（A∪B）＝________________.
14．函数y＝lg（sin2x）＋的定义域为________．
15．若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为¡°m积数列¡±．若各项均为正数的等比数列{an}是一个¡°2014积数列¡±，且a1＞1，则当其前n项的乘积取最大值时n的值为________．
16．已知曲线y＝，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积
为________．
三、解答题：
本大题共8小题，共70分。
17-21为必做题，22-24为选做题。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知（b－2a）cosC＋ccosB＝0.
（1）求C；
（2）若c＝，b＝3a，求△ABC的面积．
18．（本小题满分12分）
如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．
（1）求证：
BE∥平面DMF；
（2）求证：
平面BDE∥平面MNG.
19．（本小题满分12分）
国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表：
空气质量指数
0～50
51～100
101～150
151～200
201～300
300以上
空气质量等级
1级优
2级良
3级轻度污染
4级中度污染
5级重度污染
6级严重污染
由全国重点城市环境监测网获得2月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据用茎叶图表示如下：
甲城市
乙城市
9
73
5
6
2
4
5
7
10
31
58
8
（1）试根据上面的统计数据，判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系（只需写出结果）；
（2）试根据上面的统计数据，估计甲城市某一天空气质量等级为2级良的概率；
（3）分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量等级相同的概率．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C：
＋＝1（a>b>0）的焦距为2，且过点，右焦点为F2.设A，B是C上的两个动点，线段AB的中点M的横坐标为－，线段AB的中垂线交椭圆C于P，Q两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求
¡¤
的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知函数f（x）＝（e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数¦Õ（x）＝xf（x）＋tf′（x）＋，存在实数x1，x2∈[0,1]，使得2φ（x1）＜¦Õ（x2）成立，求实数t的取值范围．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．
选修4-1：
几何证明选讲
22.（本小题满分10分）
如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB＝AD＝5，BE＝4，求弦BD的长．
选修4-4：
坐标系与参数方程
23．（本小题满分10分）
在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：
¦Ñsin2¦È＝2acosθ（a＞0），过点P（－2，－4）的直线l：
（t为参数）与曲线C相交于M，N两点．
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值．
选修4-5：
不等式选讲
24．（本小题满分10分）
已知f（x）＝|x＋1|＋|x－1|，不等式f（x）<4的解集为M.
（1）求M；
（2）当a，b∈M时，证明：
2|a＋b|<|4＋ab|.
参考答案：
一、选择题：
本大题共有12小题，每小题5分，共60分。
在每小题所给出的四个选项中有且只有一个选项是符合题目要求的
1、A2、A3、C4、D5、B6、C7、D8、D9、B10、C
11、D12、D
二、填空题：
本大题4小题，每小题5分，共20分。
请将正确答案填写在横线上
13、{x|x≤2或x≥10}14、∪
15、1006或100716、
三、解答题：
本大题共8小题，共70分。
17-21为必做题，22-24为选做题。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、解：
（1）由已知及正弦定理得：
（sinB－2sinA）cosC＋sinCcosB＝0，sinBcosC＋cosBsinC＝2sinAcosC，
sin（B＋C）＝2sinAcosC，∴sinA＝2sinAcosC.
又sinA≠0，得cosC＝.
又C∈（0，¦Ð），∴C＝.
（2）由余弦定理得：
c2＝a2＋b2－2abcosC，
∴
解得a＝1，b＝3.
故△ABC的面积S＝absinC＝¡Á1×3×＝.
18、证明：
（1）连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，
连接MO，则MO为¡÷ABE的中位线，所以BE∥MO，
又BE?
平面DMF，MO?
平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
（2）因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，
又DE?
平面MNG，GN?
平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
又M为AB的中点，
所以MN为¡÷ABD的中位线，所以BD∥MN，
又MN?
平面MNG，BD?
平面MNG，
所以BD∥平面MNG，
又DE，BD?
平面BDE，DE∩BD＝D，
所以平面BDE∥平面MNG.
19、解：
（1）甲城市的空气质量指数的方差大于乙城市的空气质量指数的方差．
（2）根据题中的统计数据，可得在这五天中甲城市空气质量等级为2级良的频率为，则估计甲城市某一天的空气质量等级为2级良的概率为.
（3）设事件A“从题中甲城市和乙城市的统计数据中分别任取一个，这两个城市的空气质量等级相同¡±，由题意可知，从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个，共有25个结果，分别记为：
（29,43），（29,41），（29,55），（29,58），（29,78），（53,43），（53,41），（53,55），（53,58），（53,78），（57,43），（57,41），（57,55），（57,58），（57,78），（75,43），（75,41），（75,55），（75,58），（75,78），（106,43），（106,41），（106,55），（106,58），（106,78）．
其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为1级优的为甲29，乙41，乙43，同为2级良的为甲53，甲57，甲75，乙55，乙58，乙78.
