二次函数yax2+bx+c的图像与性质.docx
《二次函数yax2+bx+c的图像与性质.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二次函数yax2+bx+c的图像与性质.docx（38页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
二次函数yax2+bx+c的图像与性质
二次函数yax2bxc的图象
【教学目标】
1、会用描点法画出二次函数
、
与
的图象；
2、能结合图象确定抛物线
、
、
的对称轴与顶点
坐标；
通过比较抛物线
与
同
的相互关系，培养观察、
3、
分析、总结的能力;
【教学重点】
画出形如
、
与形如
的二次函数的图象，能
指出上述函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标.
【教学难点】
理解函数
、
、
与
及其图象间的
相互关系
【知识点梳理】
知识点一、二次函数的定义：
形如y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的函数称为二次函数
（quadraticfuncion）.
其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.
知识点二、二次函数的图象及画法
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是对称轴平行于
y轴（或是y轴本身）的抛物线.几个
不同的二次函数.如果二次项系数
a相同，那么其图象的开口方向、形状完全相同，只是顶
点的位臵不同.
1.用描点法画图象
首先确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后在对称轴两侧，以顶点为中心，
左右对称地画图.画结构图时应抓住以下几点：
对称轴、顶点、与x轴的交点、与y轴的交
点.
2.用平移法画图象
由于a相同的抛物线y=ax2+bx+c的开口及形状完全相同，故可将抛物线y=ax2的图象平
移得到a值相同的其它形式的二次函数的图象.步骤为：
利用配方法或公式法将二次函数化
为y=a（x-h）2+k的形式，确定其顶点（h，k），然后做出二次函数y=ax2的图象.将抛物线y=ax2
平移，使其顶点平移到（h，k）.
知识点三、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质
1.函数y=ax2（a≠0）的图象与性质：
a的符
对称
函数
图象
开口方向
顶点坐标
增减性
最大（小）值
号
轴
x>0时，y随x
当x=0时，
y=ax2
增大而增大
y最小=0
a>0
向上
（0，0）
y轴
x<0时，y随x增
大而减小
x>0时，y随x
当x=0时，
y=ax2
增大而减小
y最大=0
a<0
向下
（0，0）
y轴
x<0时，y随x增
大而增大
2.函数y=ax2+c（a≠0）的图象及其性质:
（1）
当a>0时，开口方向、对称轴、增减性与
y=ax2相同，不同的是顶点坐标为
（0，c），
当x=0时，y最小=c
（2）
当a<0时，开口方向、对称轴、增减性与
y=ax2相同，不同的是顶点坐标为
（0，c），
当x=0时，y最大=c
3.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质：
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条抛物线.它的顶点坐标是，
对称轴是直线
函
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
数
a>0a<0
图
象
（1）当a>0时，抛物线开口向上，并向上无限
（1）当a<0时，抛物线开口向下，并向下无限延
延伸，顶点
是它的最低点
.
性
伸，顶点
是它的最高点
.
质
（2）在对称轴直线
的左侧，抛物线自左
（2）在对称轴直线
的左侧，抛物线自左
向右下降，在对称轴的右侧，抛物线自左向右上
向右上升；在对称轴右侧，抛物线自左向右下降.
升.
知识点四、抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c的作用
a，b，c的代数式
作用
字母的符号
图象的特征
a
1.决定抛物线的开口方向；
a>0
开口向上
2.
决定增减性
a<0
开口向下
c>0
交点在x轴上方
决定抛物线与
y轴交点的位臵，
c
c=0
抛物线过原点
交点坐标为（0，c）
c<0
交点在x轴下方
决定对称轴的位
ab>0
对称轴在y轴左侧
臵，对称轴是直线
ab<0
对称轴在y轴右侧
b2-4ac>0
抛物线与x轴有两个交点
b2-4ac
决定抛物线与
x轴公共点的个数
b2-4ac=0
顶点在x轴上
b2-4ac<0
抛物线与x轴无公共点
【典型例题】
题型一：
yax2k的图象和性质
例1、一条抛物线的开口方向、对称轴与y1x2相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点
2
（1，1），求这条抛物线的函数关系式．
例2、在同一平面直角坐标系画出函数
、
、
的图象.
由图象思考下列问题：
（1）抛物线
的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？
（2）抛物线
的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？
（3）抛物线
，
与
的开口方向，对称轴，顶点坐标有何
异同？
（4）抛物线
与
同
有什么关系？
例3、已知二次函数y8x2（k1）xk7，当k为何值时，此二次函数以y轴为对称
轴？
写出其函数关系式．
变式训练：
1、已知函数y
1x2
，
y
1x2
3，y
1x2
2．
3
3
3
（1）分别画出它们的图象；
（2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（3）试说出函数y
1x2
5
的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．
3
2、不画图象，说出函数y
1
x2
3的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函
1
4
数y
x2通过怎样的平移得到的．
4
3、若二次函数y
ax2
2的图象经过点（-2，10），求a的值．这个函数有最大还是最小
值？
是多少？
题型二：
ya（xh）2的图象和性质
例1、不画出图象，你能说明抛物线y3x2与y3（x2）2之间的关系吗?
