第4讲 找规律教师版.docx

1、第4讲 找规律教师版第4讲 找规律（一） 教师版找几何图形的规律 找规律是解决数学问题的一种重要的手段，而规律的找寻既需要敏锐的观察力，又需要严密的逻辑推理能力.为培养这方面的能力，本讲将从几何图形的问题入手，逐步分析应从哪些方 面来观察思考。因此，学习本讲的知识有助于养成全面地、由浅入深、由简到繁观察思考问题 的良好习惯，可以逐步掌握通过观察发现规律并利用规律来解决问题的方法。下面就来看几个例子。【例 1】 按顺序观察图 51 与图 52 中图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？”的 空格处应画什么样的图形？分析 观察中，注意到图 51 中每行三角形的个数依次减少，而正方形的个数依次

2、增多， 且三角形的个数按 4、3、X、1 的顺序变化.显然 X 应等于 2；图 52 中黑点的个数从左到右逐 次增多，且每一格（第一格除外）比前面的一格多两个点.事实上，本题中几何图形的变化仅表 现在数量关系上，是一种较为基本的、简单的变化模式。解：在图 51 的“？”处应是三角形，在图 52 的“？”处应是【例 2】 请观察右图中已有的几个图形，并按规律填出空白处的图形。分析 首先可以看出图形的第一行、第二列都是由一个圆、一个三角形和一个正方形所组成 的；其次，在所给出的图形中，我们发现各行、各列均没有重复的图形，而且所给出的图形 中，只有圆、三角形和正方形三种图形.由此，我们知道这个图的特

3、点是：1 仅由圆、三角形、正方形组成； 各行各列中，都只有一个圆、一个三角形和一个正方形。 因此，根据不重不漏的原则，在第二行的空格中应填一个三角形，而第三行的空格中应填一个正方形。【例 3】 按顺序观察下图中图形的变化规律，并在“？”处填上合适的图形.分析 显然，图（a）、图（b）中都是圆，而图（c）中却不是圆；同时，图（a）、（c） 中都有 3 个图形，而（b）中只有两个.由此可知：图（a）到（b）的变化规律对应于图（c）到（d）的变化规律.再注意到图（a）到图（b）中图形在繁简、多少、位置几方面的变化，就容 易得到图（d）中的图形了。解：在上图的“？”处应填如下图形.【例 4】 下图中的

4、图形是按一定规律排列的，请仔细观察，并在“？”处填上适当的图形.分析 本题中，首先可以注意到每个图形都由大、小两部分组成，而且，大、小图形都是由正方形、三角形和圆形组成， 图中的任意两个图形均不相同.因此，我们不妨试着把大、小图 形分开来考虑，再一次观察后我们可以发现：对于大图形来说，每行每列的图形决不重复。因 此，每行每列都只有一个大正方形，一个大三角形和一个大圆，对于小图形也是如此，这样， “？”处的图形就不难得出。解：图中，（b）、（f）、（h）处的图形分别应填下面的图甲、图乙、图丙.小结：对于较复杂的图形来说，有时候需要把图形分开几部分来单独考虑其变化规律，从 而把复杂问题简单化。【例

5、 5】 观察下列各组图的变化规律，并在“？”处画出相关的图形.分析 我们先来看这样两个图：（甲）图与（乙）图中，点 A、B、C、D 的顺序和距离都没有改变，只是每个点的位置发生了变化，如：甲图中，A 在左方；而乙图中，A 在上方，我们把这样一种位置的变化称为图 形的旋转，乙图可以看作是甲图90（或一格）。现在我们再回到题目上来，容易看出：例 5 题中按（a）、（b）、（c）、（d）、（e）、（f）、（g）、（h）、（i）顺序排列的 9 个图形，它们的变化规律是：每一个图形（a 除外） 都是由其前一个图形逆时针旋转 90而得到的.甲乙丙丁四个图形变化规律也类似。解：图（i）处的图形应是下面左图，

