中考数学命题定理证明.docx

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中考数学命题定理证明

第三单元命题定理证明

一、教法建议

抛砖引玉

本单元的主要内容是命题，定理和证明，在教学时，通过学生学习的一些命题和证明的定理，向学生介绍一些简单的逻辑知识，逻辑的概念和术语，但不要在这些概念和术语上下功夫，能初步掌握就可以了，结合学生学过的图形的性质和判定，用具体的例子说明什么是命题，命题的组成和命题的真假，要讲清楚这些内容，注意结合熟悉的事例，要求学生了解就可以了，不要让学生死记硬背这些术语.对于命题的证明,要重点讲解.教学时,在前面已有的基础上,向学生详细介绍证明的一般步骤，举例说明证明一个命题的全过程，练习和习题中配备较多的证明的填空练习，要让学生重点练习，在练中学，使学生了解综合法证明几何命题的格式，为今后证明训练打下基础.在教学中，注重培养学生的逻辑思维能力.逻辑推理训练是培养逻辑思维能力的一个重要内容，对证明步骤，格式，要让学生抄写，模仿，熟悉证明的步骤与格式.掌握一个命题，一定要分清它的题设和结论，所以找出一个命题的题设和结论是十分重要的问题.教学中要从易到难，慢慢增加难度.在学中掌握，在用中掌握与提高.千万不能操之过急.

指点迷津

在学习命题时，有些命题的题设和结论不明显.例如，“同角（或等角）的余角相等”，“同角（或等角）的补角相等”等，一些没有写成“如果……那么……”形式的命题，往往搞不清哪是题设，哪是结论，又没有一个通用方法可以套用.如何分清题设和结论，只要多研究实例，多作练习，在实践中学习，从中升华.有时需要结合图形作具体分析.对于像“同角的余角相等”，“对顶角相等”这类简述的命题，一般可以添上省去的词语后再进行分析，类似这样的命题，把它的图形画出来，更有助于对命题分析.教学中循序渐进，由浅入深，图文并茂.学练结合，加强指导.将会共渡难关，收到较好成效！

二、学海导航

思维基础

基础知识必须强化，扎实，才能为更好学习铺平道路.

1.判断一件事情的句子，叫.

2.每个命题都是由题设，两部分组成.题设是；结论是由已知事项.

3.如果题设成立，，像这样的命题，叫做.

4.题设成立时，不能保证结论总是正确的，也就是，这些命题都是错误的命题，像这样的命题叫做.

5.它们的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，，这样的真命题称为公理.

6.它们的正确性是用推理的方法进行证实的，这种定理，推理过程叫做证明.

7.___________叫等量代换.

8.证明一个命题一般步骤是：

（1）；

（2）；（3）.在一般情况下，分析的过程不要求写出来.

9.判定一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不.

学法指要

【例1】判断下列语句是不是命题:

（1）线段的中点到线段两端点的距离相等；

（2）相等的两个角是对顶角；

（3）过已知直线外的任一点画出已知直线的垂线；

（4）凡直角都相等；

（5）不相等的两个角不是对顶角；

（6）与两平行线中的一条相交的直线，也必与另一条相交.

思考：

1.你知道什么叫命题吗？

2.怎样判定一个句子是命题？

思路分析：

判断一件事情的句子，叫做命题.由此可知，判定一件事情的句子是否是命题，则它应该对一件事情有所肯定或否定，作出明确判断，否则，它就不是命题.根据这一分析，思路自然清晰.

解：

根据命题的定义可知：

1，2，4，5，6是命题；3.不是命题.

【例2】将下列各句改写成“如果……那么……”的形式.

1.对顶角相等；

2.等角的余角相等；

3.垂直于同一条直线的两条直线互相平行；

4.同旁内角互补，两直线平行；

5.同圆的半径相等.

