1、完整word版空间向量与立体几何测试题及答案高中 数学选修(2-1)空间向量与立体几何测试题、选择题1 若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点,则这些向量的终点构成的图形是( )A. 个圆 E. 个点 C.半圆 D.平行四边形答案:AUUJU2 .在长方体 ABCD A1B1C1D1中,下列关于 AC,的表达中错误的一个是( )C. 一定共面D. 肯定不共面答案:C7.如图1,空间四边形 ABCD的四条边及对 角线长都是a ,点E, 的中点,贝U a2等于(uuu uurA. 2BA ACF, G 分别是 AB, AD, CDB.uuu UJU 2AD-BDuur u
2、uuC. 2FG-CAD.uuu UJU2EF-CB答案:B&若a则 x, y,e1 e2ez的值分别为b e1e2 e3, c e1)e2 e3 ,ei2e23是,且 d xa ybzc ,A. 52,答案:AB.C.D. 2 J19.若向量a(1,2)与 b(2, 1,2)的夹角的余弦值为8,则9A. 2B. 2C.2或55D.2或55答案:C10 已知ABCD为平行四边形,且A(413),” 7A. ,4, 12答案:DB. (2,4,1)B(2, 5,1),C(3,7,C. ( 214,1)11 .在正方体ABCDAB1C1D1 中,5),则顶点D的坐标为(D. (513, 3)A.
3、60B.90O为AC, BD的交点,则C 43C. arccos -3GO与AD所成角的(arccos6D.答案:D12.给出下列命题:b,贝U a-(b已知ac) c(b a) b-c ; A, B,uuu uuuu uuirM , N为空间四点,若BABM,BN不构成空间的一个基底, 那么A, B, M , N共面;b,则a, b与任何向量都不构成空间的一个基底; 若a, b共线,则a, 正确的结论的个数为(A. 1 B. 2答案:C已知ab所在直线或者平行或者重合.)C. 3D. 4二、填空题13.已知 a (3,15), b(1,2, 3),向量c与z轴垂直,且满足c-a 9, c-b
4、 4,则cI;答案:22 21,05 5UlU 1 UUU 2 UUU14.已知A B, C三点不共线,O为平面ABC外一点,若由向量OP OA OB5 3LULT ”OC确定的点P与A, B, C共面,那么 答案:-1515.已知线段 AB 面,BC ,CD BC,DF 面 于点F,在平面 的同侧,若 AB BC CD 2,则AD的长为 .DCF 30,且 D, A答案:2 216 .在长方体ABCD A1B1C1D1中,BQ和CQ与底面所成的角分别为 线BC和CQ所成角的余弦值为 .60和45 ,则异面直答案:17 .设 a12ijk, a2i 3j 2k , aa2i j 3k, a43
5、i 2j 5k,试问是否存在实数,使a4a1a2 a3成立?如果存在,求出,;如果不存在,请写出证明.答案:解:假设a4a1a2 a3成立. a1 (2,1,1),a2(13,2) , a3 ( 21,3) , a4 (3,2,5),- (22 ,3, 2 3 )(3,2,5).2232 ,32,解得1,235,3.所以存在2,1, v3使得a42a1 a2 3a3.三、解答题理由即为解答过程.18.如图2,正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 2a,求AC1与侧面ABB1A所成的角.解:建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0, B(0, a,0, A(0,0,&a),
6、 G aa虽a 2 2由于n ( 1,0,0)是面ABB1A的法向量,.uuuucos AG, nujihAC/n jjui AG n故ACi与侧面ABBiA所成的角为30.19 如图 3,直三棱柱 ABC ABQi中,底面是等腰直角三角形,ACB 90,侧棱AA 2,D,E分别是CCi与AB的中点,点 E在平面 ABD上的射影是 求点A到平面AED的距离.解:建立如图所示的空间直角坐标系,设 CA 2a , 2a 2a 1则 A(2a,0,0, B(0,2a,0, D(0,0,1), A(2a,0,2) E(a, a,1), G 一,一,-.3 3 3切 a a 2 uuu从而 GE _ ,
7、BD (0, 2a,1).3 3 3uuu uur由 GE BD GE-BD 0 ,得 a 1 , ABD的重心G ,则 A!(2,0,2) A(2,0,0) E(1,1,1).自A作AH 面AED于M,并延长交xOy面于H,设H (x, y,0),uuuu则 AH (x 2, y, 2).uuu uuu又 AD ( 2,0,) , AE ( 1,1,1).A1H AD,A1H AE2(x 22) 2 20 0 % 1,得 H(1,1,0)(x 2) y 2 0 y 1 ,又AMA1A cosJUT ULULTA1A AMjUULT LULU.AAcos A1A AH2 42 2.6那么 B(
8、2,0,2) D(0,2 -2, P(2 , , 0) Q(22(2 t)2 ,2 - 0),从而QR ( 2(2 t)2 -2 - 2),PD1 (2,2t, 2),由 QB PD1uuuu uuuu QB/PD!0,121 图X即 2 2 (2 t)2 2(2 t) 4 0 t 1 .20.已知正方体 ABCD AB1GD1的棱长为2 , P, Q分别是BC , CD上的动点,且PQ 2 , 确定P, Q的位置,使QB1 PD1 .解:建立如图所示的空间直角坐标系,设 BP t ,得 CQ 2 (2 t)2 , DQ 2 2 (2 t)2 .故P, Q分别为BC, CD的中点时,QBi P
