第4讲 找规律教师版.docx

第4讲 找规律教师版.docx

《第4讲 找规律教师版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第4讲 找规律教师版.docx（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第4讲找规律教师版

第4讲找规律

（一）教师版

找几何图形的规律

找规律是解决数学问题的一种重要的手段，而规律的找寻既需要敏锐的观察力，又需要严

密的逻辑推理能力.为培养这方面的能力，本讲将从几何图形的问题入手，逐步分析应从哪些方面来观察思考。

因此，学习本讲的知识有助于养成全面地、由浅入深、由简到繁观察思考问题的良好习惯，可以逐步掌握通过观察发现规律并利用规律来解决问题的方法。

下面就来看几个例子。

【例1】按顺序观察图5—1与图5—2中图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？

”的空格处应画什么样的图形？

分析观察中，注意到图5—1中每行三角形的个数依次减少，而正方形的个数依次增多，且三角形的个数按4、3、X、1的顺序变化.显然X应等于2；图5—2中黑点的个数从左到右逐次增多，且每一格（第一格除外）比前面的一格多两个点.事实上，本题中几何图形的变化仅表现在数量关系上，是一种较为基本的、简单的变化模式。

解：

在图5—1的“？

”处应是三角形△，在图5—2的“？

”处应是

【例2】请观察右图中已有的几个图形，并按规律填出空白处的图形。

分析首先可以看出图形的第一行、第二列都是由一个圆、一个三角形和一个正方形所组成的；其次，在所给出的图形中，我们发现各行、各列均没有重复的图形，而且所给出的图形中，只有圆、三角形和正方形三种图形.由此，我们知道这个图的特点是：

1仅由圆、三角形、正方形组成；

②各行各列中，都只有一个圆、一个三角形和一个正方形。

因此，根据不重不漏的原则，在第二行的空格中应填一个三角形，而第三行的空格中应填一个正方形。

【例3】按顺序观察下图中图形的变化规律，并在“？

”处填上合适的图形.

分析显然，图（a）、图（b）中都是圆，而图（c）中却不是圆；同时，图（a）、（c）中都有3个图形，而（b）中只有两个.由此可知：

图（a）到（b）的变化规律对应于图（c）到

（d）的变化规律.再注意到图（a）到图（b）中图形在繁简、多少、位置几方面的变化，就容易得到图（d）中的图形了。

解：

在上图的“？

”处应填如下图形.

【例4】下图中的图形是按一定规律排列的，请仔细观察，并在“？

”处填上适当的图形.

分析本题中，首先可以注意到每个图形都由大、小两部分组成，而且，大、小图形都是由

正方形、三角形和圆形组成，图中的任意两个图形均不相同.因此，我们不妨试着把大、小图形分开来考虑，再一次观察后我们可以发现：

对于大图形来说，每行每列的图形决不重复。

因此，每行每列都只有一个大正方形，一个大三角形和一个大圆，对于小图形也是如此，这样，“？

”处的图形就不难得出。

解：

图中，（b）、（f）、（h）处的图形分别应填下面的图甲、图乙、图丙.

小结：

对于较复杂的图形来说，有时候需要把图形分开几部分来单独考虑其变化规律，从而把复杂问题简单化。

【例5】观察下列各组图的变化规律，并在“？

”处画出相关的图形.

分析我们先来看这样两个图：

（甲）图与（乙）图中，点A、B、C、D的顺序和距离都没有改变，只是每个点的位置发生

了变化，如：

甲图中，A在左方；而乙图中，A在上方，……我们把这样一种位置的变化称为图形的旋转，乙图可以看作是甲图

90°（或一格）。

现在我们再回到题目上来，容易看出：

例5题中按（a）、（b）、（c）、（d）、（e）、

（f）、（g）、（h）、（i）顺序排列的9个图形，它们的变化规律是：

每一个图形（a除外）都是由其前一个图形逆时针旋转90°而得到的.甲乙丙丁四个图形变化规律也类似。

解：

图（i）处的图形应是下面左图，丁图处的图形应是下面右图

注意：

因为图形是由旋转而得到的，所以其中三角形、菱形的方向随旋转而变化，作图的

时候要注意到这一点。

旋转是数学中的重要概念，掌握好这个概念，可以提高观察能力，加快解题速度，对于许多问题的解决，也有事半而功倍的效果。

【例6】仔细观察下图中图形的变化规律，并在“？

”处填入合适的图形.