思考：

1.如何把省略掉的词语重新补上？

2.根据命题你能画出图形吗？

根据图形，能写出“如果……那么……”的命题吗？

3.对省去“如果”“那么”的命题如何进行分析？

思路分析：

省略掉词语的命题通常采取仔细分析，把省略掉的词语重新补上，或根据命题画出准确图形，再根据图形，把命题完整写出来，根据这些方法研究，我们便可着手改写了.

解：

1.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；

2.如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等；

3.如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行；

4.两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；

5.如果两条半径是同圆的两条半径，那么这两条半径相等.

【例3】指出下列命题的题设部分和结论部分.

1.直角都相等；

2.互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；

3.直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短；

4.钝角大于它的补角；

5.大于90°而小于180°的角是钝角；

6.两个角的和等于平角时，这两个角互为补角.

思考：

1.每个命题都由哪两部分组成？

请你说出来.2.题设表示什么意思？

结论表示什么意思？

3.命题中没有明显突出题设与结论又如何入手呢？

能否改写成“如果……那么……”形式呢？

4.命题的题设与结论不好用文字叙述时，可否用符号写出题设与结论呢？

又如何表示？

思路分析：

解答这类问题，必须弄清命题由哪两部分组成，进一步弄明白题设与结论所表示的意思，便可找出题设与结论，对省略掉词语的命题应先设法补上，再着手找题设与结论.命题的题设与结论不好用文字叙述时，可用符号写出题设和结论，但必须说明符号所表示的意义.根据上述分析，便可找出1～6题的题设部分和结论部分.

解：

1.题设：

两个角都是直角；

结论：

这两个角相等.

2.题设：

互为邻补角的两个角的两条角平分线；

结论：

这两个角平分线互相垂直.

3.题设：

直线外一点与直线上各点连结的所有线段；

结论：

垂线段最短.

4.题设：

∠α是∠β的补角，且90°<∠α<180°；

结论：

∠α<∠β

5.题设：

90°<∠α<180°

结论：

∠α是钝角.

6.题设：

两个角的和等于平角；

结论：

这两个角互补.

【例4】判断下列命题的真假,如果是假命题,请说明理由.

1.两点之间,线段最短；

2.如果一个数的平方是9，那么这个数是3；

3.同旁内角互补；

4.过一点有且只有一条已知直线与已知直线平行；

5.如果a+b=0，那么a=0,b=0；

6.两个锐角的和是锐角.

思考：

1.什么叫命题？

2.什么叫真命题？

3.什么叫假命题？

4.判别假命题的方法是什么？

请你叙述.

思路分析：

要判定一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例）即可.于是以上各题真假便眉目分明了.

解：

1.真命题，这是关于线段的一个公理.

2.假命题，因为一个数的平方是9，这个数也可能是-3.

3.假命题，任意两条直线被第三条直线所截，都有同旁内角产生，只有两条平行线被第三条直线所截，才有同旁内角互补的结论.

4.假命题：

如果这个点在已知直线上，就无法作出一条直线与已知直线平行.

5.假命题：

如果a=2,b=-2,2+（-2）=0a=2≠0,b=-2≠0.

6.假命题，如果60°和50°的角都是锐角，但它们的和是钝角.

【例5】区分下列语句中，哪些是定义，哪些是公理，哪些是定理？

1.经过两点有一条直线，并且只有一条直线；

2.两点之间，线段最短；

3.有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；

4.对顶角相等；

5.垂线段最短.

思考：

1.定义、公理、定理的内容你知道吗？

2.定义、公理、定理有何区别？

思路分析：

只要理解定义、公理、定理的意义，便可一一区分谁是定义，谁是公理，谁是定理.

解：

（1），

（2）是公理；（3）是定义；（4），（5）是定理.

【例6】填写下面证明中的空格：

已知：

如图2-97，CD⊥AB，GF⊥AB，∠1=∠2，求证：

∠B=∠ADE.

