总结：
（1）求四面体的体积一般可根据四面体的结构特征，确定高与底面,转化为求三棱锥的体积；图11（4）中的四面体是正四面体（各面都是全等的正三角形）,也可通过割补法求得；定义法、转化法、割补法等是求几何体体积的重要方法.
（2）经计算发现，图11（4）中的正四面体的体积最大，表面积最小，这也是现实中经常要考虑的最优化问题•
探究4:
怎样求图11中的四个四面体的外接球与内切球的半径?
四个四面体的外接球与正方体的外接球相同,其一条直径为正方体的体对
角线,半径
丄心+b+o）=S如图12,可以类比三角形内切圆半径的面积计算思路2
_W_
可计算出四个内切球的半径s.
问题4:
刻画平面的三个基本事实是立体几何公理体系的基石,是研究空间图形、进行逻辑推理的基础•实际上,三个基本事实刻画了平面的"平"、平面的"无限延展"，你能归纳一下刻画的方法吗？
平面的三个基本事实是按照从简单到复杂的）1页序,刻画平面的基本性质.基本事实1是从点与平面关系的角度刻画平面的唯一存在性,基本事实2是从直线与平面关系的角度利用直线的"直"和"无限延伸"的属性刻画了平面的"平"和"无限延展"的属性,基本事实3是从平面与平面关系的角度进一步说明了平面的"平"和"无限延展"的特征：
由于平面是"平的",因而它们才可能交于—条直线，否则交线就不是"直"的，而是"曲"的了，例如圆柱的侧面和底面的交线就是一条曲线；另外，两个平面相交于一条直线，直线是"无限延伸"的,也说明平面的交点有无数个,平面是"无限延展"的•
空间直线与直线，直线与平面，平面与平面之间的位置关系是从生活世界中找到模型,再根据公共点的个数、是否共面等进行逻辑分类建立起来的•
例5（复习参考题8第5题）三个平面可将空间分成几部分?
请分情况说明•
探究1:
—个平面将空间分成两个部分,两个平面有几种位置关系？
它们将空间分成几部分?
图13
（1）中cxPp,它们将空间分成三部分；图13
（2）中alp=a,它们将
空间分成四部分•
图13*
探究2:
在图13中再增加一个平面，这三个平面可能产生哪些位置关系？
每种位置关系可将空间分成几部分?
可能出现五种不同的位置关系如图14三个不同的平面c（,p/Y直线a,b,c,l.
<1）如E14<1）,aP卩卩Y，将空间分成四个部分j卩
（2）如114
（2）,aF0：
丫\c（=亿卩1p=b,可推出aPb.将空间分成六个削分鲜<3）如图14（3）,al0=01/=/1a=l,将空间分成六个部分,心
<4）如图14<4）>alJ3=c,p\y-a^y\a=b,albIc=O将空间分成八个部分；*■
<5）如图14（5）,al0=c；0I丫二a=b,aPbPc,将空间分成七个部分.♦探究3：
已知三个不同的平面足0/两两相交，设QI0=直线C,01V二直线0,/Ia=直线试问亿方工有怎样的位墨关系？
说明理由并画出相应图形.（复习参考题S第&题改编）屮
解析：
Qal0=直线c,/?
1了二直线0,二au0；cu0.*■
r.ci^c重合，或相交，或平行.d
1当口与u重合时'则由&I0=直线c,01了=直线a知aua-duy.得aly=ay又yl理=直线5,故d与b重合，即平面70』相交于同一条直线.卩
2当a与u相交时，设辺1e=点O；由◎【戸=直线01丫=直线。
知Oecu儿Owcucz：
故Owylcz=直线5=又5与d不重合（否则由①知亿方工重合，与al（7=0矛盾），所以a.b.c相交于点O.*
3当aPc时，由aI0=直线G知cua5由/?
Iy=直线a?
知a（否则，若aua,则alp=ci,从而a^c重合,产生矛盾）；所^aPct,又因为yla=b,cuy,所以即ailbflc.亠
综上所述知：
a.bx重合或相交于一点或互相平行〈如團14（3）（4）（5”•屮
探究4：
刃个不同平面将空间最少或最多分成多少个部分？
（有沢趣的同学课后研究）.屮例6在正方体虫ECD-&BGP中,三条所在直线两两异面目两两垂直，我们称为“三异面直线组”.亠
探究1：
试找出所有的"三异面直线组".“异面直线组”能否含四条或以上的棱？
心
心^BC.Cp3A^.CDBG;BBl,CD.AiDl5BBrCiDi.AD♦
Cq.AD.4E];CQ.A[Di.AB;DDl.ALBi.BC;DD^AB.BlC1.
