21已知半径为a的导体球面上分布着面电荷密度为的电荷式中精.docx
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21已知半径为a的导体球面上分布着面电荷密度为的电荷式中精
2．1已知半径为a的导体球面上散布着面电荷密度为ss0cos的电
荷，式中的s0为常数。
试求球面上的总电荷量。
z
dsr
r
y
o
x
解：
球面上的总电荷量等于面电荷密度沿r=a的球面上的积分。
在球
面上选择一个小的球环，面积为dsr，对应的弧长为dlad，所以，
dsr2asindl2asinad。
qsdss0cosdss0cos2a2sind0
ss0
2.14题，在以下条件下，对给定点求divE的值：
（1）
E
[
ex
（2xyzy2）
ey
（x2z2xy）
ez
x2y]V/m，求点P（2,3,
1）处
divE
1
的值。
（2）E
[e
2z2sin
2
ez2sin2
ez22zsin2
]V/m，
求点P2（
2,
110
z
1）处divE
的值。
解：
（1）divE
x
（2xyz
y2）
y
（x2z
2xy）
z（x2y）
2yz
2x
2
3（
1）
2
2
10
divE
1
[
（2
z2sin2
）]
1
（
z2sin2）
（2
2zsin2）
z
（2）
4z2sin2
2z2cos2
2
2sin2
9.06
2.15题，半径为a的球中充满密度为ρ（r）的体电荷，已知电位移散布
为：
er（r3
Ar2）,（0
r
a）
D=erDr=
a5
Aa4
er（
r2）,
（r
a）
此中A为常数，试求电荷密度ρ（r）。
解：
利用高斯定理的微分形式，即
D=
得
D=12
（r2Dr）
D=12
r
r
在r≤a地区中：
[r2（r3
Ar2）]
5r2
4Ar
r
r
在r≥a地区中：
1
[r
2
a5
Aa
4
0
D=
2
（
r
2
）]
r
r
2．20，在半径a＝1mm的非磁性资料圆柱形实心导体内，沿
z轴方
向经过电流I＝20A，试求：
（1）
0.8mm处的B；
（2）
1.2mm处的
B；（3）圆柱内单位长度的总磁通。
解：
（1）圆柱形导体内的电流密度为
Jez
I
2ez
20
3
）
2A/m2
ez6.37106A/m2
a
（110
利用安培环路定律得
2B
0J
2
B0.8mm
e
1
0J
e3.2103T
2
（2）利用安培环路定律得
B1.2mme
0I
e3.33103T
2
（3）圆柱内单位长度的总磁通为
BdS
a1
0Jd
1
0J
2
a
02
2
2
0
2106Wb
2．22经过电流密度为J的平均电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱
形空腔，其横截面如图题2.22所示。
试计算各部分的磁感觉强度，
并证明空腔内的磁场是平均的。
解：
y
P
rbra
ca
J
obo
a
x
b
因空腔中电流密度为零，可视为同时存在J和－J的电流密度，
这样，可将本来的电流散布视为以下两个电流散布的叠加：
一个电流
密度为J，平均散布在半径为b的圆柱内；另一个电流密度为－J，均
匀散布在半径为a的圆柱内。
空间的场，即是它们共同产生的。
由安培环路定律
Bdl
0I，可获得电流密度为
J、平均分
c
布在半径为b的圆柱内的电流产生的磁场为：
1
0I
0I
2rb
0Jez
rb
rb
Bb
e
ez
er
r
2
r
2
1
2
2
2
ezrb
rb>b
2r
3
0Jb
b
半径为a、电流密度为－J的圆柱的磁场为：
1
0Jezra
ra0I
0I
2ra
Ba
2e
2ezer
2r
2r
1
0Jb2ez
3
rara>a
2r
a
此中，ra、rb分别是点oa和ob出席点P的地点矢量。
将上边两式叠加，可得空间各地区的场：
B
1
0Jez
b2
rb
a2
圆柱外：
2
（
3
r
3ra）
r
a2
1
0Jez
1
ra）
圆柱内的空腔外：
B
2
（rb
r
3
r
空腔内：
B
1
0Jez
（1rb
1ra）
1
0Jez
c
2
r
r
2
c
可见，空腔内是平均场。
2．24有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时
变磁场
B
ez5cos
tmT
之中，以下图。
滑片的地点由
x0.35（1
cos
t）m
确立，轨道终端接有电阻
R0.2
，
求电流
i。
y
a
i
b
0.2m
B
R
x
c
d
0.7m
解：
穿过导体回路abcda的磁通为
BdS
ezBezad
ab
5cos
t0.2（0.7
x）
cos
t[0.7
0.35（1
cost）]
0.35cost（1
cost）
所以，感觉电流为
i
in
1d
10.35
sint（1
cost）
R
Rdt
R
1.75
sin
t（12cos
t）
mA
2．26求以下状况下的位移电流密度的大小
（1）某挪动天线发射的电磁波的磁场强度
Hex0.15cos（9.36108t3.12y）A/m
（2）一大功率变压器在空气中产生的磁感觉强度
Bey0.8cos（3.77102t1.26106x）T
（3）一大功率变压器在填补的油中产生的电场强度
Eex0.9cos（3.77102t2.81106z）MV/m
设油的相对介电常数r5
（4）工频（f=50Hz）下的金属导体中，Jex0.1sin（377t117.1z）MA/m2
设金属导体的
