中考数学命题定理证明.docx
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中考数学命题定理证明
第三单元命题定理证明
一、教法建议
抛砖引玉
本单元的主要内容是命题,定理和证明,在教学时,通过学生学习的一些命题和证明的定理,向学生介绍一些简单的逻辑知识,逻辑的概念和术语,但不要在这些概念和术语上下功夫,能初步掌握就可以了,结合学生学过的图形的性质和判定,用具体的例子说明什么是命题,命题的组成和命题的真假,要讲清楚这些内容,注意结合熟悉的事例,要求学生了解就可以了,不要让学生死记硬背这些术语.对于命题的证明,要重点讲解.教学时,在前面已有的基础上,向学生详细介绍证明的一般步骤,举例说明证明一个命题的全过程,练习和习题中配备较多的证明的填空练习,要让学生重点练习,在练中学,使学生了解综合法证明几何命题的格式,为今后证明训练打下基础.在教学中,注重培养学生的逻辑思维能力.逻辑推理训练是培养逻辑思维能力的一个重要内容,对证明步骤,格式,要让学生抄写,模仿,熟悉证明的步骤与格式.掌握一个命题,一定要分清它的题设和结论,所以找出一个命题的题设和结论是十分重要的问题.教学中要从易到难,慢慢增加难度.在学中掌握,在用中掌握与提高.千万不能操之过急.
指点迷津
在学习命题时,有些命题的题设和结论不明显.例如,“同角(或等角)的余角相等”,“同角(或等角)的补角相等”等,一些没有写成“如果……那么……”形式的命题,往往搞不清哪是题设,哪是结论,又没有一个通用方法可以套用.如何分清题设和结论,只要多研究实例,多作练习,在实践中学习,从中升华.有时需要结合图形作具体分析.对于像“同角的余角相等”,“对顶角相等”这类简述的命题,一般可以添上省去的词语后再进行分析,类似这样的命题,把它的图形画出来,更有助于对命题分析.教学中循序渐进,由浅入深,图文并茂.学练结合,加强指导.将会共渡难关,收到较好成效!
二、学海导航
思维基础
基础知识必须强化,扎实,才能为更好学习铺平道路.
1.判断一件事情的句子,叫.
2.每个命题都是由题设,两部分组成.题设是;结论是由已知事项.
3.如果题设成立,,像这样的命题,叫做.
4.题设成立时,不能保证结论总是正确的,也就是,这些命题都是错误的命题,像这样的命题叫做.
5.它们的正确性是人们在长期的实践中总结出来的,,这样的真命题称为公理.
6.它们的正确性是用推理的方法进行证实的,这种定理,推理过程叫做证明.
7.___________叫等量代换.
8.证明一个命题一般步骤是:
(1);
(2);(3).在一般情况下,分析的过程不要求写出来.
9.判定一个命题是假命题,只要举出一个例子(反例),它符合命题的题设,但不.
学法指要
【例1】判断下列语句是不是命题:
(1)线段的中点到线段两端点的距离相等;
(2)相等的两个角是对顶角;
(3)过已知直线外的任一点画出已知直线的垂线;
(4)凡直角都相等;
(5)不相等的两个角不是对顶角;
(6)与两平行线中的一条相交的直线,也必与另一条相交.
思考:
1.你知道什么叫命题吗?
2.怎样判定一个句子是命题?
思路分析:
判断一件事情的句子,叫做命题.由此可知,判定一件事情的句子是否是命题,则它应该对一件事情有所肯定或否定,作出明确判断,否则,它就不是命题.根据这一分析,思路自然清晰.
解:
根据命题的定义可知:
1,2,4,5,6是命题;3.不是命题.
【例2】将下列各句改写成“如果……那么……”的形式.
1.对顶角相等;
2.等角的余角相等;
3.垂直于同一条直线的两条直线互相平行;
4.同旁内角互补,两直线平行;
5.同圆的半径相等.
思考:
1.如何把省略掉的词语重新补上?
2.根据命题你能画出图形吗?
根据图形,能写出“如果……那么……”的命题吗?
3.对省去“如果”“那么”的命题如何进行分析?