将12条分成三个共面组，侧棱组4条，上底面棱组4条，下底面棱组4条，若"异面直线组”含四条或以上的棱,则至少有两条棱在同一组,这样两条棱便共面,这与"异面直线组"的定义矛盾，故"异面直线组"最多有三条棱•
探究2;能否有一条直线与“三异面直线组”马.BCGU的三条直线均相交？
若不存在，则说明理由；若存在，则遠祥的直线有多少条？
心
存在无数条直线与“三异面直线组”的三条直线均相交.
在直线步上任取不同于点虫・4的—点尸（如图16儿则P在直线BC.CP外'P与
直线BC确定一个平面a；P与直线GP确定一个平面“，a与0不同.心
E16+，
由Peal0,知al0=直线儿且Pwl；/与直线心・FC・C]Q]不同，/I羽=卩*
/与3C在平面"内，假设1PBC,见1Z在平面ADD^内，且IPIPADf
从而/与C]P异面，这;确定平面矛盾，故12BC相交于一点.卩
同理7与C]P也相交于一点.*
所以.直线7与A^.BC.QD^均相交，由于卩是直线乂4上不同于点4坷的任意一点，因此这样的直线有无数多条•。
问题5:
在直线、平面的位置关系中，"平行"和"垂直"是最重要的•
（1）在研究这些位置关系的判定时,我们采用了哪些思想方法？
以直线与
平面垂直为例，总结一下研究判定的内容、过程和方法•
（2）研究这些位置关系的性质,实际上就是要硏究什么问题？
以两个平面相互垂直为例，总结一下研究性质的内容、过程和方法•
研究"什么是空间直线、平面的垂直?
“以及"空间直线、平面垂直时其要
素（直线、平面）有什么确定不变关系"；确立研究空间直线、平面垂直的内容
（判定与性质）与路径：
"化繁为简""以简驭繁""空间问题平面化"是空间元素位置关系的一般思路我们利用直线与直线的垂直硏究直线与平面的垂直沐」用直线与直线垂直、直线与平面垂直研究平面与平面垂直.反过来,由直线与平面垂直又可以得至I」直线与直线垂直,由平面与平面垂直又可以得到直线与直线、直线与平面垂直.
例7（复习参考题8第12题）在正方体ABCD_&EGDl中'求证：
十
（1）B、D丄平面A[3Cl;4
（2）BQ与平面ABC.的交点E是的重心.心
证明：
（1）在正方ABCD—中'连接B\D“丄/】Ci・亠
因为QQ1丄平面AiBiCiDi,占C\U平面AiBiCiDi,所次Q6丄如Ci.心因为DDlu平面D\D叽BQu平面DiDBx,DD、IBQ=D「所次一4iC】丄平面DiDBi.心
因为耳Du平面DtDB：
所以丄BiD.J
同理可证BiDlAiB.“
因为舛qu平面4疗G，占〃u平面时Bq,4G1AiB=4^所咲场Q丄平面ABC,.心
<2）连接虫BH,6H,由；得4\H=BH=6H,因此点旧为SB6
的外心.又AAiBCi为正三角形丿所以刃是5B6的中心，也即心3。
的重心.Q
探究1：
说明愀点H的过程.点H在线段D耳的什么位蚩？
卍
设耳DJ4C】=a点尸为线段的坏q中点，且殛訣*>胡4。
=肿4在矩形BEQD中，BPIB{D=H•心
由NDHB,且B}P=-BDB}H=-B}D・a
112131
我们还可以证得珥畑丘题坷Bq,线段被平面ACD^平面时Bq三等分，如團，即DG=GH=HbJb、D.4
131
E1%
探究2：
直线D坊与直线B'B.BG.Bi4所成的倉址相等，其正弦值为也.过正方
3
体ABCD-^C^的中心O可以作几条直线与所有陵所在直线成等角？
（四条，体对角线所在直线）屮
@20心
探究3：
过正方体ABCD_4耳5的中心O作平面a、使得坊D丄a、试画出平面a裁正方体的截面，并指出该截面的形状与大小.卩
可根据qH平面九EC、画出截面，它经过相应棱的中点.该截面是正六边形（如园21〉，亘周长为畑,面积为迢孑,其中。
为正方俸的棱长.心
4
还可推得平面氏将正方体等分，平面©与正方体各面所成的锐二面角大小相等，其正切值为血•J
小结:
正方体（或长方体）是重要的几何体模型，我们要深入硏究正方体模型,对它进行变形，构建出新的模型,探求各种空间位置关系或几何模型与正方体之间的联系,彰显正方体的"母体"地位•
课后作业:
1.已知直线/与平面Q,则＜）•
A.存在直线加uh使得mPl心B.存在直线皿ua.使得m与/异面C.存在平面/3Pa,使得aD-存在平面0丄久使得Zu0p
2.教材第171页复习参考题8第15题.3・教材第171页复习参考题8第16题.