0,
0,
5.8
107s/m。
解：
（1）在真空中，传导电流为
0，所以由
H
D，获得位移电流为：
t
ex
ey
ez
Jd
D
H
ez
Hx
t
x
y
z
y
Hx
0
0
ez
y
[0.15cos（9.36
108t
3.12y）]A/m2
ez0.468sin（9.36
108t
3.12y）A/m2
故Jd
0.468A/m2
（2）由
D
B
0H，获得位移电流为：
H
t
ex
ey
ez
Jd
D
1
B
1
ez
1
By
t
x
y
z
x
0
0
0
0
By
0
ez
1
[0.8cos（3.77
102t
1.26
106x）]
0
x
ez0.802sin（3.77102t1.26
106x）A/m2
故Jd
0.802A/m2
（3）
D
r
oE=5
0[ex0.9
106cos（3.77102t
2.81106z）]
ex5
8.8510120.9
106cos（3.77102t
2.81
106z）
J
d
D
e15
103sin（3.77102t
2.81
106z）A/m2
t
x
故Jd15103A/m2
E=J
1
7
ex106
sin（377t117.1z）
5.8
（4）
10
ex1.72102sin（377t117.1z）V/m
DE=ex8.85
1012
1.72
102sin（377t
117.1z）
Jd
D
ex15.26
1014
377cos（3.77102t117.1z）
t
ex57.53
1012cos（3.77
102t
117.1z）A/m
故Jd
57.53
1012A/m2
2．27同轴线的内导体半径a=1mm，外导体的内半径b=4mm，内外导体间为空气，以下图。
假定内、外导体间的电场强度为
Ee100cos（108tkz）V/m。
（1）求与E相伴的H；
（2）确立k
的值；（3）求内导体表面的电流密度；（4）求沿轴线0z1m地区
内的位移电流。
a
b
解：
（1）由麦克斯韦方程组获得
E0H，所以
t
H
1
E
e1
E
z
t
0
0
e100ksin（108t
kz）
0
将上式对时间t
积分，获得H
e
100k
8
cos（108tkz）
0
10
（2）为确立k值，将上述H代入
H
0
E获得
t
E
1
H
11e[
（H
）]
t
0
0
z
e
100k2
8
8sin（10tkz）
0
0
10
将上式对时间t
积分，获得E
e
100k2
8
16cos（10tkz）
0
0
10
将其与题中的E比较，获得k2
0
01016
1
所以：
k
rad/m
3
同轴线内、外导体之间的电场和磁场表示为：
E
e
100
cos（108t
1
z）V/m
3
H
e
100cos（108t
1z）A/m
120
3
（3）将内导体视为理想导体，利用理想导体的界限条件即可求出内
导体表面的电流密度
JsenHae
e
100
cos（108t
1
z）
120
3
ez265.3cos（108t
1
z）A/m
3
位移电流密度为：
Jd
0
E
0[e
100
cos（108t
1
z）]
t
t
3
e
8.85
102
8
1
2
sin（10t
z）A/m
3
（4）在0z1m地区内的位移电流为：
1
102
1
8t
1
id
JddS
0
Jd
e2
dz=
2
8.85
sin（10
z）dz
s
0
3
=
2
8
1
1
28.8510
3[cos（10t
z）]
0
3
0.55sin（108t
1
）A
6
2．30煤质1的电参数为
1
4
0,
1
20,
1
0；煤质2的电
参数为1
2
0,
1
3
0,
1
0。
两种煤质分解面上的法向单位
矢量为en
ex0.64
ey0.6
ez0.48，由煤质2指向煤质1。
若已
知煤质1内周边分解面上的点P处的磁感觉强度
B1
（ex
2ey
3ez）sin300tT，求P点处以下量的大小：
B1n,B1t,B2n,B2t。
解：
B1在分界面法线方向的重量为：
B1nB1en（ex2ey3ez）（ex0.64ey0.6ez0.48）2T
B
B2
B2
3.16T
1t
1
1n
利用磁场界限条件，获得B2n
B1n
2T
利用磁场界限条件，获得
B
2t
2
B
3
3.16
4.74T
1
1t
2
2．31煤质1
的电参数为
1
50,
1
3
0,1
0；煤质2可视
为理想导体
（2）。
设y=0为理想导体表面，y>0的地区（煤
质1）内的电场强度为E
ey20cos（2
108t
2.58z）V/m，试
计算t=6ns时：
（1）点P（2，0，0.3）处的面电荷密度
s；
（2）点P
处的H；（3）点P处的面电流密度Js。
解：
（1）s
enDy0,z0.3
ey
ey20
50cos（2
108t
2.58z）
80.6109C/m2
（2）由
E
H，获得
t
H1
1
Ey
1
8
t
E
（ex
z）
ex3
0z[20cos（210t2.58z）]
1
8
ex30
20
2.58sin（2
10t
2.58z）
对时间t积分，获得
1
20
2.58
sin（2
8
2.58z）dt
Hex
10t
3
0
ex
20
2.588
cos（2
108t
2.58z）
3
0
2
10
ex62.3
103A/m
（）Js
en
Hy
0ey
（exHx）y0ez62.3103A/m
3
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