立体几何初步复习课.docx

1、立体几何初步复习课立体几何初步复习课一、内容和内容解析1内容人教版普通高中教科书数学必修第二册第167页至第171页第八章立体几 何初步小结及复习参考题8 .重点是通过分析常见几何图形及典型问题,梳理立 体几何初步的核心概念、定理等内容与思想方法.本章知识结构如下框图：2内容解析本童包括两部分内容，第一部分是认识基本立体图形：包括从空间几何体的整体观察入手,通过认识柱、锥、台、球等基本立体图形的组成元素及其相互关 系，认识这些图形的几何结构特征，以及它们在平面上的直观图表示和它们的表 面积和体积的计算第二部分是认识基本图形位置关系:主要是讨论组成立体图形的几何元素之 间的位置关系从组成立体图形

2、的基本元素点、直线、平面出发，硏究平面 基本性质，认识空间点、直线、平面的位置关系，重点研究直线、平面之间的平 行和垂直这两种特殊的位置关系.因此本节课的教学重点是通过分析常见几何图形及典型问题，梳理立体几何 初步的核心概念、定理等内容与思想方法,从而构建立体几何的核心体系难点 是分析组合体的结构特征以及运用有关定理推理证明一些几何元素间的位置关 系二目W1目标解析1 目标（1）在回顾与思考本章的主要内容的基础上，引导学生梳理立体几何的核 心概念、定理等内容与思想方法,构建立体几何的核心体系,体会研究空间图形 的基本思路：直观感知、操作确认、推理论证、度量计算（2 ）借助分析典型问题的通性通法

3、，通过图（识图、画图、用图）提 升学生直观想象素养，通过写（图形、文字、符号三种语言）培养学生逻辑 推理能力,通过悟（直观感知、操作确认）发展学生数学抽象水平2.目标解析(1)通过问题的形式回顾主要内容,并不是简单的重复,而是深入思考、 归纳概括、建立知识结构,形成研究空间图形的基本方法(2)借助正方体等常见几何体模型,设计一些综合性较强的问题让学生自 主探究,建立一套解决复杂问题的处理模式三、 教学问题诊断分析学生虽然学完了立体几何初步的内容/旦对几何图形的认识基本上停留在碎 片化的就题论题的表层水平,对空间元素位置关系的研究不深入,需要在一两节 复习课上以师生相互交流的方式更深入地认识立体

4、几何.四、 教学支持条件分析观察和展示现实生活中的实例与图片,几何画板的画图软件，投影仪等.五、 教学过程设计问题1 :我们是从哪些角度入手研究基本几何体的结构特征的？你能用基本 几何体的结构特征解释身边物体的结构吗？请举例说明我们从对空间几何体(实物、模型、图片等)的整体观察入手，认识多面体、 旋转体以及一些基本几何体(棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球)的结 构特征，研究这些几何体的组成元素及其相互关系例1请你从多面体角度去考察棱柱、棱锥、棱台，填写下列表格其中ncK.n3. 并说说这样埴写的理由；你发现了件么规律吗2多面体顶点数X面数幵V+F-E=n棱拄4-Pp“棱齢-Ppn棱台aP

5、p师生共同总结:(1) n : F=n+l,E=2n,V=n+l,V+F-E=2n 棱柱与 n 棱台:F=n+2,E=3nfV=2n,V+F-E=2n棱锥的本质特征：有一个面是n边形,其余各面是有一个公共顶点的三角 形.n棱柱的本质特征:有两个面(均为n边形)相互平行,其余各面是每相邻 两个面的公共边互相平行的四边形面.n棱台是用一个平行于n棱锥底面的平面去截棱锥，所得的底面与截面之间 的部分.当n棱柱的一个底面均匀缩小变为面积较小的相似底面时，变成n棱 台；继续均匀缩小成一个点时，便变成n棱锥.(2) V+F-E二2这个规律是欧拉拓扑公式：V+F-E二2具中V,F,E分别是简单多面体的顶点

