椭圆双曲线的离心率取值范围求解方法.docx
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椭圆双曲线的离心率取值范围求解方法
椭圆、双曲线的离心率取值范围求解方法
一、利用三角形三边的关系建立不等关系（但要注意可以取到等号成立）
22
，则双曲线离心率
例1：
双曲线冷_爲=1a0,b0的两个焦点为F,F2，若P为其上一点，且PF=2PF2
ab
的取值范围为（）A.（1,3）
B.1,3]
C.（3,+）D.|3,-■-j
【解析】PF|=2PE,PF—PF2|=2a,PF丐PF2斗FF2（当且仅当P,Fi,F2
三点共线等号成立）
——c
.6a丄2c二e3,又e1.e
a
2
例2、如果椭圆笃
a
的离心率的取值范围为
1,3],选B
=1ab0上存在一点P，使得点P到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么椭圆
）A.（0,2_1]B.[..2_1,1）C.（0,.3_1]D.[3_1,1）
[解析】设PF2=m，由题意及椭圆第二定义可知PF=me,・」PF+|pF2|=m（e+1）=2an
2a
m=一
e1
PF2I|PF-F1F2（当且仅当P,F,F2三点共线等号成立）.m-me乞2c
把m=2a代入化简可得
e+1
号1—e_2c—e22e—1_0—e「2又1e:
d.e三〔2-1,1,选B
二、利用三角函数有界性结合余弦定理建立不等关系
22
例1：
双曲线笃-每=1心0,b0）的两个焦点为已应，若P为其上一点，且
ab
心率的取值范围是（）A.（1,3）B.（1,3]
【解析】设
PFi=2PF2，则双曲线离
D.[3,：
：
）
PF2=m,ZFfF2=日（0vB兰兀），当P点在右顶点处日=兀，
52（2m）2_4m2c吨-.7_1”：
1,e（1,3].
2ce二
2am
三、利用曲线的几何性质数形结合建立不等关系
22
例1：
双曲线笃_与/a0,b0的两个焦点为FW，若P为其上一点,
ab
且PF|=2PF2，则双曲线离心率
的取值范围为（）A.（1,3）
B.1,3]
C.（3,+：
：
）D.13,■:
:
解：
|PF|IPF2=2a,
■'|PF2=2a,即在双曲线右支上恒存在点P使得PF=2可知
AFP2F,2OF
OA-ca3a2a）=C_3又e1e~（1,3.1,选B
a
22
例2•已知双曲线务-每
ab
为d,若d、|PF2|、|PF1|依次成等比数列，求双曲线的离心率的取值范围。
=1（a0,b0）的左、右焦点分别是Fi、F2，p是双曲线右支上一点，p到右准线的距离
解：
由题意得一“因为」
d超
，所以：
，从而
p*巧I。
又因为P在右支上，所以匚讣阴几'
-1..
22
xV
例3.椭圆二2=1（a.bi）的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直
ab
四、利用圆锥曲线中X、y的范围建立不等关系
22
XV
例1、双曲线r牙=1（a.0,b.0）的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范ab
围是（）A.（1,、.2]e.[、2,：
：
）c.（1,、21]d.[、21,：
：
）
222
aaa
【解析】^exo-a^Xo（e_1）x0a；x0丄a,a亠（e_1）a,
ccc
.e-1乞1a=1e2-2e-1乞0=1「＜2乞e辽1、、2,而双曲线的离心率e1,e（1r.21],
ce
22
XV
例2、设点p在双曲线二2=1（a.0,b.0）的左支上，双曲线两焦点为F,、F2，已知IPFJ是点p到左准线I的
ab
距离d和IPF2I的比例中项，求双曲线离心率的取值范围
的取值范围。
TT
FP=（xc，v），F2P=（x-c，v）
TT
由FPF2=90，知FP-F2P，
贝VFPF2^0，将这个方程与椭圆方程联立，消去v，可解得
即（xc）（x-c）y2=0
222
得xvc
222,2
2ac-ab
x22-
a-b
但由椭圆范围及/FPF2=90
知0_x2:
:
:
a2
2222
ac_ab2
即022a
a-b
从而得e=c
a
所以e・［二
2
1）
解析2:
由焦半径公式得
|PF1^aex,|PF2|=a-ex又由|PF1|2|PF2|2=|F1F212,所以有
2c222c22^2
a2cxexa-2cxex4c
22
222222C-a
即aex2c,x
又点P（X,
2
e
y）在椭圆上，且x=二a,则知0_x2:
:
:
a2,即
c22
c-a
0<
e
J2得e・[2
例3已知椭圆
e的取值范围.
2
:
:
:
a
1）
—2
xy
—+^y=1（a>b>0）的左、右顶点分别为A、B,如果椭圆上存在点P,使得ZAPB1200,求椭圆的离心率
ab
解：
设P（X。
yo）,由椭圆的对称性,不妨令0yo
工，kPB
x°ax°-a
vZAPB=1200,「.tan/APB-V3，又tan/APB=kPB_kPA=?