思路分析:
省略掉词语的命题通常采取仔细分析,把省略掉的词语重新补上,或根据命题画出准确图形,再根据图形,把命题完整写出来,根据这些方法研究,我们便可着手改写了.
解:
1.如果两个角是对顶角,那么这两个角相等;
2.如果两个角是等角的余角,那么这两个角相等;
3.如果两条直线都和第三条直线垂直,那么这两条直线互相平行;
4.两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行;
5.如果两条半径是同圆的两条半径,那么这两条半径相等.
【例3】指出下列命题的题设部分和结论部分.
1.直角都相等;
2.互为邻补角的两个角的平分线互相垂直;
3.直线外一点与直线上各点连结的所有线段中,垂线段最短;
4.钝角大于它的补角;
5.大于90°而小于180°的角是钝角;
6.两个角的和等于平角时,这两个角互为补角.
思考:
1.每个命题都由哪两部分组成?
请你说出来.2.题设表示什么意思?
结论表示什么意思?
3.命题中没有明显突出题设与结论又如何入手呢?
能否改写成“如果……那么……”形式呢?
4.命题的题设与结论不好用文字叙述时,可否用符号写出题设与结论呢?
又如何表示?
思路分析:
解答这类问题,必须弄清命题由哪两部分组成,进一步弄明白题设与结论所表示的意思,便可找出题设与结论,对省略掉词语的命题应先设法补上,再着手找题设与结论.命题的题设与结论不好用文字叙述时,可用符号写出题设和结论,但必须说明符号所表示的意义.根据上述分析,便可找出1~6题的题设部分和结论部分.
解:
1.题设:
两个角都是直角;
结论:
这两个角相等.
2.题设:
互为邻补角的两个角的两条角平分线;
结论:
这两个角平分线互相垂直.
3.题设:
直线外一点与直线上各点连结的所有线段;
结论:
垂线段最短.
4.题设:
∠α是∠β的补角,且90°<∠α<180°;
结论:
∠α<∠β
5.题设:
90°<∠α<180°
结论:
∠α是钝角.
6.题设:
两个角的和等于平角;
结论:
这两个角互补.
【例4】判断下列命题的真假,如果是假命题,请说明理由.
1.两点之间,线段最短;
2.如果一个数的平方是9,那么这个数是3;
3.同旁内角互补;
4.过一点有且只有一条已知直线与已知直线平行;
5.如果a+b=0,那么a=0,b=0;
6.两个锐角的和是锐角.
思考:
1.什么叫命题?
2.什么叫真命题?
3.什么叫假命题?
4.判别假命题的方法是什么?
请你叙述.
思路分析:
要判定一个命题是假命题,只要举出一个例子(反例)即可.于是以上各题真假便眉目分明了.
解:
1.真命题,这是关于线段的一个公理.
2.假命题,因为一个数的平方是9,这个数也可能是-3.
3.假命题,任意两条直线被第三条直线所截,都有同旁内角产生,只有两条平行线被第三条直线所截,才有同旁内角互补的结论.
4.假命题:
如果这个点在已知直线上,就无法作出一条直线与已知直线平行.
5.假命题:
如果a=2,b=-2,2+(-2)=0a=2≠0,b=-2≠0.
6.假命题,如果60°和50°的角都是锐角,但它们的和是钝角.
【例5】区分下列语句中,哪些是定义,哪些是公理,哪些是定理?
1.经过两点有一条直线,并且只有一条直线;
2.两点之间,线段最短;
3.有公共端点的两条射线组成的图形叫做角;
4.对顶角相等;
5.垂线段最短.
思考:
1.定义、公理、定理的内容你知道吗?
2.定义、公理、定理有何区别?
思路分析:
只要理解定义、公理、定理的意义,便可一一区分谁是定义,谁是公理,谁是定理.
解:
(1),
(2)是公理;(3)是定义;(4),(5)是定理.
【例6】填写下面证明中的空格:
已知:
如图2-97,CD⊥AB,GF⊥AB,∠1=∠2,求证:
∠B=∠ADE.