6、个数、面数、棱的条数例2中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多 为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是半正多 面体(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,半正多面体体现了数学的对称美图2 是图1 半正多面体的直观图.(1)请你数一数该几何体的面数F ,棱数E ,顶点数V ,是否有例1的规律？(2)请你说说是怎样数出来的？说说该半正多面体的结构特征. (2)该半正多面体可看成一个组合体,从上而下看,最上层与最下层是 两个全等的多面体(如图3 ,图5 )，图3多面体的下底面是正八边形,上底面

7、是正方形,且下底面与上底面平行,侧面有四个正方形,四个正三角形；中间是 正八棱柱(如图4).从上下、左右、前后三个方向看，该半正多面体都具有相同的结构,体现 了数学的对称美,也展示了南d潮时期的审美观与几何文化.问题2 :利用斜二测画法可以画出空间几何体的直观图你能结合实例说出 用斜二测画法画空间几何体的直观图的基本步骤吗？斜二测画法画空间几何体的直观图，是用平面图形表示空间图形的重要方法, 我们能够根据直观图想象空间几何体的形状和结构简单说，斜二测画法的规则 是：横竖不变，纵减半，平行性不变.我们可以例1中的正八棱柱为例,具体展示用斜二测画法画空间几何体的 直观图的基本步骤（如图6）.问题3

8、 :对于空间几何体,可以有不同的分类,你能选择不同的分类标准对 柱、锥、台、球等空间几何体进行分类吗？如何计算柱、锥、台、球的表面积和 体积？你能说出柱、锥、台、球的体积公式之间的联系吗？空间几何体按照围成它的各个面的特征（平面还是曲面）分类,可以得到多 面体、旋转体.进一步地,按照组成多面体和旋转体的面、棱、顶点等组成要素 的特征及其位置关系分类,又可以得到棱柱、棱锥、棱台等基本的多面体以及圆 柱、圆锥、圆台、球等基本的旋转体棱柱、棱锥和棱台的表面积就是组成它们的各个面的面积和,圆柱、圆锥、圆台的侧面与表面积可以通过侧面展开为平面图形来处理用运动变化的观点研究棱柱、棱锥和棱台的体积公式之间的

9、关系：例3如图7, HACB中，CA=CB = RO;CA丄CS 直线/经过点昭且IP BC , 设zc万绕/旋转一周得到的几何体的体积与表面积分别为.S；如图8,面OEF杲圆面 。的四分之一，。为圆心，OE , OF为半径，OE = OF = R：OE丄。尸：设面OEF绕直 线OF旋转一周得到的几何体的体积与表面积分别为KS则（ 卩A. vx=vsx=sB V=V.“S 丰分析：考虑旋转后得到怎样的几何体.解析：图7旋转后形成的几何体是底面圆半径与高均为的圆柱挖去一个圆锥后的几何体,该圆锥的顶点为圆柱下底的圆心,底面与圆柱上底面重合（如图9中的右图所示）. = nR3-R3=R3,Sy= （

10、Jtf?2 +2712?2）十兀逅H = G十逅）虽*图$旋转后形成的几何体是半径为R的半球体（如图9中的左图所示）.a7. = , S2 = 2tlR2-tiR2 = 3nR2. $才选EdS 9P为什么这两个几何体的体积相等呢？课后同学们可上网查阅祖眶原理进 行更多的了解例4如图10,正方体ABCD-C.D,的棱长为d-探究1 :问以该正方体的顶点为顶点的四面体有几种（全等的算一种）?比 较这些四面体的结构特征.展示同学们的作业,同时交流思路四面体的四个顶点不可能在正方体的同一个面上,应该分布在正方体的上、下两个面上，以在下底面的顶点为标准分类考虑归纳总结有以下四种（如图11）:图12探究

11、2 :是否存在四个面都是直角三角形的四面体? 11(2)中的四面C的四个面都是直角三角形.其中占貝丄平面曲C, EC丄 平面卩探究3：園11中的四个四面体的表面积、体积分别相等吗？氮蘇凰11(4)中的四面 体的体积？屮经计算得：QS严/込二(的+10.屯二2十弩十孔Sq二剧 J 21 . 1 、P；=K=K=-6fP；=- j SWm; JZ=J/=JZ V总结：(1)求四面体的体积一般可根据四面体的结构特征，确定高与底面, 转化为求三棱锥的体积；图11 ( 4 )中的四面体是正四面体(各面都是全等的正 三角形),也可通过割补法求得；定义法、转化法、割补法等是求几何体体积的 重要方法.(2 )