分析显然，图（a）、（b）的变化规律对应于图（c）的变化规律；图（d）、（e）的变化规律也对应于图（f）的变化规律，我们先来观察（a）、（b）两组图形，发现在形状、位置方面都发生了变化，即把圆变为它的一半——半圆，把三角形也变为它的一半——直角三角形；同时，变化后图形的位置相当于把原图形沿顺时针方向旋转90°而得到.因此，我们很容易地就把图（c）中的直角梯形还原为等腰梯形并通过逆时针旋转而得到图（c）“？

”处的图形。

当我们从左到右来观察图（d）、（e）的变化规律时，我们发现，图（d）、（e）的变化规律有与图（a）、（b）相同的一面，即都是把一个图形变为自身的一半，但也有与图（a）、

（b）不同的一面，即图（d）、（e）中右半部分的图形无法通过旋转原图来得到，只能通过上下翻转而获得.这样，我们就得到了这些图形的变化规律。

解：

图（c）中“？

”处的图形应是下面甲图，图（f）中“？

”处的图形应是乙图.

小结：

本题是一道较为复杂的题，观察的出发点主要有3点：

①形状变化；②位置变化；③颜色变化。

【例7】四个小动物排座位，一开始，小鼠坐在第1号位子上，小猴坐在第2号，小兔坐在第3号，小猫坐在第4号.以后它们不停地交换位子，第一次上下两排交换.第二次是在第一次交换后左右两列交换，第三次再上下两排交换，第四次再左右两列交换…这样一直换下去.问：

第十次交换位子后，小兔坐在第几号位子上？

（参看下图）

分析这是“华罗庚金杯”第二届初赛的一道试题，如果有充裕的时间，我们当然可以把十

次变化的图都画出来，从而得到答案.10并不是一个很大的数字，因此这样的方法虽然麻烦，却也是行之有效的.然而，在初赛中，本题的思考时间只有30秒，不可能一步步把图画出来，这就要求我们仔细观察，认真思考，找出规律再做题。

方法1：

因为题目中问的只是第十次交换位子后，小兔的位子是几.因此，我们只需考虑小兔的位子变化规律，小兔刚开始时在3号位子，记为③，则

次交换座位，小兔的座位按顺时针方向转动一格，每四次交换座位后，小兔又回到原处，知道了这个规律，就不难得出答案.即10次后，小兔到了第2号位子。

方法2：

受方法一的启示，我们可以思考，其他小动物的变化规律怎样？

四个小动物的整体变化规律又怎样呢？

事实上，当我们仔细观察示意图时会发现，开始的图沿顺时针方向旋转两格（即180°）时，恰得到第二次交换位子后的图，由此可以知道，每一次上下交换后再一次左右交换的结果就相当于把原图沿顺时针方向旋转180°，第十次交换位子后，相当于是这些小动物沿顺时针方向转了4圈半，这样，我们就得到了小兔的位子及它们的整体变化规律.但其中需注意一点的是：

单独一次上下（或左右）的交换与旋转90°得到的结果是不同的.小猫、小鼠的位子变化规律是沿逆时针方向，而小猴的位子变化规律与小兔相似。

解：

第十次交换位子后，小兔到了2号位子。

【例8】将A、B、C、D、E、F六个字母分别写在正方体的六个面上，从下面三种不同摆法中判断这个正方体中，哪些字母分别写在相对的面上。

分析本题所给的是一组立体几何图形.但是，我们注意到：

由于图（a）、（b）、（c）都是同一个正方体的不同摆法，所以，（a）、（b）、（c）可以通过旋转来互相转化，这三个图形中，字母C所在的一面始终不改变位置.因此，这三个图形的转化只能是前后转动.把图（a）

