联合波叠加法的全息理论与实验研究.docx
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联合波叠加法的全息理论与实验研究
联合波叠加法的全息理论与实验研究
3
李卫兵
陈 剑 毕传兴 陈心昭
（合肥工业大学噪声振动工程研究所,合肥 230009（2005年3月15日收到;2005年8月20日收到修改稿
当空间声场中同时存在多个相干声源时,运用常规近场声全息方法无法重建每个相干声源表面的声学信息,当然也无法预测每个声源单独产生的空间声场,相干声场的全息重建与预测已成为全息技术推广应用过程中亟待解决的问题.在提出联合波叠加法并将其应用于空间声场变换的基础上,对其进行了实验研究.通过对实际相干声场的全息重建与预测,验证了常规波叠加法在相干声场重建中的局限性、联合波叠加法在相干声场全息重建与预测过程的可行性和准确性,还研究了Tikhonov正则化方法在抑制声学逆问题的非适定性中的有效性和滤波系数的选择原则的可行性,以提高全息重建与预测的精度.
关键词:
近场声全息,联合波叠加,
相干声场,TPACC:
4320,4363
3国家自然科学基金（批准号:
10504006及教育部重点项目（批准号:
02126资助的课题.E-mail:
hf-lwb@
11引
言
近场声全息技术作为声学逆问题的一个分支
[1—3]
已经发展成为一种声源识别和声场辐射问
题研究的有效技术.它只需测量声源附近全息面上的复声压数据,就可以重建与预测整个三维空间的声压场、质点振速及声强矢量场,因而对有效地进行噪声源识别、控制和声辐射特性的研究具有重要意义
[4—15]
.
上世纪80年代初,Williams提出了基于空间声场变换的近场声全息方法
[4—6]
;但它只能重建平面、
柱面及球面等可分离变量的空间声场,因而在一定程度上限制了其适用范围.为了克服这一缺点,Veronesi和Maynard在1989年提了基于边界元法的
近场声全息技术;它可以分析具有任意表面形状的内部和外部声辐射场,但在重建声源表面声场时存在奇异积分和解的非唯一性问题
[7—12]
.为了避免奇
异积分问题,Koopmann等提出了波叠加技术[13,14]
.
文献[15]将其应用于单源声场的重建与预测,并且
取得了很好的效果.
但实际声场通常存在多个声源,对于非相干声源,可以采用常规波叠加法;对于相干声源,由于常
的标量声压,所以无法重建相干声场中单个相干声
源表面的声学信息,也就无法预测单个相干声源所辐射的空间声场,给噪声源辐射特性的分析及其控制带来许多不便,所以相干声场的全息重建已经成为全息技术推广过程中亟待解决的问题.由于辐射声源之间的相互影响是十分微弱的,并且对于非理论声源也无法了解它们之间的相互作用,所以本文所研究的相干声场,都忽略了相干声源之间的相互
作用,大量的实验和仿真结果也表明这种处理是可行的.
本文提出了联合波叠加法,并将其应用于相干声场的全息重建与预测.它利用相干声场的可叠加性,通过构造全息面与多个相干声源之间的联合声压匹配矩阵,精确地重构出各个相干声源的表面声学信息,进而分别预测每个相干声源的空间声场分布,再叠加以获得整个相干声场的空间分布,从而实现了相干声场中单个相干声源表面声学信息的重建及其辐射声场的预测.详细地介绍了采用联含波叠加法实现相干声场重建与预测的实验过程,并且采用Tikhonov正则化方法来抑制声学逆问题中的非适定性,以提高全息重建与预测的精度;还对Tikhonov正则化方法中滤波系数的选择进行了探讨,得出了一些重要的结论.
第55卷第3期2006年3月100023290Π2006Π55（03Π1264207
物 理 学 报
ACTAPHYSICASINICA
Vol.55,No.3,March,2006
ν2006Chin.Phys.Soc.
21联合波叠加法的基本理论
2111基于常规波叠加法的声全息理论
理想流体媒质中,由表面法向振速已知的声源产生的小振幅时间谐振声场,其在无限域中引起的
外部声辐射问题可以Helmholtz方程描述为
Δ
2p（r+k2
p（r=0,
（1式中p（r为点r上的复声压;k=ωΠc=2πΠ
λ为声波数,c为声速,λ为声波长,ω为角频率.
如图1所示的声辐射外问题中,S为声源的闭合表面,其外部区域为E,内部区域为D.现假设在D域中,所有的等效简单源连续分布在一虚构的闭合曲面上,将该等效声源体记为O,则满足（1式的空间声场中任意点r处的复声压可以用波叠加积分公式表示为
p（r=
iρo
（r,（
其微分形式为
u（r=
∫
O
q（roΔ
g（r,rodO,（3
式中,ro为O上的任意一点,p（r和u（r分别为点
r处的声压和振速矢量,q（ro为位于点ro处的等
效简单源的源强“Δ
”为梯度运算符
.