证明：

∵CD⊥AB，GF⊥AB（已知）

∴∠CDB==90°（）

∴∥（）

∴∠1=（）

∵∠1=∠2（已知）

∴∠2=（）

∴∥（）

∴∠B=∠ADE

图2-97

思考：

1.叙述平行线判定公理、定理；2.叙述平行线性质公理、定理.3.证明一个命题有哪些步骤呢？

4.证明两角相等有哪些思维方法？

思路分析：

括号里的证明依据，应从已知入手，结合图形，联想公理、定理，便可填写准确的依据.

解：

∠FGB；垂直定义；CD，FG；同位角相等，二直线平行；∠BCD；二直线平行，同位角相等；∠BCD；等量代换；DE，BC；内错角相等，二直线平行；二直线平行，同位角相等.

思维体操

【例1】已知：

如图2-98，AD∥BC，∠A=∠C

求证：

AB∥CD

图2-98

思考：

1.要证明二直线平行，你考虑有几种方法？

2.证明二直线平行是用平行线判定公理及定理，还是用平行线性质公理及定理？

思路分析：

证明二直线平行的方法，通常考虑用平行线判定公理和定理，而将要证明二直线平行问题，通常转化为证角等或者同旁内角互补问题.所以对本例，至少可找到两种以上思路.

证明：

∵AD∥BC（已知）

∴∠A=∠CBE（二直线平行，同位角相等）

∵∠A=∠C（已知）

∴∠C=∠CBE（等量代换）

∴AB∥CD（内错角相等，二直线平行）

又证明：

∵AD∥BC（已知）

∴∠A=∠CBE（二直线平行，同位角相等）

∵∠ABC+∠CBE=180°（邻补角定义）

∵∠A=∠C（已知）

∴∠ABC+∠C=180°（等量代换）

∴AB∥CD（同旁内角互补，二直线平行）

再证明：

∵AD∥BC（已知）

∴∠A+∠ABC=180°（二直线平行，同旁内角互补）

∵∠A=∠C（已知）

∴∠C+∠ABC=180°（等量代换）

∴AB∥CD（同旁内角互补，二直线平行）

证法四：

延长BC，DC（如图2-99）

∠1=∠2（对顶角相等）

∵∠1=∠C，∴∠2=∠C（等量代换）

∵∠A=∠C（已知）∴∠2=∠A（等量代换）

∵AD∥BC（已知）

∴∠A=∠3（二直线平行，同位角相等）

∴∠3=∠2（等量代换）

∴AB∥CD（同位角相等，二直线平行）

图2-99

【例2】如图2-100.

1.已知AD∥BC,可以得出哪些角相等?

为什么?

2.已知AB∥DC,可以得出哪些角的和是180°,为什么?

3.已知∠3=∠7,可以得出哪两条直线平行?

为什么?

4.已知∠1+∠2+∠3+∠4=180°,可以得出哪两条直线平行?

为什么?

5.由哪两条直线平行，可以得到∠4=∠8，为什么？

6.由哪两条直线平行，可以得到∠3+∠4+∠5+∠6=180°？

为什么？

图2-100

思考：

1.怎样找两个角相等或互补？

2.如何找出两条直线平行？

它的依据是什么？

3.平行线的判定公理及定理与平行线的性质公理与定理有何区别？

思路分析：

证明两角相等或互补，通常转化证二直线平行，从而通过同位角，内错角或同旁内角可沟通题设与结论关系.反之，要证二直线平行，一般地说可转化证明两角相等，两角互补，即同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，可达目的，沿着这两大思路进行思维，再结合题设与图形，思路顿开.

解：

1.∠1=∠5，∠4=∠8.因为二直线平行，内错角相等；

2.∠1+∠2+∠7+∠8=180°，∠3+∠4+∠5+∠6=180°，因为二直线平行，同旁内角互补；

3.AB∥CD.因为内错角相等，二直线平行；

4.AD∥BC.因为同旁内角互补，二直线平行；

5.AD∥BC.因为二直线平行，内错角相等；

6.AB∥CD.因为二直线平行，同旁内角互补.