12、经计算发现，图11 ( 4 )中的正四面体的体积最大，表面积最小，这 也是现实中经常要考虑的最优化问题探究4 :怎样求图11中的四个四面体的外接球与内切球的半径?四个四面体的外接球与正方体的外接球相同,其一条直径为正方体的体对角线,半径丄心+b + o) =S 如图12 ,可以类比三角形内切圆半径的面积计算思路2_W_可计算出四个内切球的半径 s .问题4 :刻画平面的三个基本事实是立体几何公理体系的基石,是研究空间 图形、进行逻辑推理的基础实际上,三个基本事实刻画了平面的平、平面 的无限延展，你能归纳一下刻画的方法吗？平面的三个基本事实是按照从简单到复杂的)1页序,刻画平面的基本性质.基 本

13、事实1是从点与平面关系的角度刻画平面的唯一存在性,基本事实2是从直 线与平面关系的角度利用直线的直和无限延伸的属性刻画了平面的平 和无限延展的属性,基本事实3是从平面与平面关系的角度进一步说明了平 面的平和无限延展的特征：由于平面是平的,因而它们才可能交于 条直线，否则交线就不是直的，而是曲的了，例如圆柱的侧面和底面 的交线就是一条曲线；另外，两个平面相交于一条直线，直线是无限延伸的, 也说明平面的交点有无数个,平面是无限延展的空间直线与直线，直线与平面，平面与平面之间的位置关系是从生活世界中 找到模型,再根据公共点的个数、是否共面等进行逻辑分类建立起来的例5 (复习参考题8第5题)三个平面可

14、将空间分成几部分?请分情况说 明探究1 :个平面将空间分成两个部分,两个平面有几种位置关系？它们将 空间分成几部分?图13(1)中cxPp ,它们将空间分成三部分；图13 ( 2 )中alp=a ,它们将空间分成四部分图13*探究2 :在图13中再增加一个平面，这三个平面可能产生哪些位置关系？ 每种位置关系可将空间分成几部分?可能出现五种不同的位置关系如图14三个不同的平面c( ,p /Y直线a,b,c,l .1)如E 14 1), aP卩卩Y，将空间分成四个部分j卩(2)如1 14 (2), aF 0：丫 c(=亿卩1 p = b,可推出aP b.将空间分成六个削分鲜 3)如图14 (3),

15、 al 0 = 01 / = /1 a = l,将空间分成六个部分,心4)如图 14 al J3= c,p y- ay a = b,al b I c = O 将空间分成八个 部分；*5)如图14(5), al 0 = c；0I 丫二a=b, aP bP c ,将空间分成七个部分. 探究3：已知三个不同的平面足0/两两相交，设QI 0 =直线C, 01 V二直线0, /I a =直线试问亿方工有怎样的位墨关系？说明理由并画出相应图形.(复习参考题S 第&题改编)屮解析：Qal 0 =直线c, /?1 了 二直线 0,二 au0；cu0 . *r.cic重合，或相交，或平行.d1当口与u重合时则由

16、&I 0 =直线c , 01 了 =直线a知aua-duy.得al y = a y 又yl理=直线5,故d与b重合，即平面70相交于同一条直线.卩2当a与u相交时，设辺1 e =点O；由【戸=直线01 丫 =直线。知Oecu儿 Owcucz：故Owyl cz =直线5=又5与d不重合(否则由知亿方工重合，与al(7=0矛 盾)，所以a.b.c相交于点O. *3当aP c时，由a I 0=直线G知cu a 5由/?I y =直线a?知a （否则， 若aua,则al p= ci,从而ac重合,产生矛盾）；所aP ct ,又因为yl a=b , cuy,所以 即 a il b fl c.亠综上所述知

