极化恒等式在向量问题中的应用Word格式.doc
《极化恒等式在向量问题中的应用Word格式.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《极化恒等式在向量问题中的应用Word格式.doc(3页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
![极化恒等式在向量问题中的应用Word格式.doc](https://file1.bdocx.com/fileroot1/2022-10/22/301269c1-efcb-452a-9bac-f874c3182dd6/301269c1-efcb-452a-9bac-f874c3182dd61.gif)
(1)
(2)
(1)
(2)两式相加得:
结论:
定理:
平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.
思考1:
如果将上面
(1)
(2)两式相减,能得到什么结论呢?
=————极化恒等式
几何意义:
向量的数量积表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.
A
B
C
即:
(平行四边形模式)
思考:
在图1的三角形ABD中(M为BD的中点),此恒等式如何表示呢?
因为,所以(三角形模式)
目标2-1:
掌握用极化恒等式求数量积的值
例1.(2012年浙江文15)在中,是的中点,,则____.
解:
因为是的中点,由极化恒等式得:
=9-=-16
【小结】运用极化恒等式的三角形模式,关键在于取第三边的中点,找到三角形的中线,再写出极化恒等式。
目标检测
目标2-2:
掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围
取AB的中点D,连结CD,因为三角形ABC为正三角形,所以O为三角形ABC
的重心,O在CD上,且,所以,
又由极化恒等式得:
因为P在圆O上,所以当P在点C处时,
当P在CO的延长线与圆O的交点处时,
所以
【小结】涉及数量积的范围或最值时,可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量,再用数形结合等方法求出单变量的范围、最值即可。
1、矩形中,,点分别为边上的动点,且,则的最小值是()
A.B.C.D.
2、已知是圆上互不相同的三个点,且,则的最小值是
3、已知,,为平面内一点,满足,则的取值范围是.
目标2-3:
会用极化恒等式解决与数量积有关的综合问题
例3.(2013浙江理7)在中,是边上一定点,满足,
且对于边上任一点,恒有。
则()
A.B.C.D.
`1、
2、[2016年江苏]如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,,,则的值是.
3、[2014年江苏]如图在平行四边形中,已知,
,则的值是.
课后检测
1.在中,若,,在线段上运动,的最小值为
2.已知是圆的直径,长为2,是圆上异于的一点,是圆所在平面上任意一点,则的最小值为()A.B.C.D.
3.在中,,,,若是所在平面内一点,且,则的最大值为
4.在,,已知点是内一点,则的最小值是.
5.已知是单位圆上的两点,为圆心,且是圆的一条直径,点在圆内,且满足,则的取值范围是()
A. B. C. D.
6.正边长等于,点在其外接圆上运动,则的取值范围是()
A.B.C.D.
7.在锐角中,已知,,则的取值范围是.
8、正方体的棱长为2,是它内切球的一条弦(把球面上任意2个点之间的线段成为球的弦),为正方体表面上的动点,当弦最长时,的最大值为