第一章证明2.docx
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第一章证明2
第一章证明
（二）
三角形有关性质、定理及反证法知识要点
三角形的性质与判定：
序号
必记项目
必记知识
必记内容
巧记方法
1
公理
三角形全等的判定公理
三边对应相等的两个三角形全等
两边及夹角对应相等的两个三角形全等；两角及其夹边对应相等的两个三角形全等
SSS
SAS
ASA
2
定理
三角形全等的判定定理
两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
AAS
3
公理
三角形全等的性质
全等三角形的对应边相等、对应角相等
4
定理
等腰三角形的性质的推论
等腰三角形的两个底角相等
等边对等角
5
定理
等腰三角形的判定定理
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线底边上的高互相重合
“三线合一”
6
定理
等边三角形的判定定理
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
7
定理
有一个角等于30°的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
8
定理
等边三角形的判定定理
三个角都相等的三角形是等边三角形
等角对等边
9
定理
勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
符号语言：
若∠C=90°，则c2=a2+b2
10
概念
互逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理
11
定理
勾股定理的逆定理
如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形为直角三角形
符号语言若，则a2+b2=c2，∠C=90°。
12
定理
直角三角形全等的判定定理
斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等
HL
证明方法：
综合法、反证法
综合法：
①审题：
找出已知、求证的各量之间的关系；②分析解题思路：
一般采用逆向思考，即从结论入手，追溯结论成立的理由。
③书写推理过程，从已知入手，将分析过程倒着写出来
反证法：
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立的方法称为反证法。
（步骤：
①提假设：
假设命题的结论不成立，②推矛盾：
从假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；③得结论：
从而肯定命题的结论）
几种常见的结论和它的否定形式：
“a＞b”“a≤b”
“a=b”“a≠b”或“a＜b，a＞b”
“a∥b”“a与b相交”
“点在直线上”“点在直线外”
“至少有一个”“一个都没有”
“至少有两个”“至多有一个”
互逆命题：
如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。
（“条件”与“结论”交换）
互逆定理：
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理。
易错易混点
1.
Z—02
如图Z—01，AD为△ABC的中线，∠BAD=∠DAC，求证：
AB=AC。
2.
如图Z—02所示，在△ABC中，AD是它的角平分线，且AB=AC，DE、DF分别是垂直于AB、AC，垂足为E、F，求证BE=CF。
Z—01
典型例题
1.在△ABC中，AB=2，AC=
，∠B=30°，则∠BAC的度数是_____________。
2.
已知：
如图Z—03所示，△ABC中AB=AC，D是AB上一点，过D作DE⊥BC于E，并与CA的延长线相交于F。
求证：
AD=AF。
ZM—03
3.
如图Z—06，在△ABC中，∠CAB=90°，∠C=30°，AD是BC边上的高，BE是∠ABC的平分线，AD与BE交于点F，求证：
△AEF是等边三角形。
学习自评
1.△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的高，若∠EBC=∠BAD，则△ABC一定是（）
A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形
2.一个三角形三边之比为3：
4：
5，则此三角形三边上的高之比为（）
A.3：
4：
5B.5：
4：
3C.20：
15：
12D.9：
8：
7
3.三角形三边长分别为6，8，10，那么它的最短边上的高为（）
A.4B.5C.6D.8
4.直角三角形的斜边长为13cm，面积为30cm2，另两边分别为（）
A.5cm，6cmB.7.5cm，8cmC.5cm，12cmD.
cm，
cm
5.两个直角三角形中，如果有一条直角边对应相等，则（）
①若斜边上的高对应相等，那么这两个直角三角形全等；
②若直角的平分线对应相等，那么这两个直角三角形全等；
③若斜边上的中线对应相等，那么这两个直角三角形全等；
④两个直角三角形都有一个锐角是30°，那么这两个直角三角形全等。
其中正确的命题有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
6.已知直角三角形一锐角是30，斜边长是1，那么这个三角形的周长是（）
A.
B.3C.
D.
7.已知直角三角形两直角边之和是
，斜边长为2，则这个三角形的面积等于（）
A.
B.1C.
D.
8.一个等腰三角形的顶角是150°，面积是4cm，则它的腰长是_____________cm。
9.等腰三角形的两条边长分别为6cm和8cm，那么这个三角形的周长是________cm。
10.等腰△ABC中，腰AB上的中垂线与AC所在直线相交所得锐角为50°，则底角B的大小是____________。
11.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB+BC=12cm，则AB=_________cm。
12.“正方形是矩形”，它的逆命题是________________________。
13.等腰三角形底边长6cm，腰为5，则它的面积为______________。
14.一个三角形的三条边长分别是20，15，25，那么它的最长边上的高是__________。
15.命题“一个三角形中至少有一个角大于60°”，用反证法证时，应假设“_______________________________”。
16.已知a，b，c为三角形ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4,则三角形ABC的形状为________。
17.命题“对顶角的平分线成一直线”的题设是__________________，结论是_________________。
18.已知直角三角形斜边上的中线为1，周长为
，求三角形的面积。
19.用反证法证明：
等腰三角形的底角必定是锐角。
20.在△ABC中，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，c-a=
b，c+a=2b，判断△ABC的形状。
21.