证明:
∵CD⊥AB,GF⊥AB(已知)
∴∠CDB==90°()
∴∥()
∴∠1=()
∵∠1=∠2(已知)
∴∠2=()
∴∥()
∴∠B=∠ADE
图2-97
思考:
1.叙述平行线判定公理、定理;2.叙述平行线性质公理、定理.3.证明一个命题有哪些步骤呢?
4.证明两角相等有哪些思维方法?
思路分析:
括号里的证明依据,应从已知入手,结合图形,联想公理、定理,便可填写准确的依据.
解:
∠FGB;垂直定义;CD,FG;同位角相等,二直线平行;∠BCD;二直线平行,同位角相等;∠BCD;等量代换;DE,BC;内错角相等,二直线平行;二直线平行,同位角相等.
思维体操
【例1】已知:
如图2-98,AD∥BC,∠A=∠C
求证:
AB∥CD
图2-98
思考:
1.要证明二直线平行,你考虑有几种方法?
2.证明二直线平行是用平行线判定公理及定理,还是用平行线性质公理及定理?
思路分析:
证明二直线平行的方法,通常考虑用平行线判定公理和定理,而将要证明二直线平行问题,通常转化为证角等或者同旁内角互补问题.所以对本例,至少可找到两种以上思路.
证明:
∵AD∥BC(已知)
∴∠A=∠CBE(二直线平行,同位角相等)
∵∠A=∠C(已知)
∴∠C=∠CBE(等量代换)
∴AB∥CD(内错角相等,二直线平行)
又证明:
∵AD∥BC(已知)
∴∠A=∠CBE(二直线平行,同位角相等)
∵∠ABC+∠CBE=180°(邻补角定义)
∵∠A=∠C(已知)
∴∠ABC+∠C=180°(等量代换)
∴AB∥CD(同旁内角互补,二直线平行)
再证明:
∵AD∥BC(已知)
∴∠A+∠ABC=180°(二直线平行,同旁内角互补)
∵∠A=∠C(已知)
∴∠C+∠ABC=180°(等量代换)
∴AB∥CD(同旁内角互补,二直线平行)
证法四:
延长BC,DC(如图2-99)
∠1=∠2(对顶角相等)
∵∠1=∠C,∴∠2=∠C(等量代换)
∵∠A=∠C(已知)∴∠2=∠A(等量代换)
∵AD∥BC(已知)
∴∠A=∠3(二直线平行,同位角相等)
∴∠3=∠2(等量代换)
∴AB∥CD(同位角相等,二直线平行)
图2-99
【例2】如图2-100.
1.已知AD∥BC,可以得出哪些角相等?
为什么?
2.已知AB∥DC,可以得出哪些角的和是180°,为什么?
3.已知∠3=∠7,可以得出哪两条直线平行?
为什么?
4.已知∠1+∠2+∠3+∠4=180°,可以得出哪两条直线平行?
为什么?
5.由哪两条直线平行,可以得到∠4=∠8,为什么?
6.由哪两条直线平行,可以得到∠3+∠4+∠5+∠6=180°?
为什么?
图2-100
思考:
1.怎样找两个角相等或互补?
2.如何找出两条直线平行?
它的依据是什么?
3.平行线的判定公理及定理与平行线的性质公理与定理有何区别?
思路分析:
证明两角相等或互补,通常转化证二直线平行,从而通过同位角,内错角或同旁内角可沟通题设与结论关系.反之,要证二直线平行,一般地说可转化证明两角相等,两角互补,即同位角相等,内错角相等,同旁内角互补,可达目的,沿着这两大思路进行思维,再结合题设与图形,思路顿开.
解:
1.∠1=∠5,∠4=∠8.因为二直线平行,内错角相等;
2.∠1+∠2+∠7+∠8=180°,∠3+∠4+∠5+∠6=180°,因为二直线平行,同旁内角互补;
3.AB∥CD.因为内错角相等,二直线平行;
4.AD∥BC.因为同旁内角互补,二直线平行;
5.AD∥BC.因为二直线平行,内错角相等;
6.AB∥CD.因为二直线平行,同旁内角互补.
【例3】如图2-101,已知∠ABC=90°,∠1=∠2,∠DCA=∠CAB,求证:
CD平分∠ACE.