则空气质量等级相同的为：
（29,41），（29,43），（53,55），（53,58），（53,78），（57,55），（57,58），（57,78），（75,55），（75,58），（75,78），共11个结果．
由古典概型可得P（A）＝.
所以这两个城市空气质量等级相同的概率为.
20、解：
（1）因为焦距为2，所以a2－b2＝1.
因为椭圆C过点，所以＋＝1.
故a2＝2，b2＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
（2）由题意知，当直线AB垂直于x轴时，
直线AB方程为x＝－，
此时P（－，0），Q（，0），又F2（1,0），
得
¡¤
＝－1.
当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k（k≠0），M（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1＋x2＝－1，y1＋y2＝2m.
由得（x1＋x2）＋2（y1＋y2）·＝0，
则－1＋4mk＝0，故k＝.
此时，直线PQ斜率为k1＝－4m，
PQ的直线方程为y－m＝－4m.
即y＝－4mx－m.
联立方程组
整理得（32m2＋1）x2＋16m2x＋2m2－2＝0.
设P（x3，y3），Q（x4，y4），
所以x3＋x4＝－，x3x4＝.
于是
¡¤
＝（x3－1）（x4－1）＋y3y4
＝x3x4－（x3＋x4）＋1＋（4mx3＋m）（4mx4＋m）
＝（4m2－1）（x3＋x4）＋（16m2＋1）x3x4＋m2＋1
＝＋＋m2＋1
＝.
由于M在椭圆的内部，故0令t＝32m2＋1,1¡¤
＝－.
又1¡¤
<.
综上，
¡¤
的取值范围为.
21、解：
（1）∵函数的定义域为R，f′（x）＝－，
∴当x＜0时，f′（x）＞0，当x＞0时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（－¡Þ，0）上单调递增，在（0，＋¡Þ）上单调递减．
（2）假设存在x1，x2∈[0,1]，使得2φ（x1）＜¦Õ（x2）成立，
则2[φ（x）]min＜[φ（x）]max.
∵¦Õ（x）＝xf（x）＋tf′（x）＋e－x＝，
∴¦Õ¡ä（x）＝＝－.
①当t≥1时，¦Õ¡ä（x）≤0，¦Õ（x）在[0,1]上单调递减，
∴2φ
（1）＜¦Õ（0），即t＞3－＞1.
②当t≤0时，¦Õ¡ä（x）＞0，¦Õ（x）在[0,1]上单调递增，
∴2φ（0）＜¦Õ
（1），即t＜3－2e＜0.
③当0＜t＜1时，若x∈[0，t），¦Õ¡ä（x）＜0，¦Õ（x）在[0，t）上单调递减；
若x∈（t,1]，¦Õ¡ä（x）＞0，¦Õ（x）在（t,1]上单调递增，
所以2φ（t）＜max{φ（0），¦Õ
（1）}，
即2·＜max，（*）
由
（1）知，g（t）＝2·在[0,1]上单调递减，
故¡Ü2·¡Ü2，而¡Ü¡Ü，所以不等式（*）无解．
综上所述，存在t∈（－¡Þ，3－2e）∪，使得命题成立．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．
22、解：
因为在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC，所以AD＝BC，∠BAD＋∠BCD＝180°，∠ABE＝∠BCD.
所以∠BAD＋∠ABE＝180°.
又因为AE为圆的切线，
所以AE2＝BE·EC＝4×9＝36，故AE＝6.
在△ABE中，由余弦定理得
cos∠ABE＝＝，
cos∠BAD＝cos（180°－∠ABE）＝－cos∠ABE＝－，
在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝
，所以BD＝.
23、解：
（1）把代入¦Ñsin2¦È＝2acosθ，
得y2＝2ax（a＞0），
（t为参数），消去t得x－y－2＝0，
∴曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是y2＝2ax（a＞0），x－y－2＝0.
（2）将（t为参数）代入y2＝2ax，
整理得t2－2（4＋a）t＋8（4＋a）＝0.
设t1，t2是该方程的两根，
则t1＋t2＝2（4＋a），t1¡¤t2＝8（4＋a），
∵|MN|2＝|PM|·|PN|，
∴（t1－t2）2＝（t1＋t2）2－4t1¡¤t2＝t1¡¤t2，
∴8（4＋a）2－4×8（4＋a）＝8（4＋a），∴a＝1.
24、解：
（1）f（x）＝|x＋1|＋|x－1|＝
当x<－1时，由－2x<4，得－2当－1≤x≤1时，f（x）＝2<4，∴－1≤x≤1；
当x>1时，由2x<4，得1（2）证明：
a，b∈M即－2∵4（a＋b）2－（4＋ab）2＝4（a2＋2ab＋b2）－（16＋8ab＋a2b2）＝（a2－4）·（4－b2）<0，
∴4（a＋b）2<（4＋ab）2，
∴2|a＋b|<|4＋ab|.
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