【例3】如图2-101，已知∠ABC=90°，∠1=∠2，∠DCA=∠CAB，求证：

CD平分∠ACE.

思考：

1.你知道角平分线定义吗？

2.证明两角相等，通常选取哪些方法？

3.同角（或等角）的余角有何关系？

图2-101

思路分析：

从题设及观察图形可知，首先由∠DCA=∠CAB证得AB∥CD，进而可知∠DCB=90°-∠1，∠DCE=90°-∠2，又∠1=∠2，根据等角的余角相等，即可获证.

证明：

∵∠DCA=∠CAB（已知）

∴AB∥CD（内错角相等，二直线平行）

∴∠ABC+∠BCD=180°（二直线平行，同旁内角互补）

∴∠BCD=180°-∠ABC=180°-90°=90°

∴∠DCA=90°-∠1

又∵∠DCE=180°-∠BCD-∠2

=180°-90°-∠2=90°-∠2

∵∠1=∠2（已知）

∴∠DCA=∠DCE（等角的余角相等）

从而CD平分∠ACE.

三、智能显示

心中有数

了解命题的概念，能够初步区分命题的题设和结论，会把命题改写成“如果……那么……”的形式.对定义、公理、定理的概念要了解，了解“证明的必要性和推理过程中要每步有据，了解综合法证明的格式.

动脑动手

1.判断下列命题是真命题还是假命题.如果是假命题，举出一个反例.

（1）邻补角是互补角；

（2）互补角是邻补角；

（3）如果一个数能被2整除，那么这个数也能被4整除；

（4）不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变.

2.指出下列命题的题设和结论：

（1）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；

（2）等式两边加上同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式；

（3）平行于同一条直线的两条直线平行；

（4）任意两个直角都相等.

3.完成下面证明：

已知：

如图2-102，AB∥CD，AD∥BC.

求证：

∠A=∠C

图2-102

4.证明：

两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行.

（只要求画出图形，写出已知，求证）

创新园地

1.已知：

如图2-103，∠1=∠2.求证：

∠2=∠3

2.如图2-104，AB∥CD，BEFGD是折线，求证：

∠B+∠F+∠D=∠E+∠G

图2-103图2-104

3.如图2-105，ABCDEFG中，∠1=∠2=∠3=∠4=∠5，延长AB，GF交于点M，求证：

∠AMG=∠3

4.如图2-106，已知AB∥CD，∠1=∠2，求证：

∠BEF=∠EFC

5.如图2-107，已知∠1=∠2=∠3，∠GFA=36°，∠ACB=60°，AQ平分∠FAC，求∠HAQ的度数.

图2-105图2-106图2-107

四、同步题库

一、填空题

1.命题常写成“如果……，那么……”的形式，在这种形式中，用“”开始的部分是题设，用“”开始的部分是结论.

2.将命题“等角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为.

3.已知∠AOB为锐角，直线l1⊥OA，直线l2⊥OB，那么l1和l2的关系为.

4.如图2-108所示，直线l∥m，若∠α=70°，则∠β=.

5.如图2-109所示，a∥b，∠1-2∠2=60°，则∠1=；∠2=.

图2-108图2-109

6.“同位角相等，两直线平行”这个命题的题设是.

7.“过两点有且只有一条直线”是.

8.叫做命题，每个命题都是由；两部分组成.

9.如果题设成立，那么结论也成立，这样的命题叫做.

10.证明一个命题的步骤是：

①根据题意,；

②根据题设、结论、结合图形、写出；.

③经过分析，找出由推出的途径，写出.

二、选择题

11.下列语句中，不是命题的是.

（A）两点之间，线段最短

（B）对顶角不相等

（C）连结A、B两点

（D）不重合的两条直线有一个交点

12.给出下列四个命题：

①同角的余角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④平行于同一条直线的两条直线垂直.

其中真命题有.

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

13.如图2-110，下列推理中正确的是.