4•棱长均为1m的正三棱柱透明容器盛有a水，当侧面AA.B.B水平放蚩时，液面与水平面的距离为力m（如图1〉,当转动容器至面A^C7|＜平放蚤时，盛水恰好充満三棱^A-AtBC（如图2力则=、h=・r
5.教材第170页复习参考题8M10题.
6.教材第170页复习参考题8M11题.
7.教材第171页复习参考题8M13题.
8.教材第171页复习参考题8M14题.
六、目标检测设计
（时间：
90分，满分：
100分）
一、选择题：
本大题共8小题，每小题4分，共32分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列说法错误的是（）.
（A）—个八棱柱有10个面
（B）任意n面体都可以分割成n个棱锥
（C）棱台侧棱的延长线必相交于一点
（D）矩形旋转一周一定形成一个圆柱
2.给出下列4个命题：
①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一平面的两条直线平行；
③平行于同一直线的两个平面平行；④平行于同一平面的两个平面平行•
其中正确的命题是（）•
（A）①②（B）③④（C）①④（D）②③
3•给出下列4个命题：
①垂直于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一平面的两条直线平行；
③垂直于同一直线的两个平面平行；④垂直于同一平面的两个平面平行.
其中正确的命题是（）•
（A）①②（B）③④（C）①④（D）②③
4
.三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为，则这个三棱锥的体积是（）.
5•如图，圆柱OO'中，44’是侧面的母线,AB是底面的直径，C是底面圆上一点，则（>.
（A）BC丄平面AAC^
（B）BCL平面
（C）丄平面A'BC^
（D）力C丄平面AUBa
6・长方体的一条对角线与它一个顶点处的三个面所成的角分别対®，则（〉・
7-两条异面直线与同一平面所成的角，不可能是〈
•••
8・在空间中,若ZAOB=ZBOC=ZCOA=m,直线OA与平面C込C所成的角为6,则COS&=（）•卩
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在对应
题号的位置上.
9.正方体相邻两个面的两条对角线所成角的大小是.
10.长方体的所有顶点都在一个球面上,长、宽、高分别为3,2,1，那么
这个球面的面积是•
11.正三棱锥的底面边长为2,侧棱长为3,则它的体积为.
12.三棱台ABC-AiBiCx中，底面.疝C为等腰直角三角形，ZC=90°,侧面ABBiAi
是等腰梯形且与底面垂直'AB=3也1=Ji,设二面角Ax-AC-B的大小为
则tan&二.心
13•已知矩形ABCD,AB二2,AD二1,沿BD将MBD折起成△•若点A'
在平面BCD上的射影落在^BCD的内部贝I」四面体的体积的取值范围是•
14•空间的4个平面,最多能将空间分成个区域•
三、解答题：
本大题共4小题，共38分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15•（本题满分8分）
画图，并证明：
若m//a,n丄a,则m丄n.
16.（本题满分10分）
如團，长方体ABCD-AiBiCiDi中丿AB=2,BC=CCi=l.4
（1）求直线CCi与平面£DDiBi的距离；Q
17・（本题满分10分）
如图,正四棱锥P-ABCD中,已知侧棱和底面边长都等于2,E是AB的中
点・
（1）求证：
ABli平面PCD.
（2）求异面直线PE与BC所成角的余弦值.
（第H题）4
18.（本题满分10分）划
如图，在三棱柱ABC-A^Ci中，Z5JC=90%AB-AC-2,小在底面43C
的射影为BC的中点，Q为血Cl的中点.
（1）求证：
丄山丄平面X0C,屮
（2）求直线如与平面BCCiBi所成角的正弦值.4
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