6、丁图处的图形应是下面右图注意：因为图形是由旋转而得到的，所以其中三角形、菱形的方向随旋转而变化，作图的时候要注意到这一点。旋转是数学中的重要概念，掌握好这个概念，可以提高观察能力，加快解题速度，对于许 多问题的解决，也有事半而功倍的效果。【例 6】 仔细观察下图中图形的变化规律，并在“？”处填入合适的图形.分析 显然，图（a）、（b）的变化规律对应于图（c）的变化规律；图（d）、（e）的变 化规律也对应于图（f）的变化规律，我们先来观察（a）、（b）两组图形，发现在形状、位置 方面都发生了变化，即把圆变为它的一半半圆，把三角形也变为它的一半直角三角 形；同时，变化后图形的位置相当于把原图形沿顺

7、时针方向旋转 90而得到.因此，我们很容易 地就把图（c）中的直角梯形还原为等腰梯形并通过逆时针旋转而得到图（c）“？”处的图形。当我们从左到右来观察图（d）、（e）的变化规律时，我们发现，图（d）、（e）的变化 规律有与图（a）、（b）相同的一面，即都是把一个图形变为自身的一半，但也有与图（a）、（b）不同的一面，即图（d）、（e）中右半部分的图形无法通过旋转原图来得到，只能通过上 下翻转而获得.这样，我们就得到了这些图形的变化规律。解：图（c）中“？”处的图形应是下面甲图，图（f）中“？”处的图形应是乙图.小结：本题是一道较为复杂的题，观察的出发点主要有 3 点： 形状变化； 位置变 化；

8、 颜色变化。【例 7】 四个小动物排座位，一开始，小鼠坐在第 1 号位子上，小猴坐在第 2 号，小兔坐在第 3 号，小猫坐在第 4 号.以后它们不停地交换位子，第一次上下两排交换.第二次是在第一次交换 后左右两列交换，第三次再上下两排交换，第四次再左右两列交换这样一直换下去.问：第十 次交换位子后，小兔坐在第几号位子上？（参看下图）分析 这是“华罗庚金杯”第二届初赛的一道试题，如果有充裕的时间，我们当然可以把十次变化的图都画出来，从而得到答案.10 并不是一个很大的数字，因此这样的方法虽然麻烦，却 也是行之有效的.然而，在初赛中，本题的思考时间只有 30 秒，不可能一步步把图画出来，这 就要求

9、我们仔细观察，认真思考，找出规律再做题。方法 1：因为题目中问的只是第十次交换位子后，小兔的位子是几.因此，我们只需考虑小 兔的位子变化规律，小兔刚开始时在 3 号位子，记为，则次交换座位，小兔的座位按顺时针方向转动一格，每四次交换座位后，小兔又回到原处， 知道了这个规律，就不难得出答案.即 10 次后，小兔到了第 2 号位子。方法 2：受方法一的启示，我们可以思考，其他小动物的变化规律怎样？四个小动物的整体 变化规律又怎样呢？事实上，当我们仔细观察示意图时会发现，开始的图沿顺时针方向旋转两 格（即 180）时，恰得到第二次交换位子后的图，由此可以知道，每一次上下交换后再一次左 右交换的结果就

10、相当于把原图沿顺时针方向旋转 180，第十次交换位子后，相当于是这些小动 物沿顺时针方向转了 4 圈半，这样，我们就得到了小兔的位子及它们的整体变化规律.但其中需 注意一点的是：单独一次上下（或左右）的交换与旋转 90得到的结果是不同的.小猫、小鼠的 位子变化规律是沿逆时针方向，而小猴的位子变化规律与小兔相似。解：第十次交换位子后，小兔到了 2 号位子。【例 8】 将 A、B、C、D、E、F 六个字母分别写在正方体的六个面上，从下面三种不同摆法中判断这 个正方体中，哪些字母分别写在相对的面上。分析 本题所给的是一组立体几何图形.但是，我们注意到：由于图（a）、（b）、（c）都 是同一个正方体的

11、不同摆法，所以，（a）、（b）、（c）可以通过旋转来互相转化，这三个图 形中，字母 C 所在的一面始终不改变位置.因此，这三个图形的转化只能是前后转动.把图（a）向后翻转一次（90）得图（b），由此可知，字母 A 的对面是 D，把图（a）向前翻转一次（90）得图（c），所以，字母 B 的对面是字母 E，最后得出只有字母 C、F 相对。解：正方体中，相对的字母分别是 AD、BE、CF。 总结：一般地说，在观察图形变化的规律时，应抓住以下几点来考虑问题：1.图形数量的变化；2.图形形状的变化；3.图形大小的变化；4.图形颜色的变化；5.图形位置的变化；6.图形繁简的变化等。 对较复杂的图形，也可分