17、：a.bx重合或相交于一点或互相平行如團14（3）（4）（5” 屮探究4：刃个不同平面将空间最少或最多分成多少个部分？（有沢趣的同学课后研究）.屮 例6在正方体虫ECD-&BGP中,三条所在直线两两异面目两两 垂直，我们称为“三异面直线组”.亠探究1：试找出所有的三异面直线组.“异面直线组”能否含四条或以上的棱？心心BC.Cp 3 A.CDBG ; BBl,CD.AiDl 5 BBrCiDi.AD Cq.AD.4E ; CQ.ADi.AB ; DDl.ALBi.BC ; DDAB.BlC1 .将12条分成三个共面组，侧棱组4条，上底面棱组4条，下底面棱组4条， 若异面直线组”含四条或以上的棱,

18、则至少有两条棱在同一组,这样两条棱便 共面,这与异面直线组的定义矛盾，故异面直线组最多有三条棱探究2;能否有一条直线与“三异面直线组”马.BCGU的三条直线均相交？若不 存在，则说明理由；若存在，则遠祥的直线有多少条？心存在无数条直线与“三异面直线组” 的三条直线均相交.在直线步上任取不同于点虫4的点尸(如图16儿则P在直线BC.CP外P与直线BC确定一个平面a； P与直线GP确定一个平面“，a与0不同.心E 16+，由Peal 0,知al 0 =直线儿且Pwl ； /与直线心FCCQ不同，/I羽=卩*/与3C在平面内，假设1PBC ,见1Z在平面ADD内，且IP IP AD f从而/与CP异

19、面，这;确定平面矛盾，故12 BC相交于一点.卩同理7与CP也相交于一点.*所以.直线7与A.BC.QD均相交，由于卩是直线乂4上不同于点4坷的任意一点， 因此这样的直线有无数多条。问题5 :在直线、平面的位置关系中，平行和垂直是最重要的(1)在研究这些位置关系的判定时,我们采用了哪些思想方法？以直线与平面垂直为例，总结一下研究判定的内容、过程和方法(2)研究这些位置关系的性质,实际上就是要硏究什么问题？以两个平面 相互垂直为例，总结一下研究性质的内容、过程和方法研究什么是空间直线、平面的垂直? “以及空间直线、平面垂直时其要素（直线、平面）有什么确定不变关系；确立研究空间直线、平面垂直的内容

20、（判定与性质）与路径：化繁为简以简驭繁空间问题平面化是空间元素位置关系的一般 思路我们利用直线与直线的垂直硏究直线与平面的垂直沐用直线与直线垂直、 直线与平面垂直研究平面与平面垂直.反过来,由直线与平面垂直又可以得至I直 线与直线垂直,由平面与平面垂直又可以得到直线与直线、直线与平面垂直.例7 (复习参考题8第12题)在正方体ABCD_&EGDl中求证：十(1)B、D 丄平面 A3Cl; 4(2)BQ与平面ABC.的交点E是的重心.心证明：(1)在正方ABCD 中连接BD“ 丄/】Ci亠因为QQ1丄平面AiBiCiDi,占CU平面AiBiCiDi,所次Q6丄如Ci.心 因为 DDl u 平面

21、DD叽 BQ u 平面 DiDBx, DD、I BQ = D 所次一4iC】丄平面DiDBi.心因为耳Du平面DtDB：,所以丄BiD. J同理可证BiDlAiB . “因为舛qu平面4疗G，占u平面时Bq, 4G1 AiB =4 所咲场Q丄平面ABC,.心胡4。=肿4 在矩形BEQD中，BPI BD = H 心由 NDHB,且 BP = -BD BH = -BD a11 2 1 3 1我们还可以证得珥畑丘题坷Bq ,线段被平面ACD平面时Bq三等 分，如團，即DG = GH = HbJb、D . 41 3 1E 1%探究2：直线D坊与直线BB.BG.Bi 4所成的倉址相等，其正弦值为也.过正

22、方3体ABCD-C的中心O可以作几条直线与所有陵所在直线成等角？（四条，体对角 线所在直线）屮 20心探究3：过正方体ABCD_ 4耳5的中心O作平面a、使得坊D丄a、试画出平面 a裁正方体的截面，并指出该截面的形状与大小.卩可根据q H平面九EC、画出截面，它经过相应棱的中点.该截面是正六边形（如园21， 亘周长为畑,面积为 迢孑,其中。为正方俸的棱长.心4还可推得平面氏将正方体等分，平面与正方体各面所成的锐二面角大小相等，其正 切值为血 J小结:正方体（或长方体）是重要的几何体模型，我们要深入硏究正方体模 型,对它进行变形，构建出新的模型,探求各种空间位置关系或几何模型与正方 体之间的联系