（A）∵∠1=∠2，∴AB∥CD

（B）∵∠ABC+BCD=180°，∴AD∥BC

（C）∵AD∥BC，∴∠3=∠4

（D）∵∠ABC=∠ADC，∠1=∠2

∴AB∥CD

图2-110

14.下列命题，正确的是.

（A）如果∠α=180°-∠β，则∠α是补角

（B）如果∠α+∠β=90°，则∠α是余角

（C）40°角是50°角的余角

（D）余角是补角的一半

15.将命题“对顶角相等”改成“如果……，那么……”的形式正确的是.

（A）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角

（B）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等

（C）如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角

（D）如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等

16.下列语句是命题的是.

（1）过一点作直线的垂线

（2）如果a∥b且b∥c，那么a∥c

（3）∠1=∠2，∠2=∠3，则∠1=∠3

（4）同位角互补，两直线平行

（A）

（2）（B）

（2）、（3）

（C）

（2）、（3）（4）（D）

（1）、

（2）、（3）、（4）

17.下列命题，正确的是.

（A）两锐角的和是直角

（B）若∠AOB+∠BOC=90°，则∠AOC是直角

（C）若∠α是∠β的邻补角,则∠α与∠β中一定有一个是钝角,一个是锐角

（D）若∠α与∠β互为余角，则∠α、∠β均为锐角

18.下列命题是假命题的是.

（A）垂线段最短（B）对顶角相等

（C）同位角相等（D）一个锐角的补角大于这个锐角

19.下列命题中，假命题是.

（A）没有公共点的两条直线必定平行

（B）同一平面内，l1⊥l2，垂足为A，l2⊥l，垂足为B，A、B两点不重点，那么l1⊥l

（C）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短

（D）两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角的角平分线平行

20.下列四个命题中,真命题是.

（A）如果一个角有补角，则这个角必是钝角

（B）如果一个角有余角，则这个角必是锐角

（C）互补的两个角一定是邻补角

（D）如果∠1+∠2+∠3=180°，那么∠1，∠2，∠3互补

三、解答题

21.根据下列命题，画出图形，并写出已知和求证：

（1）邻补角的平分线互相垂直.

（2）两直线平行，内错角相等.

22.已知点C，C′分别是AB、A′B′的中点，AC=A′C′，求证：

AB=A′B′

23.如图2-111所示，已知AC⊥BC，∠ACD=∠CDE，求证：

DE⊥BC

24.如图2-112所示，已知∠1+∠2=180°，求证：

∠3+∠4=180°

25.如图2-113所示，AB∥CD，EF分别与AB、CD交于G、H，MN过点G垂直于AB，GK是∠MGB的平分线，∠CHG=120°，求∠MGE和∠KGE的度数.

图2-111图2-112

图2-113图2-114

26.已知：

如图2-114，AB∥DC，AD∥BC，∠1=30°，∠2=38°，求∠3的度数.

27.已知：

如图2-115所示，BE平分∠ABC，∠CBF=∠CFB=65°，∠EDF=50°，求证：

BC∥AE.

图2-115图2-116

28.已知：

如图2-116所示，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA，求证：

EF平分∠BED.

29.图2-117，已知AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，∠E=∠3，求证：

AD平分∠BAC.

30.已知，如图2-118，∠COF+∠C=180°，∠C=∠B，求证：

AB∥EF.

图2-117图2-118

参考答案

动脑动手

1.

（1）真命题：

（2）假命题.如图2-119，∠α+∠β=180°，但它们不是邻补角.

（3）假命题.如图6能被2整除，但不能被4整除.

（4）假命题.如图3>2，都乘以-1，则-3<-2.

图2-119

2.

（1）题设：

两条平行线被第三条直线所截.结论：

同旁内角互补；

（2）题设：

等式的两边加上同一个数或同一整式.结论：

所得的结果仍是等式.

（3）题设：

两条直线同平行于第三条直线.结论：

这两条直线平行.

（4）题设：

两个角都是直角.结论：

这两个有相等.