2ayo
1+kPBkPAx°+y°
-a2
2ay。
222
X0y0-a
2ab2
点P在椭圆上，bx^+a^y^=ab②由①、②得y°=_
y'3（a2-b2）
.v0<严b「0<2ab2wb.
寸3（a2_b2）
6
丁a>b>0,「.2abw.3（）,即4a'bw3c，整理得，3e"+4e'4>0.考虑03
四、利用判别式建立不等关系
例1、设椭圆2
a
22
-岭=1（ab0）的左右焦点分别为F「F2，如果椭圆上存在点P,使/F1PF2=900,求离心率e
b
的取值范围。
解：
由椭圆定义知|PF1||PF2>2^|PF1|2|PF2|22|PF1||PF2h4a2
又由.FjPF2=90,知
2222
|PFi|IPF2ITF1F2I=4c则可得|PF1||PF2^2（a2-c2）
这样，|PFi|与|PF2|是方程u2-2au•2（a2-c2）=0的两个实根，因此
222
.■:
=4a-8（a—c）_0
2c21
=e2
a2
2
X2
例2、已知双曲线—-y=1（a.0）与直线|:
x•y=1交于p、q两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。
a
解析：
把双曲线方程和直线方程联立消去x得：
（1_a2）y2_2yT_a2=0,1_a2=0时，直线与双曲线有两个
c21
不同的交点则.：
0，a=4一4（1—a2）2=4a2（2—a2）.0，即a2:
:
2且a=1，所以e22=12
aa
五、利用均值不等式建立不等关系
小值8a，又|PF2|_c-a所以2a_c-a，则1：
：
：
e-3
22
xy
例3、设椭圆—2=1（ab.0）的左右焦点分别为F2，如果椭圆上存在点P,使/F1PF2=900,则离心
ab
率e的取值范围
解析：
由椭圆定义，有2a=|PF1|pPF2|平方后得
4a2TPRI2IPF2I22IPF1IIPF2I空2（|PF1|2|PF2|2）=2IF1F2IS8C2
得所以有e［彳,1）
b422
y』22彳必2=（ty1-c）（ty2-c）二ty』2-ct（y1y?
）c，由op丄oc得x^2yp?
=0,
bt-a
42244223'-1'5-.51
a-3acc-0,e-3e1_0,e，所以e-
22
练习
1、设F1,F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足/FPF2=120°,则椭圆的离心率的取值范围是（
解：
设，P（X!
%）,F!
（-c,0）,F2（c,0）,c>0,则|PF!
|=a+exi,|PF2|=a-ex1.
在厶PFE中，由余弦定理得cos120°
（a纠）2（aex）2-4c2，解得才
4c23a2
/.4c2-3a2>0.且e2<1/•e€[
2（a+exi）（a_ex）
e2
txi2€（0,a2],
2
x
2、设F1>F2分别是椭圆厂-2
ab
=1（a■b■0）的左、右焦点，若在其右准线上存在点
P，使线段PF1的中垂线过点
F2，则椭圆离心率的取值范围是（
c.孑）
D.if,1）
2
【解析】设若P为右准线与X轴的交点，可知—-^2c，即e2
c
）A.（0,乎]B.（0,申
23
1a2
，又P在右准线上可知c_2c，所以离心
3c
率的取值范围为[2）•
Xy
3、椭圆一^—=1的焦点为F“F2，两条准线与x轴的交点分别为
ab
M,N•若
MN兰2F,F2，则该椭圆离心率的
取值范围是（）
1
A.（0Q
1
c.[齐）
【解析】因为两准线距离为
2a2
，又因为F1F2=2c，所以有
2a2
D.[乎⑴
2
22V2
-4c，即a_2c2，所以'e：
：
：
1.
2
2
4、已知双曲线亠一社
b2
个交点,
2
x
a
则此双曲线离心率的取值范围是（
=1（a0,b0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一
）a.（1,2]b.（1,2）c.[2,
D.（2「：
）
【解析】如图
22
xy
l1与l2分别为与双曲线—2=1的渐近线平行的两条直线，直线I为过F且倾斜
ab
60：
的直线，
要使I与双曲线的右支有且只有一个交点，则应使
—_tan60"=\3a
e"（：
）2-2•
“y
5、设点P在双曲线
2X~2a
b2
=1（a0,b0）的右支上，双曲线两焦点斤、F2，|PR|=4|PF2|，求双曲线离心
率的取值范围。
解析1:
由双曲线第一定义得：
|PF,|—|PF2|=2a，与已知|卩斤|=4|卩卩2|联立解得:
82
|PF戶一a,|PF2戶一a，由三角形性质
33
82
解析2:
|PR|=-a,|PF21=—a，点
33
|PFi|■|PF2||FiF2|
得：
3a
p在双曲线右支上由图1
-
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