极化恒等式在向量问题中的应用专题Word文档下载推荐.doc
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（2）
（1）
（2）两式相加得：
结论：
平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.
思考1：
如果将上面
（1）
（2）两式相减，能得到什么结论呢？
＝————极化恒等式
对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。
那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式的几何意义是什么？
几何意义：
向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.
即：
（平行四边形模式）
思考：
在图1的三角形ABD中（M为BD的中点），此恒等式如何表示呢？
因为，所以（三角形模式）
A
B
C
例1.（2012年浙江文15）在中，是的中点，，则____.
解：
因为是的中点，由极化恒等式得：
=9-=-16
【小结】在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式。
目标检测
取AB的中点D，连结CD,因为三角形ABC为
正三角形，所以O为三角形ABC的重心，O在CD上，
且，所以，
（也可用正弦定理求AB）
又由极化恒等式得：
因为P在圆O上，所以当P在点C处时，
当P在CO的延长线与圆O的交点处时，
所以
【小结】涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围、最值即可。
例3.（2013浙江理7）在中,是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有。
则（）
A.B.
C.D.
课后检测
1.在中，若，，在线段上运动，的最小值
为
2.已知是圆的直径,长为2,是圆上异于的一点,是圆所在平面上任意一点,则的最小值为（）
A.B.C.D.
3．在中，，，，若是所在平面内一点，且，则的最大值为
4．若点和点分别是双曲线的中心和左焦点，点为双曲线右支上任意一点则的取值范围是.
5．在，，已知点是内一点，则的最小
值是.
6.已知是单位圆上的两点，为圆心，且是圆的一条直径，点在圆内，且满足，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
7.正边长等于，点在其外接圆上运动，则的取值范围是（）
A.B.C.D.
8．在锐角中，已知，，则的取值范围是．
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