23、,彰显正方体的母体地位课后作业:1 .已知直线/与平面Q ,则 ）A.存在直线加uh使得mPl心 B .存在直线皿u a.使得m与/异面 C.存在平面/3Pa ,使得a D-存在平面0丄久使得Zu0 p2.教材第171页复习参考题8第15题. 3教材第171页复习参考题8第16题.4 棱长均为1 m的正三棱柱透明容器盛有a 水，当侧面AA.B.B水平放蚩时，液面 与水平面的距离为力m （如图1,当转动容器至面AC 7|平放蚤时，盛水恰好充満三棱 A-AtBC （如图 2力则 =、 h= r5 .教材第170页复习参考题8M10题.6 .教材第170页复习参考题8M11题.7.教材第171页复习

24、参考题8M13题.8.教材第171页复习参考题8M14题.六、目标检测设计（时间：90分，满分：100分）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列说法错误的是（）.（A） 个八棱柱有10个面（B） 任意n面体都可以分割成n个棱锥（C） 棱台侧棱的延长线必相交于一点（D） 矩形旋转一周一定形成一个圆柱2.给出下列4个命题：平行于同一直线的两条直线平行；平行于同一平面的两条直线平行；平行于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行其中正确的命题是（）（A ）（B ）（C ）（D ）3给出下列4个命题：垂直于同一直线的两

25、条直线平行；垂直于同一平面的两条直线平行；垂直于同一直线的两个平面平行；垂直于同一平面的两个平面平行.其中正确的命题是（）（A ）（B ）（C ）（D ）4.三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为，则这个三棱锥的体积是（）.5如图，圆柱OO中，44是侧面的母线,AB是底面的直径，C是底面圆上一点， 则（ .（A） BC丄平面AAC（B） BCL平面（C） 丄平面ABC（D） 力C丄平面AUBa6长方体的一条对角线与它一个顶点处的三个面所成的角分别対 ，则（ 7-两条异面直线与同一平面所成的角，不可能是 8在空间中,若ZAOB=ZBOC=ZCOA=m ,直线OA与平面C込C所成的角为6 , 则

26、COS& = （ ） 卩二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在对应题号的位置上.9.正方体相邻两个面的两条对角线所成角的大小是 .10 .长方体的所有顶点都在一个球面上,长、宽、高分别为3,2,1，那么这个球面的面积是 11.正三棱锥的底面边长为2 ,侧棱长为3 ,则它的体积为 .12.三棱台ABC-AiBiCx中，底面.疝C为等腰直角三角形，ZC=90 ,侧面ABBiAi是等腰梯形且与底面垂直AB = 3 也1= Ji,设二面角Ax-AC-B的大小为则 tan & 二 .心13已知矩形ABCD , AB二2 , AD二1 ,沿BD将MBD折起成若点A在平面BCD上的射

27、影落在BCD的内部贝I四面体的体积的取值范围是 14空间的4个平面,最多能将空间分成 个区域三、解答题：本大题共4小题，共38分解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤.15（本题满分8分）画图，并证明：若m/a , n丄a ,则m丄n .16.（本题满分10分）如團，长方体 ABCD-AiBiCiDi 中丿 AB = 2, BC=CCi = l . 4 (1 )求直线CCi与平面DDiBi的距离；Q17（本题满分10分）如图,正四棱锥P-ABCD中,已知侧棱和底面边长都等于2 , E是AB的中点（1）求证：ABli平面PCD.（2 ）求异面直线PE与BC所成角的余弦值.（第H题）418.（本题满分10分）划如图，在三棱柱 ABC-ACi 中，Z5JC= 90% AB-AC-2, 小在底面 43C的射影为BC的中点，Q为血Cl的中点.（1） 求证：丄山丄平面X0C,屮（2） 求直线如与平面BCCiBi所成角的正弦值.4