21已知半径为a的导体球面上分布着面电荷密度为的电荷式中精.docx

1、21已知半径为a的导体球面上分布着面电荷密度为的电荷式中精21 已知半径为 a 的导体球面上散布着面电荷密度为 s s0 cos 的电荷，式中的 s0 为常数。试求球面上的总电荷量。zdsrryox解：球面上的总电荷量等于面电荷密度沿 r=a 的球面上的积分。在球面上选择一个小的球环，面积为 dsr ，对应的弧长为 dl ad ，所以，dsr 2 a sin dl 2 a sin ad 。q sds s0 cos ds s0 cos 2 a2 sin d 0s s 02.14 题，在以下条件下，对给定点求 divE 的值：（1）Eex(2 xyz y2 )ey(x2 z 2xy)ezx2 yV

2、 / m ，求点 P (2, 3,1)处divE1的值。（2） Ee2 z2 sin2e z2 sin 2ez 2 2 zsin2V / m ，求点 P2(2,110, z1) 处 divE的值。解：（1） divEx(2 xyzy2 )y( x2 z2xy)z (x2 y)2 yz2x23 (1)2210divE1(2z2 sin2)1(z2 sin2 )(22 zsin 2 )z（2）4z2 sin 22z2 cos222 sin29.062.15 题，半径为 a 的球中充满密度为 (r)的体电荷，已知电位移散布为：er (r 3Ar 2 ), (0ra)D = er Dr =a5Aa4e

3、r (r 2),(ra)此中 A 为常数，试求电荷密度 (r)。解：利用高斯定理的微分形式，即D =得D= 12(r 2 Dr )D= 12rr在 ra 地区中：r 2 (r 3Ar 2 )5r 24Arrr在 ra 地区中：1 r2a5Aa40D =2(r2)rr220，在半径 a1mm 的非磁性资料圆柱形实心导体内，沿z 轴方向经过电流 I 20A，试求：（ 1）0.8mm 处的 B；（2）1.2mm 处的B；（3）圆柱内单位长度的总磁通。解：（1）圆柱形导体内的电流密度为J ezI2ez203)2 A / m2ez6.37 106 A / m2a(1 10利用安培环路定律得2 B0 J2

4、B0.8 mme10Je 3.2 10 3T2（2）利用安培环路定律得B1.2 mme0 Ie 3.33 10 3T2（3）圆柱内单位长度的总磁通为B dSa 10 J d10 J2a0 22202 10 6 Wb222 经过电流密度为 J 的平均电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，其横截面如图题 2.22 所示。试计算各部分的磁感觉强度，并证明空腔内的磁场是平均的。解：yPrb rac aJob oaxb因空腔中电流密度为零，可视为同时存在 J 和 J 的电流密度，这样，可将本来的电流散布视为以下两个电流散布的叠加： 一个电流密度为 J，平均散布在半径为 b 的圆柱内；另一个电流密度为

5、J，均匀散布在半径为 a 的圆柱内。空间的场，即是它们共同产生的。由安培环路定律B dl0I ，可获得电流密度为J、平均分c布在半径为 b 的圆柱内的电流产生的磁场为：10 I0 I2rb0 Jezrbrb b2r30 Jbb半径为 a、电流密度为 J 的圆柱的磁场为：10 Jezrara a2ra此中， ra、rb 分别是点 oa 和 ob 出席点 P 的地点矢量。将上边两式叠加，可得空间各地区的场：B10 Jezb2rba2圆柱外：2(3r3 ra )ra210Jez1ra )圆柱内的空腔外：B2( rbr3r空腔内：B10 Jez( 1 rb1 ra )10 Jezc2rr2c可见，空腔

6、内是平均场。224 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁 场Bez 5cost mT之中，以下图。滑片的地点由x 0.35(1cost ) m确立，轨道终端接有电阻R 0.2，求电流i 。yaib0.2mBRxcd0.7m解：穿过导体回路 abcda的磁通为B dSez B ez adab5cost 0.2(0.7x)cost0.70.35(1cos t )0.35cos t(1cos t )所以，感觉电流为iin1 d1 0.35sin t (1cos t )RR dtR1.75sint (1 2cost)mA226 求以下状况下的位移电流密度的大小（1）某挪动天线发射

7、的电磁波的磁场强度H ex 0.15cos(9.36 108 t 3.12y) A / m（2）一大功率变压器在空气中产生的磁感觉强度B ey 0.8cos(3.77 102 t 1.26 10 6 x)T（3）一大功率变压器在填补的油中产生的电场强度E ex 0.9cos(3.77 102 t 2.81 10 6 z)MV / m设油的相对介电常数 r 5（4）工频（f=50Hz）下的金属导体中， J ex 0.1sin(377t 117.1z) MA / m2设金属导体的0 ,0 ,5.8107 s/ m 。解：（1）在真空中，传导电流为0，所以由HD ，获得位移电流为：texeyezJd