向后翻转一次（90°）得图（b），由此可知，字母A的对面是D，把图（a）向前翻转一次（90

°）得图（c），所以，字母B的对面是字母E，最后得出只有字母C、F相对。

解：

正方体中，相对的字母分别是A—D、B—E、C—F。

总结：

一般地说，在观察图形变化的规律时，应抓住以下几点来考虑问题：

1.图形数量的变化；2.图形形状的变化；3.图形大小的变化；4.图形颜色的变化；5.图形位置的变化；

6.图形繁简的变化等。

对较复杂的图形，也可分成几部分来分别考虑.总而言之，只要全面观察，勤于思考，就一定能抓住规律、解决问题。

习题五

1.顺序观察下面图形，并按其变化规律在“？

”处填上合适的图形。

2.一个正方体的小木块，1与6、2与5、3与4分别是相对面，如照下图那样放置，并按图中箭头指示的方向翻动，则木块翻动到第5格时，木块正上方那一面的数字是多少？

习题五解答

1.解：

①图（a）到（b）的规律也就是图（c）到（d）的规律，所以①中“？

”处应填的是下图。

②图（a）和（c）的规律就是图（b）到（d）的规律，也即把原图沿逆时针方向旋转180°.

因此②中“？

”处的图形是下图.

③图（c）处的图形应是下图。

④把图形分为顶部、中部和底部分别考虑，④中“？

”处的图形应是下图.

2.答.是3.

找规律

（二）

找简单数列的规律

日常生活中，我们经常接触到许多按一定顺序排列的数，如：

自然数：

1，2，3，4，5，6，7，…

（1）年份：

1990，1991，1992，1993，1994，1995，1996

（2）某年级各班的学生人数（按班级顺序一、二、三、四、五班排列）

45，45，44，46，45（3）

像上面的这些例子，按一定次序排列的一列数就叫做数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项，其中第1个数称为这个数列的第1项，第2个数称为第2项，…，第n个数就称为第n项.如数列（3）中，第1项是45，第2项也是45，第3项是44，第4项是46，第5项45。

根据数列中项的个数分类，我们把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称为有穷数列，把项数无限的数列（即有无穷多个项的数列）称为无穷数列，上面的几个例子中，

（2）

（3）是有穷数列，

（1）是无穷数列。

研究数列的目的是为了发现其中的内在规律性，以作为解决问题的依据，本讲将从简单数列出发，来找出数列的规律。

【例1】观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.

①2，5，8，11，（），17，20。

②19，17，15，13，（），9，7。

③1，3，9，27，（），243。

④64，32，16，8，（），2。

⑤1，1，2，3，5，8，（），21，34…

⑥1，3，4，7，11，18，（），47…

⑦1，3，6，10，（），21，28，36，（）.

⑧1，2，6，24，120，（），5040。

⑨1，1，3，7，13，（），31。

⑩1，3，7，15，31，（），127，255。

1，4，9，16，25，（），49，64。

0，3，8，15，24，（），48，63。

1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）.

2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）.

分析与解答

①不难发现，从第2项开始，每一项减去它前面一项所得的差都等于3.因此，括号中应填的数是14，即：

11＋3=14。

②同①考虑，可以看出，每相邻两项的差是一定值2.所以，括号中应填11，

即：

13—2=11。

不妨把①与②联系起来继续观察，容易看出：

数列①中，随项数的增大，每一项的数值也相应增大，即数列①是递增的；数列②中，随项数的增大，每一项的值却依次减小，即数列②是递减的.但是除了上述的不同点之外，这两个数列却有一个共同的性质：

即相邻两项的差都是一个定值.我们把类似①②这样的数列，称为等差数列.