3.AB∥CD，已知；∴∠A+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）；AD∥BC，已知，∠C+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补），∠A=∠C（同角的补角相等）

4.如图2-120，已知：

AB∥CD，EF分别交AB、CD于E，F，EG平分∠AEF，FH平分∠EFD.

求证：

EG∥FH.

图2-120

创新园地

1.证明：

∵∠1=∠2（已知）

∴a∥b（内错角相等，二直线平行）

∴∠2=∠3（二直线平行，内错角相等）

又证：

∵∠1=∠2（已知）

∠1=∠3（对顶角相等）

∴∠2=∠3（等量代换）

2.证明：

过E点作EF′∥AB，过F作FF′∥AB，过G作GG′∥AB，则有AB∥EE′∥FF′∥GG′∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）

∴∠1=∠B，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠D（两直线平行，内错角相等）

∵∠B+∠F+∠D=∠1+∠3+∠4+∠6

=（∠1+∠2）+（∠5+∠6）

=∠E+∠G（等量代换）

∴∠B+∠F+∠D=∠E+∠G

注：

本例的其他证法，请读者探索.

3.证明：

∵∠1=∠2（已知）

∴AM∥CD（内错角相等，两直线平行）

同理：

∠4=∠5

∴GM∥DE

∴∠AMG=∠3（如果一个角的两边分别平行于另一个角二边，那么这两个角相等或互补）

4.证明：

连结BC

∵AB∥CD（已知）

∴∠ABC=∠BCD（二直线平行，内错角相等）

又∵∠1=∠2（已知）

∴∠EBC=∠FCB（等式性质）

∴EB∥CF（内错角相等，二直线平行）

∴∠BEF=∠EFC（二直线平行，内错角相等）

5.证明：

∵∠1=∠2（已知）

∴EF∥AH（同位角相等，二直线平行）

∵∠2=∠3（已知）

∴AH∥CD（同位角相等，二直线平行）

∵GE∥AH（已证）

∴∠FAH=∠GFA=36°（二直线平行，内错角相等）

∵AH∥BD（已知）

∠HAC=∠ACB=60°（两直线平行，内错角相等）

∴∠FAC=∠FAH+∠HAC=36°+60°=96°

∵AQ平分∠FAC（已知）

∴∠FAQ=

∠FAC=48°

∴∠FAH=∠FAQ-∠FAH

=48°-36°

=12°

同步题库

一、填空题

1.如果；那么2.如果两个角是等角，那么这两个角的余角相等3.相交4.50°5.140°；40°6.同位角相等7.公理8.判断某一件事情的句子；题设9.真命题10.①画出图形②已知：

求证③已知，求证，证明的过程

二、选择题

11.C12.A13.D14.C15.B16.C17.D18.C19.A20.B

三、解答题

21.

（1）已知如图2-121，∠AOC与∠BOC为邻补角，OD为∠AOC平分线，OE为∠BOC平分线，求证：

OD⊥OE.

（2）已知如图2-122；直线a∥b.求证：

∠1=∠2.

图2-121图2-122

22.证明：

∵C为AB中点（已知）

∴AC=

AB（中点定义）

∵C′为A′B′中点（已知）

∴A′C′=

A′B′（中点定义）

∵AC=A′C′（已知）

∴

AB=

A′B′（等量代换）

∴AB=A′B′（等式性质）

23.证明：

∵∠ACD=∠CDE（已知）

∴AC∥DE（内错角相等，二直线平行）

∴∠DEB=∠ACB（二直线平行，同位角相等）

∵AC⊥BC（已知）

∴∠ACB=90°（垂直定义）

∴∠DEB=90°（等量代换）

∴DE⊥BC（垂直定义）

24.证明：

∵∠2+∠5=180°（邻补角定义）

∠1+∠2=180°（已知）

∴∠1=∠5（同角的补角相等）

∴a∥b（同位有相等，二直线平行）

∴∠3=∠6（二直线平行，同位角相等