思考:
1.你知道角平分线定义吗?
2.证明两角相等,通常选取哪些方法?
3.同角(或等角)的余角有何关系?
图2-101
思路分析:
从题设及观察图形可知,首先由∠DCA=∠CAB证得AB∥CD,进而可知∠DCB=90°-∠1,∠DCE=90°-∠2,又∠1=∠2,根据等角的余角相等,即可获证.
证明:
∵∠DCA=∠CAB(已知)
∴AB∥CD(内错角相等,二直线平行)
∴∠ABC+∠BCD=180°(二直线平行,同旁内角互补)
∴∠BCD=180°-∠ABC=180°-90°=90°
∴∠DCA=90°-∠1
又∵∠DCE=180°-∠BCD-∠2
=180°-90°-∠2=90°-∠2
∵∠1=∠2(已知)
∴∠DCA=∠DCE(等角的余角相等)
从而CD平分∠ACE.
三、智能显示
心中有数
了解命题的概念,能够初步区分命题的题设和结论,会把命题改写成“如果……那么……”的形式.对定义、公理、定理的概念要了解,了解“证明的必要性和推理过程中要每步有据,了解综合法证明的格式.
动脑动手
1.判断下列命题是真命题还是假命题.如果是假命题,举出一个反例.
(1)邻补角是互补角;
(2)互补角是邻补角;
(3)如果一个数能被2整除,那么这个数也能被4整除;
(4)不等式的两边都乘以同一个数,不等号的方向不变.
2.指出下列命题的题设和结论:
(1)两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补;
(2)等式两边加上同一个数或同一个整式,所得的结果仍是等式;
(3)平行于同一条直线的两条直线平行;
(4)任意两个直角都相等.
3.完成下面证明:
已知:
如图2-102,AB∥CD,AD∥BC.
求证:
∠A=∠C
图2-102
4.证明:
两条平行线被第三条直线所截,内错角的平分线互相平行.
(只要求画出图形,写出已知,求证)
创新园地
1.已知:
如图2-103,∠1=∠2.求证:
∠2=∠3
2.如图2-104,AB∥CD,BEFGD是折线,求证:
∠B+∠F+∠D=∠E+∠G
图2-103图2-104
3.如图2-105,ABCDEFG中,∠1=∠2=∠3=∠4=∠5,延长AB,GF交于点M,求证:
∠AMG=∠3
4.如图2-106,已知AB∥CD,∠1=∠2,求证:
∠BEF=∠EFC
5.如图2-107,已知∠1=∠2=∠3,∠GFA=36°,∠ACB=60°,AQ平分∠FAC,求∠HAQ的度数.
图2-105图2-106图2-107
四、同步题库
一、填空题
1.命题常写成“如果……,那么……”的形式,在这种形式中,用“”开始的部分是题设,用“”开始的部分是结论.
2.将命题“等角的余角相等”改写成“如果……,那么……”的形式为.
3.已知∠AOB为锐角,直线l1⊥OA,直线l2⊥OB,那么l1和l2的关系为.
4.如图2-108所示,直线l∥m,若∠α=70°,则∠β=.
5.如图2-109所示,a∥b,∠1-2∠2=60°,则∠1=;∠2=.
图2-108图2-109
6.“同位角相等,两直线平行”这个命题的题设是.
7.“过两点有且只有一条直线”是.
8.叫做命题,每个命题都是由;两部分组成.
9.如果题设成立,那么结论也成立,这样的命题叫做.
10.证明一个命题的步骤是:
①根据题意,;
②根据题设、结论、结合图形、写出;.
③经过分析,找出由推出的途径,写出.
二、选择题
11.下列语句中,不是命题的是.
(A)两点之间,线段最短
(B)对顶角不相等
(C)连结A、B两点
(D)不重合的两条直线有一个交点
12.给出下列四个命题:
①同角的余角相等;②相等的角是对顶角;③垂直于同一条直线的两条直线平行;④平行于同一条直线的两条直线垂直.
其中真命题有.
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
13.如图2-110,下列推理中正确的是.