12、成几部分来分别考虑.总而言之，只要全面观察，勤于思考，就一定能抓住规律、解决问题。习题五1.顺序观察下面图形，并按其变化规律在“？”处填上合适的图形。2.一个正方体的小木块，1 与 6、2 与 5、3 与 4 分别是相对面，如照下图那样放置，并按图中箭头指示的方向翻动，则木块翻动到第 5 格时，木块正上方那一面的数字是多少？习题五解答1.解：图（a）到（b）的规律也就是图（c）到（d）的规律，所以中“？”处应填的 是下图。图（a）和（c）的规律就是图（b）到（d）的规律，也即把原图沿逆时针方向旋转 180.因此中“？”处的图形是下图.图（c）处的图形应是下图。把图形分为顶部、中部和底部分别考虑

13、，中“？”处的图形应是下图.2.答.是 3.找规律（二）找简单数列的规律日常生活中，我们经常接触到许多按一定顺序排列的数，如： 自然数：1，2，3，4，5，6，7， （1） 年份：1990，1991，1992，1993，1994，1995，1996 （2） 某年级各班的学生人数（按班级顺序一、二、三、四、五班排列）45，45，44，46，45 （3）像上面的这些例子，按一定次序排列的一列数就叫做数列.数列中的每一个数都叫做这个数 列的项，其中第 1 个数称为这个数列的第 1 项，第 2 个数称为第 2 项，第 n 个数就称为第 n 项.如数列（3）中，第 1 项是 45，第 2 项也是 45，

14、第 3 项是 44，第 4 项是 46，第 5 项 45。根据数列中项的个数分类，我们把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称为有穷数 列，把项数无限的数列（即有无穷多个项的数列）称为无穷数列，上面的几个例子中，（2）（3）是有穷数列，（1）是无穷数列。研究数列的目的是为了发现其中的内在规律性，以作为解决问题的依据，本讲将从简单数 列出发，来找出数列的规律。【例 1】 观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.2，5，8，11，（），17，20。19，17，15，13，（），9，7。1，3，9，27，（），243。64，32，16，8，（），2。1，1，2，3，5，8

15、，（），21，341，3，4，7，11，18，（），471，3，6，10，（），21，28，36，（）.1，2，6，24，120，（），5040。1，1，3，7，13，（），31。1，3，7，15，31，（），127，255。 1，4，9，16，25，（），49，64。 0，3，8，15，24，（），48，63。 1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）. 2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）. 分析与解答不难发现，从第 2 项开始，每一项减去它前面一项所得的差都等于 3.因此，括号中应填 的数是 14，即：113=14。 同考虑，可以看出，每相邻两项的差是一定值 2.所以，括号中应

16、填 11，即：132=11。不妨把与联系起来继续观察，容易看出：数列中，随项数的增大，每一项的数值也 相应增大，即数列是递增的；数列中，随项数的增大，每一项的值却依次减小，即数列 是递减的.但是除了上述的不同点之外，这两个数列却有一个共同的性质：即相邻两项的差都是 一个定值.我们把类似这样的数列，称为等差数列.1，3，9，27，（），243。此数列中，从相邻两项的差是看不出规律的，但是，从第 2 项开始，每一项都是其前面一 项的 3 倍.即：3=13，9= 33， 27=93.因此，括号中应填 81，即 81= 273，代入后，243 也符合规律，即 243813。64，32，16，8，（），

17、2与类似，本题中，从第 1 项开始，每一项是其后面一项的 2 倍，即：因此，括号中填 4，代入后符合规律。综合考虑，数列是递增的数列，数列是递减的数列，但它们却有一个共同的特 点：每列数中，相邻两项的商都相等.像这样的数列，我们把它称为等比数列。 1， 1， 2， 3， 5， 8，（ ）， 21， 34 首先可以看出，这个数列既不是等差数列，也不是等比数列.现在我们不妨看看相邻项之间是否还有别的关系，可以发现，从第 3 项开始，每一项等于它前面两项的和.即 2=1+1，3=2+1，5=2+3，8=35.因此，括号中应填的数是 13，即 13=5+8， 21=8+13， 34=13+21。这个以