例2、已知函数y
1x2
，y
1（x1）2
，y
1（x1）2
．
2
2
2
（1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；
（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）分别讨论各个函数的性质．
例3、根据上题的结果，试说明：
分别通过怎样的平移，可以由抛物线
y
1x2得到抛物
2
线y
1（x1）2和y
1（x1）2？
2
2
变式训练：
1、函数y3（x1）2，当x时，函数值y随x的增大而减小．当x时，函数取得
最值，最值y=．
2、不画出图象，请你说明抛物线y5x2与y5（x4）2之间的关系．
3、将抛物线yax2向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为-2，且新抛物线经过点（1，
3），求a的值．
题型三：
ya（xh）2+k的图象和性质
例1、把抛物线
yx2
bxc向上平移2个单位，再向左平移
4个单位，得到抛物线y
x2，
求b、c
的值．
例2、把抛物线y
3x2
向左平移
3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数
2
关系式为
．
例3、在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
y3x2，y
3（x
2）2，y
3（x2）2
1，并指出它们的开口方向、对称轴和
顶点坐标．
变式训练：
1、抛物线y
12x
1x2可由抛物线y
1x2向
平移
个单位，再向
平
2
2
移
个单位而得到．
2、将抛物线yx2
2x
5先向下平移
1个单位，再向左平移
4个单位，求平移后的抛
物线的函数关系式．
3、将抛物线y
1x2
x
3
如何平移，可得到抛物线y
1x2
2x3？
2
2
2
4、抛物线yx2
bx
c
是由抛物线
y
3x
2
bx1向上平移
3个单位，再向左平
3
移2个单位得到的，求
b、c的值．
题型四、yax2bxc的图象和性质
例1、通过配方，确定抛物线y
2x2
4x6的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点
画图．
例2、已知抛物线yx2（a2）x9的顶点在坐标轴上，求a的值．
例3、已知抛物线y
1x2
3x
5
，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象．
2
2
例4、利用配方法，把下列函数写成
ya（x
h）2
+k的形式，并写出它们的图象的开口方
向、对称轴和顶点坐标．
（1）y
x2
6x
1
（2）y2x2
3x4
（3）yx2
nx
（4）yx2
pxq
变式训练：
1、
（1）二次函数y
x2
2x的对称轴是
．
（2）二次函数y
2x2
2x
1的图象的顶点是
，当x
时，y随x的增
大而减小．
（3）抛物线y
ax2
4x
6的顶点横坐标是-2，则a=．
2、抛物线y
ax2
2x
c的顶点是（1,1），则a、c的值是多少？
3
3、已知y
2
6是二次函数，且当x
0时，y随x的增大而增大．
（k2）xk2k
（1）求k的值；
（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴．
4、当a0时，求抛物线yx22ax12a2的顶点所在的象限．
5、已知抛物线y
x2
4xh的顶点A在直线
y
上，求抛物线的顶点坐标．
4x1
题型五、yax2bxc的最大或最小值
例1、求下列函数的最大值或最小值：
（1）y
2x2
3x5；
（2）yx2
3x4．
例2、某产品每件成本是
120元，试销阶段每件产品的销售价
x（元）与产品的日销售量y
（件）之间关系如下表：
x（元）
130
150
165
y（件）
70
50
35
若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？
此时每日销售利润是多少？
例3、某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增加
盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬
衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
变式训练：
1、对于二次函数
y
x2
2x
m，当x=
时，y有最小值．
2、已知二次函数
y
a（x
1）
2
b有最小值
–1，则a与b之间的大小关系是（
）
A．a＜b
B
．a=b
C．a＞b
D
．不能确定
3、求下列函数的最大值或最小值
:
（1）y
x2
2x；
（2）y2x2
2x
1．
4、已知二次函数
y
x2
6x
m的最小值为
1，求m的值．，
5、心理学家发现，学生对概念的接受能力
y与提出概念所用的时间
x（单位：
分）之间满
足函数关系：
y
0.1x
2
2.6x
43（0
x30）
．y
值越大，表示接受能力越强．
（1）x
降低？
（2）第
在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？
x在什么范围内，学生的接受能力逐步
10分时，学生的接受能力是多少？
（3）第几分时，学生的接受能力最强？
6、如图，有长为
24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度
a为
10m），围成中间隔有一
道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽
AB为
xm，面积为
Sm2．
（1）求S与x的函数关系式；
（2）如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？
（3）能围成面积比45m2更大的花圃吗？
如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
题型六、利用待定系数法求二次函数的函数关系式
例1、某涵洞是抛物线形，它的截面如图26．2．9所示，现测得水面宽1．6m，涵洞顶点
到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什
么？
O
例2、根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
（1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）；
（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于点（0，1）；