如图ZM—08，在等边三角形ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F。
（1）求证：
AD=CE；
（2）求∠DFC的度数。
22.如图ZM—09，∠AOB是一钢梁，且∠AOB=10°，为了使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH…添加的钢管长度都与OE相等，则最多能加多少根？
22.求证：
以m2+n2，m2-n2，2mn为边的三角形为直角三角形。
知识要点
序号
必记项目
必记知识
必记内容
巧记方法
1
定理
线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
有了中垂线，就有了相等的线段
2
定理
线段垂直平分线的判定
到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上
联想等腰三角形的“三线合一”
3
定理
三角形的三条边上的垂直平分线的性质
三角形的三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等
三边中垂线共点
提示
有线段垂直平分线时，通常把垂直平分线上的点与线段的两端点连接起来，利用等腰三角形的性质来解决问题
4
定理
角平分线的性质
角平分线上的点到这个角两边的距离相等
图形与符号结合记忆
5
定理
角平分线的判断
在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上
6
定理
三角形的三条角平分线的性质
三角形的三条角平分线相交于一点，且这一点到三条边的距离相等
三条角平分线共点
易错易混点
1.
已知：
如图ZM—12，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=DF，求证：
AD垂直平分EF。
ZM—12
2.如图ZM—13，P是∠AOB的平分线上的一点，OC=OD，PC=2cm，求PD的长。
ZM—13
3.现有不在一条直线上的A、B、C三城.
（1）在A、B城间建一果品批发市场，使其到A、B两城距离相等，此市场位置惟一么？
它们的位置有什么关系？
（2）在B、C两城间建一水果仓库，使其到B、C两城距离相等.仓库位置惟一么？
它们的位置有什么关系？
（3）为减少运费，现将果品批发市场与仓库建在同一位置，并分别到两城距离相等.应如何选址？
画图说明.
典型例题
1.
已知，如图ZM—14，在△ABC中，∠B=70°，DE是AC的垂直平分线，且∠BAD：
∠BAC=1：
3，则∠C=____________。
2.到三角形三个顶点距离相等的点是（）
A.三条中线的交点B.三条角平分线的交点
C.三条高线的交点D.三条中垂线的交点
3.
如图ZM—17所示，在△ABC中，∠B=22.5°，∠C=60°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于F，BD=
，AE⊥BC于E，求EC的长。
§1.3.2三角形三边中垂线交于一点
1.如左下图，点P为△ABC三边中垂线交点，则PA__________PB__________PC.
2.如右上图，在锐角三角形ABC中，∠A=50°，AC、BC的垂直平分线交于点O，则∠1__________∠2，∠3__________∠4，∠5__________∠6，∠2+∠3=__________度，
∠1+∠4=__________度，∠5+∠6=__________度，∠BOC=__________度.
3.如左下图，D为BC边上一点，且BC=BD+AD，则AD__________DC，点D在__________的垂直平分线上.
4.如右上图，在△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，则∠B__________∠1，∠C__________∠2；若∠BAC=126°，则∠EAG=__________度.
5.如左下图，AD是△ABC中BC边上的高，E是AD上异于A，D的点，若BE=CE，则△__________≌△__________（HL）；从而BD=DC，则△__________≌△__________（SAS）；△ABC是__________三角形.
6.如右上图，∠BAC=120°，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于D，则∠ADB=__________度.
三、作图题
（1）分别作出点P，使得PA=PB=PC
（2）观察各图中的点P与△ABC的位置关系，并总结规律：
当△ABC为锐角三角形时，点P在△ABC的__________；
当△ABC为直角三角形时，点P在△ABC的__________；
当△ABC为钝角三角形时，点P在△ABC的__________；
反之也成立，且在平面内到三角形各顶点距离相等的点只有一个.
§1.4.1角平分线
1.如图
（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF.
2.如图
（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP__________∠CAP.
3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=
，则PE=__________.
（1）
（2）（3）
4.已知，如图（4），∠AOB=60°,CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，若CD=CE，则∠COD+∠AOB=__________度.
5.如图（5），已知MP⊥OP于P，MQ⊥OQ于Q，S△DOM=6cm2，OP=3cm，则MQ=__________cm.
（4）（5）
三、选择题
1.下列各语句中，不是真命题的是
A.直角都相等
B.等角的补角相等
C.点P在角的平分线上
D.对顶角相等
2.下列命题中是真命题的是
A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等
B.相等的角是对顶角
C.余角相等的角互余
D.两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等
3.如左下图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于
A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm
4.如右上图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF
②△BDF≌△CDE③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是
A.只有①B.只有②
C.只有①和②D.①，②与③
四、解答题
1.试用对称的观点分析说明线段的垂直平分线和角平分线的联系与区别.
2.如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证：
AD平分∠BAC.
§1.4.2三角形三条内角平分线交于一点
1.如图
（1），点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD__________PE__________PF.
2.如图
（2），P是∠AOB平分线上任意一点，且PD=2cm，若使PE=2cm，则PE与OB的关系是__________.
3.如图（3），CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG⊥AB，垂足为G，则CF__________FG，∠1+∠3=__________度，∠2+∠4=__________度，∠3__________∠4，CE__________CF.
（1）
（2）（3）
3.如下图，一个工厂在公路西侧，在河的南岸，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，且与河上公路桥南首（点A）的距离为300米.请用量角器和刻度尺在图中标出工厂的位置.
四、解答题
已知：
如下图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，求：
D到AB边的距离.
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