③1，3，9，27，（），243。

此数列中，从相邻两项的差是看不出规律的，但是，从第2项开始，每一项都是其前面一项的3倍.即：

3=1×3，9=3×3，27=9×3.因此，括号中应填81，即81=27×3，代入后，

243也符合规律，即243＝81×3。

④64，32，16，8，（），2

与③类似，本题中，从第1项开始，每一项是其后面一项的2倍，即：

因此，括号中填4，代入后符合规律。

综合③④考虑，数列③是递增的数列，数列④是递减的数列，但它们却有一个共同的特点：

每列数中，相邻两项的商都相等.像③④这样的数列，我们把它称为等比数列。

⑤1，1，2，3，5，8，（），21，34…首先可以看出，这个数列既不是等差数列，也不是等比数列.现在我们不妨看看相邻项之间

是否还有别的关系，可以发现，从第3项开始，每一项等于它前面两项的和.即2=1+1，3=2+1，

5=2+3，8=3＋5.因此，括号中应填的数是13，即13=5+8，21=8+13，34=13+21。

这个以1，1分别为第1、第2项，以后各项都等于其前两项之和的无穷数列，就是数学上有名的斐波那契数列，它来源于一个有趣的问题：

如果一对成熟的兔子一个月能生一对小兔，小兔一个月后就长成了大兔子，于是，下一个月也能生一对小兔子，这样下去，假定一切情况均理想的话，每一对兔子都是一公一母，兔子的数目将按一定的规律迅速增长，按顺序记录每个月中所有兔子的数目（以对为单位，一月记一次），就得到了一个数列，这个数列就是数列

⑤的原型，因此，数列⑤又称为兔子数列，这些在高年级递推方法中我们还要作详细介绍。

⑥1，3，4，7，11，18，（），47…在学习了数列⑤的前提下，数列⑥的规律就显而易了，从第3项开始，每一项都等于其前两项的和.因此，括号中应填的是29，即29=11＋18。

数列⑥不同于数列⑤的原因是：

数列⑥的第2项为3，而数列⑤为1，数列⑥称为鲁卡斯数列。

⑦1，3，6，10，（），21，28，36，（）。

方法1：

继续考察相邻项之间的关系，可以发现：

因此，可以猜想，这个数列的规律为：

每一项等于它的项数与其前一项的和，那么，第5项为15，即15=10+5，最后一项即第9项为45，即45＝36＋9.代入验算，正确。

方法2：

其实，这一列数有如下的规律：

第1项：

1=1

第2项：

3=1＋2

第3项：

6=1+2+3

第4项：

10=1+2+3+4

第5项：

（）

第6项：

21=1+2+3+4+5+6

第7项：

28=1+2+3+4+5+6+7

第8项；36=1+2+3+4+5+6+7+8

第9项：

（）

即这个数列的规律是：

每一项都等于从1开始，以其项数为最大数的n个连续自然数的和.因此，

第5项为15，即：

15=1+2+3+4+5；

第9项为45，即：

45=1+2+3+4+5+6+7+8+9。

⑧1，2，6，24，120，（），5040。

方法1：

这个数列不同于上面的数列，相邻项相加减后，看不出任何规律.考虑到等比数列，我们不妨研究相邻项的商，显然：

所以，这个数列的规律是：

除第1项以外的每一项都等于其项数与其前一项的乘积.因此，

括号中的数为第6项720，即720=120×6。

方法2：

受⑦的影响，可以考虑连续自然数，显然：

第1项1=1

第2项2=1×2

第3项6=1×2×3

第4项24=1×2×3×4

第5项120=1×2×3×4×5

第6项（）

第7项5040=1×2×3×4×5×6×7

所以，第6项应为1×2×3×4×5×6=720

⑨1，1，3，7，13，（），31与⑦类似：

可以猜想，数列⑨的规律是该项=前项+2×（项数-2）（第1项除外），那么，括号中应填

21，代入验证，符合规律。

⑩1，3，7，15，31，（），127，255。

则：

因此，括号中的数应填为63。

小结：

寻找数列的规律，通常从两个方面来考虑：

①寻找各项与项数间的关系；②考虑相

邻项之间的关系.然后，再归纳总结出一般的规律。

事实上，数列⑦或数列⑧的两种方法，就是分别从以上两个不同的角度来考虑问题的.但有时候，从两个角度的综合考虑会更有利于问题的解决.因此，仔细观察，认真思考，选择适当的方法，会使我们的学习更上一层楼。

在⑩题中，1=2-1

3=22-1

7=23-1

15=24-1

31=25-1

127=27-1

255=28-1

所以，括号中为26-1即63。

1，4，9，16，25，（），49，64.