18、 1，1 分别为第 1、第 2 项，以后各项都等于其前两项之和的无穷数列，就是数学上 有名的斐波那契数列，它来源于一个有趣的问题：如果一对成熟的兔子一个月能生一对小兔， 小兔一个月后就长成了大兔子，于是，下一个月也能生一对小兔子，这样下去，假定一切情况 均理想的话，每一对兔子都是一公一母，兔子的数目将按一定的规律迅速增长，按顺序记录每 个月中所有兔子的数目（以对为单位，一月记一次），就得到了一个数列，这个数列就是数列的原型，因此，数列又称为兔子数列，这些在高年级递推方法中我们还要作详细介绍。1， 3， 4， 7， 11， 18，（ ），47 在学习了数列的前提下，数列的规律就显而易了，从第 3

19、 项开始，每一项都等于其前两项的和.因此，括号中应填的是 29，即 29=1118。数列不同于数列的原因是：数列的第 2 项为 3，而数列为 1，数列称为鲁卡斯数列。1，3，6，10，（ ）， 21， 28， 36，（ ）。方法 1：继续考察相邻项之间的关系，可以发现：因此，可以猜想，这个数列的规律为：每一项等于它的项数与其前一项的和，那么，第 5 项为 15，即 15=10+5，最后一项即第 9 项为 45，即 45369.代入验算，正确。方法 2：其实，这一列数有如下的规律： 第 1 项：1=1第 2 项：3=12第 3 项：6=1+2+3第 4 项：10=1+2+3+4 第 5 项：（

20、）第 6 项：21=1+2+3+4+5+6第 7 项：28=1+2+3+4+5+6+7第 8 项；36=1+2+3+4+5+6+7+8 第 9 项：（ ）即这个数列的规律是：每一项都等于从 1 开始，以其项数为最大数的 n 个连续自然数的和. 因此，第 5 项为 15，即：15= 1+ 2+ 3+ 4+ 5； 第 9 项为 45，即：45=1+2+3+4+5+6+7+8+9。1，2，6，24，120，（ ），5040。方法 1：这个数列不同于上面的数列，相邻项相加减后，看不出任何规律.考虑到等比数 列，我们不妨研究相邻项的商，显然：所以，这个数列的规律是：除第 1 项以外的每一项都等于其项数与

21、其前一项的乘积.因此，括号中的数为第 6 项 720，即 720=1206。方法 2：受的影响，可以考虑连续自然数，显然： 第 1 项 1=1第 2 项 2=12第 3 项 6=123第 4 项 24=1234第 5 项 120=12345第 6 项 （ ）第 7 项 5040=1234567 所以，第 6 项应为 123456=7201，1，3，7，13，（ ），31与类似：可以猜想，数列的规律是该项=前项+2（项数-2）（第 1 项除外），那么，括号中应填21，代入验证，符合规律。1，3，7，15，31，（ ），127，255。则：因此，括号中的数应填为 63。 小结：寻找数列的规律，通常

22、从两个方面来考虑：寻找各项与项数间的关系；考虑相邻项之间的关系.然后，再归纳总结出一般的规律。事实上，数列或数列的两种方法，就是分别从以上两个不同的角度来考虑问题的.但有 时候，从两个角度的综合考虑会更有利于问题的解决.因此，仔细观察，认真思考，选择适当的 方法，会使我们的学习更上一层楼。在题中，1=2-13=22-17=23-115=24-131=25-1127=27-1255=28-1所以，括号中为 26-1 即 63。1，4，9，16，25，（ ），49，64.1=11， 4=22， 9=33， 16=44， 25=55，49= 77，64=88，即每项都等于自 身项数与项数的乘积，所以

23、括号中的数是 36。本题各项只与项数有关，如果从相邻项关系来考虑问题，势必要走弯路。 0，3，8，15，24，（ ）， 48， 63。仔细观察，发现数列的每一项加上 1 正好等于数列，因此，本数列的规律是项=项 数项数-1.所以，括号中填 35，即 35=66-1。1， 2， 2， 4， 3， 8，4， 16， 5，（ ）。 前面的方法均不适用于这个数列，在观察的过程中，可以发现，本数列中的某些数是很有规律的，如 1，2，3，4，5，而它们恰好是第 1 项、第 3 项、第 5 项、第 7 项和第 9 项，所以不妨把数列分为奇数项（即第 1，3，5，7，9 项）和偶数项（即第 2，4，6，8 项

