，理应关注自己的未来发展，关注自己应该学到什么，关注自己应该获得哪些本领。
在《标准》中，如何把三维目标与数学课程目标有机结合？
这是在《标准》的研制过程中讨论的最基本的问题。
《标准》设置了六个具体的目标:
1.获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。
通过不同形式的自主学习、探究活动体验数学发现和创造的历程。
2.提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。
3.提高数学地提出、分析和解决问题（包括实际应用问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。
4.发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和做出判断。
5.提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。
6.具有一定的数学视野，逐步认识数学的应用价值、科学价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。
从上面的具体目标可以看出，《标准》的研制者没有机械的把数学课程目标分为：
知识与技能的目标，过程与方法的目标，情感、态度、价值观的目标。
而是采取了整体融合的方式来表述课程目标。
（2）数学课程目标变化的意义
1）打好基础
在学习数学中，打好基础是非常重要的，中国的数学教育一直很重视这一点，这是一个好的传统。
近年来，由于“应试教育”的影响，在强调打好基础时，有一种异化的倾向，以考试为目标的“题型教学”，不加分析追求难题、偏题，等等。
都是这种异化的体现。
实际上，这些做法都冲击我们的好传统，冲击了“基础”，偏离了数学教育的目标。
在这里，我们不想全面论述基础，仅就整体的把握高中数学课程谈一些我们的看法。
高中的数学课程是一个整体，打好基础，首先要抓住贯穿高中数学课程的一些主要的东西，即主线。
函数思想、几何思想、算法思想、运算思想、随机思想等都是高中数学课程的主线，我们将在后面展开对它们的分析。
它们是贯穿整个高中数学课程最基本最重要的数学思想，从多个角度链接起了高中数学课程的许多内容。
这些主线可以把高中数学知识编织在一起，构成了一张无形的网，把整个高中数学课程的知识点融会贯通。
我们学习数学是线性序，但数学本身不是线性的。
我们可以从一个知识出发，推出后面的知识，同样我们也可以从另一个知识出发，按照一定的顺序推出来。
如果我们对这个网有了深刻的认识，可以从不同的角度从局部到整体，再从整体到局部与所学的知识进行呼应。
2）强调五个基本能力
高中阶段学习数学，应该获得那些本领？
这是同学们十分关心的问题。
从1963年《全日制中学数学教学大纲》（草案）中明确提出三个基本能力：
计算能力、逻辑推理能力和空间想象能力。
这三大能力是中国最著名前辈数学家华罗庚先生首先提出的。
明确这些说法，这对中小学数学教育起了很大的推动作用。
《标准》中提出了五个基本能力：
计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理能力。
为什么增加的两大基本能力：
抽象概括能力和数据处理能力呢？
抽象概括能力
我们知道，数学有三个基本特征，抽象性，严密性，应用的广泛性。
数学是严密的，对每一个正确的数学结果，它都是从一些定义、公理、定理出发，经过严密的逻辑推理得到的。
例如，一元二次方程的求根公式，就是通过“配方思想”，反复使用代数运算的基本规律：
结合律、交换律、分配律，最后得到的一个公式。
我们学习的数学课程都有一个比较严密的体系。
在数学的严密性中，逻辑推理能力，特别是演绎推理能力发挥着重要的作用。
演绎推理强调从一般到特殊、从抽象到具体。
这是数学一种重要的思维方式。
这种思维渗透到每一门数学课程中，也渗透到数学学习的每一个环节中。
在高中数学课程中，无论是代数的内容、几何的内容、函数的内容，还是其他内容，都是培养这种思维方式的载体。
但是，从另一个角度，数学不是无源之水、无根之木，无论是数学的抽象性，还是数学应用的广泛性，都反映它具有丰富的背景，每一个数学概念，数学公式，数学的结果，都与其他的数学知识，其它学科的知识，社会生活、日常生活的经验有着密切的联系，它们有“来龙”，也有“去脉”。
我们不仅仅需要同学们掌握数学知识和技能本身，还应该帮助同学们了解知识、技能、结论形成的过程，产生的过程，能够从特殊到一般，从具体到抽象，能够从一些现象中，通过类比、归纳、猜想，通过合情推理，总结数学规律，发现数学规律。
这也是数学的一种重要的思维方式，非常重要的创造性思维方式。
许多数学家反复建议，我们不仅要重视培养同学们的演绎推理能力，同样，也要重视培养同学们的抽象概括能力。
这种能力的培养也应该渗透到数学学习的各个环节中。
例如，我们应该关注，从映射概念认识函数概念，从函数概念认识具体的函数，例如，简单的幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，等差数列，等比数列等等。
更重要的，我们应不断地通过具体的函数体会函数的意义和作用，同学们在谈到函数时，头脑中不仅有抽象的定义，而有一批具体的实例，以及伴随着这些实例的图形，只有这样才能真正使数学“活起来”。
数据处理能力
从儿童时代，同学们获取数学知识的主要途径有如下几个：
一个是“数和数的运算”。
一个是各种“量”，例如，重量，高度，长度，等等。
“数”和“量”有着密切的联系和规律，这些规律反映在能够“算”。
一个是“图形”，图形的形状，图形的形质，图形的分类，图形的位置，图形的变化，等等。
另一个是“一堆数”，通常称为数据。