(A)∵∠1=∠2,∴AB∥CD
(B)∵∠ABC+BCD=180°,∴AD∥BC
(C)∵AD∥BC,∴∠3=∠4
(D)∵∠ABC=∠ADC,∠1=∠2
∴AB∥CD
图2-110
14.下列命题,正确的是.
(A)如果∠α=180°-∠β,则∠α是补角
(B)如果∠α+∠β=90°,则∠α是余角
(C)40°角是50°角的余角
(D)余角是补角的一半
15.将命题“对顶角相等”改成“如果……,那么……”的形式正确的是.
(A)如果两个角相等,那么这两个角是对顶角
(B)如果两个角是对顶角,那么这两个角相等
(C)如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角
(D)如果两个角不是对顶角,那么这两个角不相等
16.下列语句是命题的是.
(1)过一点作直线的垂线
(2)如果a∥b且b∥c,那么a∥c
(3)∠1=∠2,∠2=∠3,则∠1=∠3
(4)同位角互补,两直线平行
(A)
(2)(B)
(2)、(3)
(C)
(2)、(3)(4)(D)
(1)、
(2)、(3)、(4)
17.下列命题,正确的是.
(A)两锐角的和是直角
(B)若∠AOB+∠BOC=90°,则∠AOC是直角
(C)若∠α是∠β的邻补角,则∠α与∠β中一定有一个是钝角,一个是锐角
(D)若∠α与∠β互为余角,则∠α、∠β均为锐角
18.下列命题是假命题的是.
(A)垂线段最短(B)对顶角相等
(C)同位角相等(D)一个锐角的补角大于这个锐角
19.下列命题中,假命题是.
(A)没有公共点的两条直线必定平行
(B)同一平面内,l1⊥l2,垂足为A,l2⊥l,垂足为B,A、B两点不重点,那么l1⊥l
(C)直线外一点与直线上各点连结的所有线段中,垂线段最短
(D)两条平行直线被第三条直线所截,那么同位角的角平分线平行
20.下列四个命题中,真命题是.
(A)如果一个角有补角,则这个角必是钝角
(B)如果一个角有余角,则这个角必是锐角
(C)互补的两个角一定是邻补角
(D)如果∠1+∠2+∠3=180°,那么∠1,∠2,∠3互补
三、解答题
21.根据下列命题,画出图形,并写出已知和求证:
(1)邻补角的平分线互相垂直.
(2)两直线平行,内错角相等.
22.已知点C,C′分别是AB、A′B′的中点,AC=A′C′,求证:
AB=A′B′
23.如图2-111所示,已知AC⊥BC,∠ACD=∠CDE,求证:
DE⊥BC
24.如图2-112所示,已知∠1+∠2=180°,求证:
∠3+∠4=180°
25.如图2-113所示,AB∥CD,EF分别与AB、CD交于G、H,MN过点G垂直于AB,GK是∠MGB的平分线,∠CHG=120°,求∠MGE和∠KGE的度数.
图2-111图2-112
图2-113图2-114
26.已知:
如图2-114,AB∥DC,AD∥BC,∠1=30°,∠2=38°,求∠3的度数.
27.已知:
如图2-115所示,BE平分∠ABC,∠CBF=∠CFB=65°,∠EDF=50°,求证:
BC∥AE.
图2-115图2-116
28.已知:
如图2-116所示,AC∥DE,DC∥EF,CD平分∠BCA,求证:
EF平分∠BED.
29.图2-117,已知AD⊥BC于D,EF⊥BC于F,∠E=∠3,求证:
AD平分∠BAC.
30.已知,如图2-118,∠COF+∠C=180°,∠C=∠B,求证:
AB∥EF.
图2-117图2-118
参考答案
动脑动手
1.
(1)真命题:
(2)假命题.如图2-119,∠α+∠β=180°,但它们不是邻补角.
(3)假命题.如图6能被2整除,但不能被4整除.
(4)假命题.如图3>2,都乘以-1,则-3<-2.
图2-119
2.
(1)题设:
两条平行线被第三条直线所截.结论:
同旁内角互补;
(2)题设:
等式的两边加上同一个数或同一整式.结论:
所得的结果仍是等式.
(3)题设:
两条直线同平行于第三条直线.结论:
这两条直线平行.