24、）来考虑，把数 列按奇数和偶数项重新分组排列如下：奇数项：1，2，3，4，5偶数项：2，4，8，16 可以看出，奇数项构成一等差数列，偶数项构成一等比数列.因此， 括号中的数，即第 10 项应为 32（32=162）。 2， 1， 4， 3， 6， 9， 8， 27， 10，（ ）。同上考虑，把数列分为奇、偶项：偶数项：2，4，6，8，10奇数项：1，3，9，27，（ ）.所以，偶数项为等差数列，奇数项为等比数列，括号中应填81（81=273）。像这样的数列，每个数列中都含有两个系列，这两个系列的规律各不相同，类似 这样的数列，称为双系列数列或双重数列。【例 2】 下面数列的每一项由 3 个数

25、组成的数组表示，它们依次是：（1，3，5），（2，6，10），（3，9，15）问：第 100 个数组内 3 个数的和是多少？ 方法 1：注意观察，发现这些数组的第 1 个分量依次是：1，2，3构成等差数列，所以第100 个数组中的第 1 个数为 100；这些数组的第 2 个分量 3，6，9也构成等差数列，且 3=31，6=32，9=33，所以第 100 个数组中的第 2 个数为 3100=300；同理，第 3 个分量为 5100=500，所以，第 100 个数组内三个数的和为 100+300+500=900。方法 2：因为题目中问的只是和，所以可以不去求组里的三个数而直接求和，考察各组的三 个

26、数之和。第 1 组：1+3+5=9，第 2 组：2+6+10=18第 3 组：3+ 9+ 15= 27，由于 9=91，18= 92，27= 93，所以 9，18，27构成一 等差数列，第 100 项为 9100=900，即第 100 个数组内三个数的和为 900。【例 3】 按下图分割三角形，即：把三角形等分为四个相同的小三角形（如图（b）；把中 的小三角形（尖朝下的除外）都等分为四个更小的三角形（如图（C）继续下去，将会得到 一系列的图，依次把这些图中不重叠的三角形的个数记下来，成为一个数列：1，4，13，40 请你继续按分割的步骤，以便得到数列的前 5 项.然后，仔细观察数列，从中找出规

27、律，并依照 规律得出数列的第 10 项，即第 9 项分割后所得的图中不重叠的小三角形的个数.分析与解答第 4 次分割后的图形如左图：因此，数列的第 5 项为 121。这个数列的规律如下： 第 1 项 1第 2 项 4=1+3第 3 项 13=4+33第 4 项 40=13+333第 5 项 121=40+3333 或者写为：第 1 项 1=1第 2 项 4=1+31第 3 项 13=1332第 4 项 40=133233第 5 项 121=1332+3334因此，第 10 项也即第 9 次分割后得到的不重叠的三角形的个数是 29524。【例 4】 在下面各题的五个数中，选出与其他四个数规律不同

28、的数，并把它划掉，再从括号中选一 个合适的数替换。42，20，18，48，24（21，54，45，10）15，75，60，45，27（50，70，30，9）42，126，168，63，882（27，210，33，25）解：中，42、18、48、24 都是 6 的倍数，只有 20 不是，所以，划掉 20，用 54 代替。 15、 75、 60、 45 都是 15 的整数倍数，而 27 不是，用 30 来替换 27。同上分析，发现这些数中， 42、 126、 128、 882 都是 42 的整数倍，而 63 却不是.因 此，用 210 来代替 63。习题六 按一定的规律在括号中填上适当的数：1.1，2，3，4，5，（ ），72.100，95，90，85，80，（ ），703.1，2，4，8，16，（ ），645.2，1，3，4，7，（ ），18，29，476.1，2，5，10，17，（ ），37，507.1，8，27，64，125，（ ），3438.1，9，2，8，3，（ ），4，6，5，5习题六1. 等差数列，括号处填 6。2.等差数列，括号处填 75。3.等比数列，括号处填 32。5.相邻两项的和等于下一项，括号处填 11。6.后项-前项=前项的项数2-1，括号处填 26。7.立方数列，即每一项等于其项数乘以项数再乘以项数，括号处填 216。8.双重数列，括号处填 7.