9、Di .21.如图4,在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD 中, ABC 90,SA 面 ABCD,1SA AB BC 1, AD ,求面SCD与面SBA所成二面角的正切2值.解:建立如图所示的空间直角坐标系,戸, 1则 A(0,0,0, B( 1,0, 0, C( 1,1,0) D 0,0 , S(0,0,1).延长CD交x轴于点F ,易得F(1,0, 0),作AE SF于点E ,连结DE ,则 DEA即为面SCD与面SBA所成二面角的平面角.1 1又由于 SA AF 且 SA AF ,得 E - , 0 ,-,2 2uur 1那么EA 2,01 uur ED2从而uuu uuu.EA,ED
10、.uuu|eaUUUI. ed|1 12,263uur umr. 因此 tan EAF , ED故面SCD与面SBA所成二面角的正切值为22 .平行六面体 ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且 GCBGCDBCD ,试问:CD当一一的值为多少时, AQ 面GBD ?请予以证明.CG解:欲使AQ 面GBD ,只须AC C1D ,且AC GB .uuir uuun欲证AC GD,只须证CAGD 0 ,uur uur uuu uuur即(CA AA ) (CD CG ) 0 ,uur uuu也就是(CD CBujuu uur uuurCC)(CD CCJ0,uuu 2.uuuu 2uu
11、uuuu即CDICC1CBCDcos BCDuuu uuuiCB CC1 cos由于 C1CB BCD ,C1CB 0.显然,uurCDuuuuCC1时,上式成立;同理可得,当因此,当CDCC1uurCDiuuuCC1AC1 时,AC 面 GBD .1.已知A B C三点不共线,对平面A. m nB. mn C.q p *m不平行于n,m也不垂直于nD.以上三种情况都可D. ABC是直角三角形的充要条件是AB AC 05.对空间任意两个向量 a,b(bo),a/b的充要条件是a. a bb. aC. b aD. a6.已知向量a(0,2,1),b (1,1, 2),则a与b的夹角为A.0 B.
12、45C.90o.D.1807.在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中,M为AC与 BD.选择题:(10小题共40分)ABC外的任一点 O,下列条件中能确定点 M与点A B C定共面的是()A. OMOAOB OCb. OM2OA OBOCC. OMOA1 OB1OCD. OMOA OB -OC233 332.直三棱柱ABC-A1B1G中,若CAa,CBbgC,则 AB()A. a b cB. a b cC. a b cD. a b c3.若向量m垂直向量a和b,向量n ab(,R且、0)则 ()能4.以下四个命题中,正确的是1 1 -A.若OP OA OB ,则P、A、E三点共线2 3B.
13、设向量a,b,c是空间一个基底,则 a + b , b+c , c + a构成空间的另一个基底 * fc. (a b)c a b cA1B1 a, A1D1 b, AA c,则下列向量中与B1M相等的是 ()10.在棱长为1的正方体ABCA1B1CD中,M和N分别为AB和BB的中点,那么直线 AM与CN所成角的余弦值是(4)求CB与平面AABB所成的角的余弦值517.正四棱锥S ABCD中,所有棱长都是 2, P为SA的中点,如图(1)求二面角B SC- D的大小;(2)求DP与SC所成的角的大小18.如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1,底面 ABC中,CA=CB=1 / BCA=90,棱
14、AA=2, M N分别是A1B1, AA的中点;(1)求BN的长;求cos BA,CB1的值;(3)求证:AB C1M .1,0)、N (1,0,1)高中数学选修2-1测试题(10)空间向量 参考答案DDBBDCDA AB 11.012.(1,1 , 1)13.60014.315.(1)略45 016.45017.(1)1318.(1)3 (2)30(3) 略(4)3 10101018.如图,建立空间直角坐标系O xyz.(1 )依题意得B( 0,-1 BN |= (1 0)2 (0 1)2 (1 0)2 3.(2)依题意得 A1 (1, 0, 2)、B ( 0, 1 , 0)、 BA = 1 , 1 , 2 , CB1 =0 , 1 , 2, ,C (0, 0, 0)、B (0, 1 , 2)BA| CB1 =3, | BA |=4 g1J 齐二4Z图I CBi |= 5 二 cos=BA CB1-:30 .IBAiI |CBi| 10(3)证明:依题意,得G(0, 0, 2)、M( 1,1,22 2),A -1,1,2, CjM=-,-,1 2 20. A B CiM = 11+0=0, AB 丄 CM , AiB丄CM.评述:本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识 .考查空间两向量垂直的充要条件
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