(4)题设:
两个角都是直角.结论:
这两个有相等.
3.AB∥CD,已知;∴∠A+∠D=180°(两直线平行,同旁内角互补);AD∥BC,已知,∠C+∠D=180°(两直线平行,同旁内角互补),∠A=∠C(同角的补角相等)
4.如图2-120,已知:
AB∥CD,EF分别交AB、CD于E,F,EG平分∠AEF,FH平分∠EFD.
求证:
EG∥FH.
图2-120
创新园地
1.证明:
∵∠1=∠2(已知)
∴a∥b(内错角相等,二直线平行)
∴∠2=∠3(二直线平行,内错角相等)
又证:
∵∠1=∠2(已知)
∠1=∠3(对顶角相等)
∴∠2=∠3(等量代换)
2.证明:
过E点作EF′∥AB,过F作FF′∥AB,过G作GG′∥AB,则有AB∥EE′∥FF′∥GG′∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行)
∴∠1=∠B,∠2=∠3,∠4=∠5,∠6=∠D(两直线平行,内错角相等)
∵∠B+∠F+∠D=∠1+∠3+∠4+∠6
=(∠1+∠2)+(∠5+∠6)
=∠E+∠G(等量代换)
∴∠B+∠F+∠D=∠E+∠G
注:
本例的其他证法,请读者探索.
3.证明:
∵∠1=∠2(已知)
∴AM∥CD(内错角相等,两直线平行)
同理:
∠4=∠5
∴GM∥DE
∴∠AMG=∠3(如果一个角的两边分别平行于另一个角二边,那么这两个角相等或互补)
4.证明:
连结BC
∵AB∥CD(已知)
∴∠ABC=∠BCD(二直线平行,内错角相等)
又∵∠1=∠2(已知)
∴∠EBC=∠FCB(等式性质)
∴EB∥CF(内错角相等,二直线平行)
∴∠BEF=∠EFC(二直线平行,内错角相等)
5.证明:
∵∠1=∠2(已知)
∴EF∥AH(同位角相等,二直线平行)
∵∠2=∠3(已知)
∴AH∥CD(同位角相等,二直线平行)
∵GE∥AH(已证)
∴∠FAH=∠GFA=36°(二直线平行,内错角相等)
∵AH∥BD(已知)
∠HAC=∠ACB=60°(两直线平行,内错角相等)
∴∠FAC=∠FAH+∠HAC=36°+60°=96°
∵AQ平分∠FAC(已知)
∴∠FAQ=
∠FAC=48°
∴∠FAH=∠FAQ-∠FAH
=48°-36°
=12°
同步题库
一、填空题
1.如果;那么2.如果两个角是等角,那么这两个角的余角相等3.相交4.50°5.140°;40°6.同位角相等7.公理8.判断某一件事情的句子;题设9.真命题10.①画出图形②已知:
求证③已知,求证,证明的过程
二、选择题
11.C12.A13.D14.C15.B16.C17.D18.C19.A20.B
三、解答题
21.
(1)已知如图2-121,∠AOC与∠BOC为邻补角,OD为∠AOC平分线,OE为∠BOC平分线,求证:
OD⊥OE.
(2)已知如图2-122;直线a∥b.求证:
∠1=∠2.
图2-121图2-122
22.证明:
∵C为AB中点(已知)
∴AC=
AB(中点定义)
∵C′为A′B′中点(已知)
∴A′C′=
A′B′(中点定义)
∵AC=A′C′(已知)
∴
AB=
A′B′(等量代换)
∴AB=A′B′(等式性质)
23.证明:
∵∠ACD=∠CDE(已知)
∴AC∥DE(内错角相等,二直线平行)
∴∠DEB=∠ACB(二直线平行,同位角相等)
∵AC⊥BC(已知)
∴∠ACB=90°(垂直定义)
∴∠DEB=90°(等量代换)
∴DE⊥BC(垂直定义)
24.证明:
∵∠2+∠5=180°(邻补角定义)
∠1+∠2=180°(已知)
∴∠1=∠5(同角的补角相等)
∴a∥b(同位有相等,二直线平行)
∴∠3=∠6(二直线平行,同位角相等