1=1×1，4=2×2，9=3×3，16=4×4，25=5×5，49=7×7，64=8×8，即每项都等于自身项数与项数的乘积，所以括号中的数是36。

本题各项只与项数有关，如果从相邻项关系来考虑问题，势必要走弯路。

0，3，8，15，24，（），48，63。

仔细观察，发现数列

的每一项加上1正好等于数列

，因此，本数列的规律是项=项数×项数-1.所以，括号中填35，即35=6×6-1。

1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）。

前面的方法均不适用于这个数列，在观察的过程中，可以发现，本数列中的某些数是很有规律的，如1，2，3，4，5，而它们恰好是第1项、

第3项、第5项、第7项和第9项，所以不妨把数列分为奇数项（即第1，3，5，7，9项）和偶数项（即第2，4，6，8项）来考虑，把数列按奇数和偶数项重新分组排列如下：

奇数项：

1，2，3，4，5

偶数项：

2，4，8，16可以看出，奇数项构成一等差数列，偶数项构成一等比数列.因此，括号中的数，即第10项应为32（32=16×2）。

2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）。

同上考虑，把数列分为奇、偶项：

偶数项：

2，4，6，8，10

奇数项：

1，3，9，27，（）.所以，偶数项为等差数列，奇数项为等比数列，括号中应填

81（81=27×3）。

像

这样的数列，每个数列中都含有两个系列，这两个系列的规律各不相同，类似这样的数列，称为双系列数列或双重数列。

【例2】下面数列的每一项由3个数组成的数组表示，它们依次是：

（1，3，5），（2，6，10），（3，9，15）…问：

第100个数组内3个数的和是多少？

方法1：

注意观察，发现这些数组的第1个分量依次是：

1，2，3…构成等差数列，所以第

100个数组中的第1个数为100；这些数组的第2个分量3，6，9…也构成等差数列，且3=3×

1，6=3×2，9=3×3，所以第100个数组中的第2个数为3×100=300；同理，第3个分量为5×

100=500，所以，第100个数组内三个数的和为100+300+500=900。

方法2：

因为题目中问的只是和，所以可以不去求组里的三个数而直接求和，考察各组的三个数之和。

第1组：

1+3+5=9，第2组：

2+6+10=18

第3组：

3+9+15=27…，由于9=9×1，18=9×2，27=9×3，所以9，18，27…构成一等差数列，第100项为9×100=900，即第100个数组内三个数的和为900。

【例3】按下图分割三角形，即：

①把三角形等分为四个相同的小三角形（如图（b））；②把①中的小三角形（尖朝下的除外）都等分为四个更小的三角形（如图（C））…继续下去，将会得到一系列的图，依次把这些图中不重叠的三角形的个数记下来，成为一个数列：

1，4，13，40…请你继续按分割的步骤，以便得到数列的前5项.然后，仔细观察数列，从中找出规律，并依照规律得出数列的第10项，即第9项分割后所得的图中不重叠的小三角形的个数.

分析与解答

第4次分割后的图形如左图：

因此，数列的第5项为121。

这个数列的规律如下：

第1项1

第2项4=1+3

第3项13=4+3×3

第4项40=13+3×3×3

第5项121=40+3×3×3×3

或者写为：

第1项1=1

第2项4=1+31

第3项13=1＋3＋32

第4项40=1＋3＋32＋33

第5项121=1＋3＋32+33＋34

因此，第10项也即第9次分割后得到的不重叠的三角形的个数是29524。

【例4】在下面各题的五个数中，选出与其他四个数规律不同的数，并把它划掉，再从括号中选一个合适的数替换。

①42，20，18，48，24

（21，54，45，10）

②15，75，60，45，27

（50，70，30，9）

③42，126，168，63，882

（27，210，33，25）

解：

①中，42、18、48、24都是6的倍数，只有20不是，所以，划掉20，用54代替。

②15、75、60、45都是15的整数倍数，而27不是，用30来替换27。

③同上分析，发现这些数中，42、126、128、882都是42的整数倍，而63却不是.因此，用210来代替63。

习题六

按一定的规律在括号中填上适当的数：

1.1，2，3，4，5，（），7…

2.100，95，90，85，80，（），70

3.1，2，4，8，16，（），64

5.2，1，3，4，7，（），18，29，47

6.1，2，5，10，17，（），37，50

7.1，8，27，64，125，（），343

8.1，9，2，8，3，（），4，6，5，5

习题六

1.等差数列，括号处填6。

2.等差数列，括号处填75。

3.等比数列，括号处填32。

5.相邻两项的和等于下一项，括号处填11。

6.后项-前项=前项的项数×2-1，括号处填26。

7.立方数列，即每一项等于其项数乘以项数再乘以项数，括号处填216。

8.双重数列，括号处填7.