例如，对于一个单位的人来说，他们的身高，体重，其它健康状况的指标等等；他们的收入，消费，存款等等。
这些数据中有我们需要的信息，如何得到这些信息，如何使用这些信息，等等。
随着社会发展，人们对于数据、信息的关注越来越大，处理数据，已经成为百姓生活不可回避的问题。
生活中的很多数据都是“杂乱”的，但并非“无章”，如何发现其中的规律，如何利用这些规律提高生活质量。
数据处理能力成为现代人的基本能力。
在高中学习中，有必要掌握基本数据处理能力：
收集数据，整理数据，分析数据，从数据中提取信息，利用信息说明问题等等。
强调数据处理能力，是一个变化，希望同学们给予特别的注意。
有人说统计不难，数据处理不难，这是有道理的，不难不意味着应该不重要，对一般人来说，最有用的东西都是不难的。
3）主动学习和创新能力
在《标准》提出：
“通过不同形式的自主学习、探究活动体验数学发现和创造的历程。
”
“提高数学地提出、分析和解决问题（包括实际应用问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。
”
“发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和做出判断。
”
主动学习
接受、记忆、模仿和练习是同学们重要的数学学习活动，但是，不应只限于此，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。
这些方式有助于发挥同学们学习的主动性，使同学们的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。
“通过不同形式的自主学习、探究活动体验数学发现和创造的历程。
”
教师的作用是不可替代的，传授知识，指导学习，组织各种学习活动，等等。
但是，所有这些不意味着教师可以替代学生进行学习，现在存在着一种倾向：
教师替学生做的事情太多了。
由于，很多领导急功近利，考试成为实现政绩的方式，提高考试成绩、检查考试成绩成为唯一的管理手段，各种考试，高考，年考，学期考，月考，甚至每星期考。
教师希望学生尽快地适应考试，在教学中，“题型教学”、高容量、高强度的课堂教学成为比较普遍的现象。
这样做法不符合学生的认知规律，事倍功半。
要改变，应从领导做起，改变急功近利的教育评价观，营造好的教育氛围。
当然，考试制度、考试内容等也需要尽快改革。
教师应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等多种学习数学的方式。
高中数学课程设立“数学探究”“数学建模”等学习活动，这些都是为同学们形成积极主动的、多样的学习方式创造有利的条件，以激发同学们的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯。
如何开展这些活动，我们将在后面给予专题说明。
创新能力-
高中数学课程应力求“通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让同学们体验数学发现和创造的历程”，发展同学们的创新意识。
在高中阶段，创新的最好体现应反映在：
培养学生的问题意识。
鼓励学生提出问题；鼓励学生从多种角度寻求解决问题的方法；课程应具有一定的开放性，给学生思考的空间；为学生营造一个积极思考、探索创新的氛围，等等。
“没有问题的学生，恐怕不能算好学生。
”这是我们的老师丁石孙说过的一段话。
非常有道理。
现在很多学生，包括一些非常优秀的学生，只有不会做的习题，提不出问题，提不出好的、有价值的问题。
希望教师和学生对此给予关注。
我们感到，这是中国优秀学生与一些国外优秀学生最大的差距。
没有提问题的习惯，提不出问题，就很难产生原创性的思想，这对于中国科学技术和社会的发展是十分不利的。
4）关于情感、态度、价值观与数学课程的结合
在数学的学习、教学中，情感、态度、价值观不是空洞的东西，与数学课程密切相关。
《标准》设定的目标指出：
“提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。
”
“具有一定的数学视野，逐步认识数学的应用价值、科学价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。
”
这里强调两点。
“兴趣”
有人说学习的动力来自以下方面，一是觉悟，一是功利，一是兴趣。
文化革命前，主要靠觉悟，现在的学生不太了解那个时代，为革命学习，为国家学习，为人民学习，这些是那个时代的口号。
这些口号激励了一大批人，努力地学习，刻苦地学习，发奋地学习。
现在不提这些了，这不好，为自己的祖国做些贡献，还是需要提倡的。
觉悟还有另一面，是对数学价值的认识，人都在追求好的东西，有价值的东西，形成一种责任感，也许对个人没有太大的利益，他们还会为之奋斗。
《标准》强调“认识数学的应用价值、科学价值和文化价值”的目的，主要在于此。
现在社会非常商业化，“功利”成为衡量事物的基本标准，这也没有什么不对。
但是，目前特别是在教育中，有些过分，在很多情况下，“功利”成为了唯一的追求，把教育的目标量化，这是很危险的，更可怕的是很多领导对此津津乐道。
在学生学习中，也把“功利”作为唯一的动力，短见，急功近利，严重地影响了学生的发展，特别是影响一些有潜力、有特长、有天才学生的发展。
“兴趣”的培养被忽视了。
最突出例子是数学竞赛，无论是国外，还是中国，数学竞赛的基本目的是培养学生学习数学的兴趣，现在，在很多地方数学竞赛已经变味了，变成追逐“功利”的舞台，背离了开展数学竞赛的初衷。
现在，小学数学竞赛
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