8、DHezH xtxyzyH x00ezy0.15cos(9.36108 t3.12y) A / m2ez 0.468sin(9.36108 t3.12y) A / m2故 Jd0.468A / m2（2）由D, B0 H ，获得位移电流为：HtexeyezJdD1B1ez1Bytxyzx0000By0ez10.8cos(3.77102 t1.2610 6 x)0xez 0.802sin(3.77 102 t 1.2610 6 x) A / m2故 Jd0.802A / m2（3）DroE = 50 ex 0.9106 cos(3.77 102t2.81 10 6 z)ex 58.85 10 1

9、2 0.9106 cos(3.77 102 t2.8110 6 z)JdDe 1510 3 sin(3.77 102 t2.8110 6 z) A / m2tx故 Jd 15 10 3 A / m2E = J17ex106sin(377t 117.1z)5.8（4）10ex1.72 10 2 sin(377t 117.1z)V / mD E = ex 8.8510 121.7210 2 sin(377t117.1z)JdDex15.2610 14377cos(3.77 102 t 117.1z)tex 57.5310 12 cos(3.77102 t117.1z) A / m故 Jd57.53

10、10 12 A / m2227 同轴线的内导体半径 a=1mm，外导体的内半径 b=4mm，内外导体间为空气，以下图。假定内、外导体间的电场强度为Ee 100 cos(108 t kz)V / m。（1）求与 E 相伴的 H；（2）确立 k的值；（3）求内导体表面的电流密度； （4）求沿轴线 0 z 1m 地区内的位移电流。ab解：（1）由麦克斯韦方程组获得E 0 H，所以tH1Ee 1Ezt00e 100k sin(108 tkz)0将上式对时间 t积分，获得 He100k8cos(108 t kz)010（2）为确立 k 值，将上述 H 代入H0E 获得tE1H1 1 e ( H)t00z

11、e100k 288 sin(10 t kz)0010将上式对时间 t积分，获得 Ee100k2816 cos(10 t kz)0010将其与题中的 E 比较，获得 k20010161所以： krad / m3同轴线内、外导体之间的电场和磁场表示为：Ee100cos(108 t1z)V / m3He100 cos(108 t1 z) A / m1203（3）将内导体视为理想导体，利用理想导体的界限条件即可求出内导体表面的电流密度Js en H a ee100cos(108 t1z)1203ez 265.3cos(108 t1z) A / m3位移电流密度为：Jd0E0 e100cos(108 t

12、1z)tt3e8.8510 2812sin(10 tz) A / m3（4）在 0 z 1m 地区内的位移电流为：110 218 t1i dJ d dS0J de 2dz =28.85sin(10z) dzs03=28112 8.85 103cos(10 tz)030.55sin(108 t1) A6230 煤质 1 的电参数为140 ,12 0 ,10；煤质 2 的电参数为 120 ,130 ,10 。两种煤质分解面上的法向单位矢量为 enex 0.64ey 0.6ez 0.48 ，由煤质 2 指向煤质 1。若已知煤质 1 内周边分解面上的点 P 处的磁感觉强度B1(ex2ey3ez )si

13、n300 tT ， 求 P 点处 以下量 的大小 ：B1n , B1t , B2n , B2t 。解： B1 在分界面法线方向的重量为：B1n B1 en (ex 2ey 3ez ) (ex 0.64 ey 0.6 ez 0.48) 2TBB 2B23.16T1t11n利用磁场界限条件，获得 B2nB1n2T利用磁场界限条件，获得B2t2B33.164.74T11t2231 煤质 1的电参数为15 0 ,130 , 10；煤质 2 可视为理想导体（ 2 ）。设 y=0 为理想导体表面， y0 的地区（煤质 1）内的电场强度为 Eey 20cos(2108 t2.58z)V / m ，试计算 t

14、=6ns 时：（1）点 P（2，0，0.3）处的面电荷密度s ；（2）点 P处的 H；（3）点 P 处的面电流密度 Js 。解：（1） sen D y 0,z 0.3eyey 205 0 cos(2108 t2.58z)80.6 10 9C / m2（2）由EH ，获得tH11Ey18tE( exz )ex 30 z 20cos(2 10 t 2.58z)18ex 3 0202.58sin(210 t2.58z)对时间 t 积分，获得1202.58sin(282.58 z)dtH ex10 t30ex202.58 8cos(2108 t2.58z)30210ex 62.310 3 A / m（ ） J senH y0ey(ex H x ) y 0 ez 62.3 10 3 A / m3