（3）已知抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0），且与y轴交于点（0，-3）；
（4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x轴两交点间的距离为4．
例3、已知二次函数yx2bxc的图象经过点A（-1，12）、B（2，-3），
（1）求该二次函数的关系式；
（2）用配方法把
（1）所得的函数关系式化成ya（xh）2k的形式，并求出该抛物
线的顶点坐标和对称轴．
例4、已知二次函数的图象与一次函数y4x8的图象有两个公共点P（2，m）、Q（n，-8），
如果抛物线的对称轴是x=-1，求该二次函数的关系式．
变式训练：
1、根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
（1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；
（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；
（3）已知抛物线与x轴交于点M（-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）．
2、二次函数图象的对称轴是x=-1，与y轴交点的纵坐标是–6，且经过点（2，10），求此二次函数的关系式．
3、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高
度为4．4m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2．8m，装货宽度为
2．4m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．
4、已知二次函数yax2bxc，当x=3时，函数取得最大值10，且它的图象在x轴上
截得的弦长为4，试求二次函数的关系式．
5、抛物线y
x2
2mxn过点（2，4），且其顶点在直线
y
2x
1
上，求此二次函数的
关系式．
【随堂练习】
1、二次函数y=ax
2＋bx
2＋c的图象如图所示，则a0，b
0
，c
0
（填“＞”或“＜”
＝．）
2、二次函数
y=ax2＋bx＋c与一次函数
y=ax＋c在同一坐标系中的图象大致是图中的
（
）
3、在同一坐标系中，函数
y=ax2＋bx
与
y=
b
x
的图象大致是图中的（
）
4、如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，左
面的一条抛物线可以用y=0．0225x2＋0．9x＋10表示，而且左右两条抛物线关于你能写出右面钢缆的表达式吗？
y轴对称，
5、图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax2＋（a＋c）x＋c与一次函数y=ax＋c
的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（）
6、抛物线y=ax2＋bx＋c如图所示，则它关于y轴对称的抛物线的表达式是．
7、已知二次函数y=（m－2）x2＋（m＋3）x＋m＋2的图象过点（0，5）．
（1）求m的值，并写出二次函数的表达式；
（2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．
8、启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件．为
了获得更好的利益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x
x2
7
7
（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的
y倍，且
y=－
10
＋10x＋10，如果把利润
看作是销售总额减去成本费和广告费．
（1）试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数表达式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大？
最大年利润是多少万元？
（2）把
（1）中的最大利润留出3万元作广告，其余的资金投资新项目，现有6个项
目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表：
项目
A
B
C
D
E
F
每股（万元）
5
2
6
4
6
8
收益（万元）
0．55
0．4
0．6
0．5
0．9
1
如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收益总额不得低于符合要求的投资方式？
写出每种投资方式所选的项目．
1．6万元，问有几种
9、已知抛物线y=a（x－t－1）2＋t2（a，t是常数，a≠0，t≠0）的顶点是A，抛物线y=x2
－2x＋1的顶点是B（如图）．
（1）判断点A是否在抛物线y=x2－2x＋1上，为什么？
（2）如果抛物线y=a（x－t－1）2＋t2经过点B．①求a的值；②这条
抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否成直角三角形？
若能，求出
t的值；若不能，请说明理由．
4
10、如图，E、F分别是边长为4的正方形ABCD的边BC、CD上的点，CE=1，CF=3，直线FE交AB的延长线于G，过线段FG上的一个动点H，作HM⊥AG于M．设HM=x，矩形AMHN的面积为y．
（1）求y与x之间的函数表达式，
（2）当x为何值时，矩形AMHN的面积最大，最大面积是多少？
11、已知点A（－1，－1）在抛物线y=（k2－1）x2－2（k－2）x＋1上．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）若点B与A点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点B的直线？
如果存在，求符合条件的直线；如果不存在，说明理由．
12、如图，A、B是直线ι上的两点，AB=4cm，过ι外一点C作CD∥ι，射线BC与ι所成
的锐角∠1=60°，线段BC=2cm，动点P、Q分别从B、C同时出发，P以每秒1cm的速度，
沿由B向C的方向运动；Q以每秒2cm的速度，沿由C向D的方向运动．设P、Q运动的时
间为t秒，当t＞2时，PA交CD于E．
（1）用含t的代数式分别表示CE和QE的长；
（2）
求△APQ的面积S与t的函数表达式；（3）当QE恰好平分△APQ的面积时，
升级会员 