由于n(1,0,0)是面ABB1A]的法向量,
.uuuu
cosAG,n
ujih
AC/njjuiAGn
故ACi与侧面ABBiA所成的角为30°.
19•如图3,直三棱柱ABCABQi中,底面是等腰直角三角形,
ACB90°,侧棱
AA2,D,E分别是CCi与AB的中点,点E在平面ABD上的射影是求点A到平面AED的距离.
解:
建立如图所示的空间直角坐标系,设CA2a,
'""2a2a1
则A(2a,0,0,B(0,2a,0,D(0,0,1),A(2a,0,2)E(a,a,1),G一,一,-.
333
切aa2uuu
从而GE—_,BD(0,2a,1).
333
uuuuur
由GEBDGE-BD0,得a1,
△ABD的重心G,
则A!
(2,0,2)A(2,0,0)E(1,1,1).
自A作AH面AED于M,并延长交xOy面于H,设H(x,y,0),
uuuu
则AH(x2,y,2).
uuuuuu
又AD(2,0,),AE(1,1,1).
A1HAD,
A1HAE
2(x22)2200%1,得H(1,1,0)
(x2)y20y1,
又AM
A1A'cos
JUTULULT
A1AAM
jUULTLULU.
AA・cosA1AAH
24
22.6
那么B(2,0,2)D(0,2-2,P(2,,0)Q(2
2
(2t)2,2-0),
从而QR(2
(2t)2-
2-2),
PD1(
2,2
t,2),
由QBPD1
uuuuuuuuQB/PD!
0,
1
2
1图X
即22(2t)22(2t)40t1.
20.已知正方体ABCDAB1GD1的棱长为2,P,Q分别是BC,CD上的动点,且PQ2,确定P,Q的位置,使QB1PD1.
解:
建立如图所示的空间直角坐标系,设BPt,
得CQ2(2t)2,DQ22(2t)2.
故P,Q分别为BC,CD的中点时,QBiPDi.
21.如图4,在底面是直角梯形的四棱锥
SABCD中,ABC90°,SA面ABCD,
1
SAABBC1,AD,求面SCD与面SBA所成二面角的正切
2
值.
解:
建立如图所示的空间直角坐标系,
戸,1
则A(0,0,0,B(1,0,0,C(1,1,0)D0,0,S(0,0,1).
延长CD交x轴于点F,易得F(1,0,0),
作AESF于点E,连结DE,
则DEA即为面SCD与面SBA所成二面角的平面角.
11
又由于SAAF且SAAF,得E-,0,-,
22
uur1
那么EA2,0
1uurED
2
从而
uuuuuu
.EA,ED
.uuu
|ea
UUUI.ed|
11
2,2
6
3
uurumr.因此tanEAF,ED
故面SCD与面SBA所成二面角的正切值为
22.平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且GCB
GCD
BCD,试问:
CD
当一一的值为多少时,AQ面GBD?
请予以证明.
CG
解:
欲使AQ面GBD,只须ACC1D,且ACGB.
uuiruuun
欲证ACGD,只须证CAGD0,
uuruuruuuuuur
即(CAAA)•(CDCG)0,
uuruuu
也就是(CDCB
ujuuuuruuur
CC)(CDCCJ
0,
uuu2
.uuuu2
uuu
uuu
即
CD
ICC1
CB
CD
cosBCD
uuuuuui
CBCC1cos
由于C1CBBCD,
C1CB0.
显然,
uur
CD
uuuu
CC1
时,上式成立;
同理可得,当
因此,当
CD
CC1
uur
CD
iuuu
CC1
AC
1时,AC面GBD.
1.已知ABC三点不共线,对平面
A.m〃n
B.m
nC.
qp•*
m不平行于n,m也不垂直于n
D.以上三种情况都可
D.△ABC是直角三角形的充要条件是
ABAC0
5.对空间任意两个向量a,b(b
o),a//b的充要条件是
a.ab
b.a
C.ba
D.a
6.已知向量a
(0,2,1),b(
1,1,2),则a与b的夹角为
A.0°
B.45
C.90
o.
D.180
7.在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,M为
AC
与BD
.选择题:
(10小题共40分)
ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点ABC
定共面的是
()
A.OM
OA
OB'
OC
b.OM
2OAOB
OC
C.OM
OA
1^OB
1
^OC
D.OM
^OA^OB-OC
2
3
33
3
2.直三棱柱ABC-A1B1G中,
若CA
a,CB
bg
C,则AB
()
A.ab
—c
B.a
■—bc
C.a
■—bc
D.abc
3.若向量m垂直向
量a和b,向量n
—»a
b(,
R且、
0)则()
能
4.以下四个命题中,正确的是
—1—1—-
A.若OPOAOB,则P、A、E三点共线
23
B.设向量{a,b,c}是空间一个基底,则{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一个基底
—►—*—►f
c.(ab)cabc
A1B1a,A1D1b,AAc,
则下列向量中与B1M相等的是()
10.在棱长为1的正方体ABC—A1B1CD中,M和N分别为AB和BB的中点,那么直线AM与
CN
所成角的余弦值是
(4)求CB与平面AABB所成的角的余弦值
5
17.正四棱锥S—ABCD中,所有棱长都是2,P为SA的中点,如图•
(1)求二面角B—SC-D的大小;
(2)求DP与SC所成的角的大小•
18.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1,底面△ABC中,CA=CB=1/BCA=90,棱AA=2,MN分
别是A1B1,AA的中点;
(1)求BN的长;
⑵求cosBA,CB1的值;
(3)求证:
ABC1M.
1,0)、N(1,0,1)
高中数学选修2-1测试题(10)—空间向量⑴参考答案
DDBB
DCDAAB11.0
12.(1
1,1)
13.60
0
14.3
15.
(1)
略⑵450
16.45
0
17.
(1)
1
3⑵
18.
(1)
3
(2)
30
(3)略
(4)
310
10
10
18.如图,建立空间直角坐标系
O—xyz.
(1)依题意得B(0,
•-1BN|=(10)2(01)2(10)23.
(2)依题意得A1(1,0,2)、B(0,1,0)、
•BA={—1,—1,2},CB1={0,1,2,},
C(0,0,0)、B(0,1,2)
BA|•CB1=3,|BA|=
4g
1
J齐■二4
Z
图
ICBi|=5二cosCBi>=
BACB1
—-:
'30.
IBAiI|CBi|10
(3)证明:
依题意,得G
(0,0,2)、M(1,1,2
22
),A>{-1,1,2},CjM={-,-,
122
0}.•AB•CiM=—1
1+0=0,•••AB丄CM,•••AiB丄CM.
评述:
本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件