图1 声源与声场各域之间的位置关系
等效源的连续分布无法实现计算,所以实际采用的是在虚构曲面上放置若干个简单源来代替的办法,设N为简单源的单个数,且表面S上有M（M≥
N个边界结点。
则针对这M个边界结点,（2,（3
式表示成矩阵形式为
Ps=DQ,
（4
U=EQ,（5
式中,Ps=[p（rs1p（rs2…p（rsM]T
为声源表面声
压列向量;U=[u（rs1u（rs2…u（rsM]T
为声源表面边界结点处的法向振速列向量;
Q=[q（ro1q（ro2…q（roN]
T
为等效源序列的源强列向量;D,E分别为等效源序列与声源表面之间的声压与法向振速匹配矩阵,且
Dmn=iρckg（rsm,ron,
（6Emn=9g（rsm,ronΠ9nr
sm
（7
式中,9Π9nrs为曲面S在点rs处的外法向导数。
设全息面上有M个测量点rhm,则同样有
Ph=HQ,
（8
式中,Ph为等效源序列与Hirhm,ron.
（9
:
由（8式求出等效源序列的源强列向量Q,将其代入（4,（5式中即可重建出声源表面S上的声压Ps与法向振速U,实现声场的全息重建;将其代入（2,（3式中即可预测声场中任意场点处的声压
p（r与振速矢量u（r,实现声场的全息预测.
2121误差分析及正则化处理
假设全息面测量声压P~
h为其真实值Ph和随机误差Phe之和,即
P~
h=Ph+Phe.（10
为了更好地分析Phe对Q的计算结果的影响,先对H做奇异值分解得
H=Vdiag（Λ1,Λ2,…,ΛNWH
（11式中
Λ1≥Λ2≥…≥ΛN≥0,
（12vH
ivj=δij,wH
iwj=δij,
（13
式中,Λi代表奇异值;vi和wi分别是左、右奇异矢量.
运用（11式,可得到
Q=N
i=1
〈P~
Λiwi
（14
式中〈,〉表示求内积。
随着i的增大,奇异值Λi会越来越小,则wi的权重系数增大;从而使随机测量误差Phe的影响被
放大.所以必须采取相应的滤波措施来抑制Phe对
5
6213期李卫兵等:
联合波叠加法的全息理论与实验研究
计算结果的影响.
正则化滤波的主要宗旨是抑制（14式中对重建结果贡献小,而对误差非常敏感的较小奇异值的影
响.通常采用的方法是对（14式中的每项加上滤波因子,这样就有
Qreg
=∑N
i=1
fi
〈P~
h,vi〉
Λiwi,（15
式中,fi为滤波系数,滤波系数随着奇异值Λi的减小而趋近于零,这样就削弱了其对误差的敏感性.
根据不同的滤波系数选择方法,正则化方法可以分为好几种.其中Tikhonov正则化方法是应用比
较多的一种有效方法,它的主要思想是使由（15式求得的Qreg满足解的残余范数‖HQreg-P~
h‖2和解的范数‖Qreg‖2之间的联合加权达到最小,也就是
minQ
reg
‖HQreg-P~
h‖2
2+λ2
2,
（满足上式的QQreg=
i=1Λ2
Λ2i+λ
2P〉
Λiwi,（17
式中λ>0为正则化滤波系数,Qreg只受λ影响.且（15式中fi=Λ2
iΠ（Λ2
i+λ2
.
由（17式可以看出,滤波系数λ的选取对正则化结果有着非常关键的影响.λ的选择一般采用L曲线法则
[16]
.
2131联合波叠加法
当空间声场为相干声场时,测量声压是多个相干声源在全息面上产生的声压叠加,而现有的仪器和设备是无法将每个声源各自产生的声压分离开来的.对某个具体声源而言,测量声压既包含了该声源自身在全息面上产生的声压,也包含了其余声源在全息面上产生的声压.若仍然采用常规波叠加方法来重建该声源的表面信息时,则其余声源在全息面产生的声压会以噪声的形式叠加在该声源自己在全息面上产生的声压上.而全息重建属于声学逆问题,测量数据的微小误差都会对重建结果产生很大影响甚至是产生毫无意义的重建结果,所以无法通过常规波叠加方法来实现相干声源表面声学信息的重建.
为此,下面介绍联合波叠加方法的基本原理.假设空间声场中同时存在K个辐射源,每个辐
射源在全息面上点rh处产生的复声压为pk（rh,则根据相干声场的可叠加性知全息面上点rh处的测量声压p（rh为
p（rh=
∑K
k=1
p
k
（rh,（18
则对全息面上的M个测量点,结合（8式可得
Ph=
∑Kk=1
Hk
Q
k
（19
式中,Hk为第k个辐射源的等效源序列与全息面之间的声压匹配矩阵,Qk为第k个辐射源的等效源序列的源强列向量.
将各个相干源的Hk及其对应Qk分别进行合并,即令
HT=[H1,,,HK],（20QT1QT
（21
T,上标T表示转置矩阵.则有
Ph=HTQT.
（22
（22式与（8式具有相同的形式,则结合前面介绍的
正则化方法即可求得QT（reg,对QT（reg进行列
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