二次函数yax2+bx+c的图像与性质.docx

1、二次函数yax2+bx+c的图像与性质二次函数 y ax 2 bx c 的图象【教学目标】1、会用描点法画出二次函数、与的图象；2、能结合图象确定抛物线、的对称轴与顶点坐标；通过比较抛物线与同的相互关系，培养观察、3、分析、总结的能力 ;【教学重点】画出形如、与形如的二次函数的图象， 能指出上述函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标.【教学难点】理解函数、与及其图象间的相互关系【知识点梳理】知识点一、二次函数的定义：形如 y=ax2+bx+c(a 0， a，b， c 为常数 ) 的函数称为二次函数(quadratic funcion) .其中 a 为二次项系数， b 为一次项系数， c 为常数项

2、 .知识点二、二次函数的图象及画法二次函数 y=ax 2+bx+c(a 0) 的图象是对称轴平行于y 轴( 或是 y 轴本身 ) 的抛物线 . 几个不同的二次函数 . 如果二次项系数a 相同，那么其图象的开口方向、形状完全相同，只是顶点的位臵不同 .1. 用描点法画图象首先确定二次函数的开口方向、 对称轴、 顶点坐标， 然后在对称轴两侧， 以顶点为中心，左右对称地画图 . 画结构图时应抓住以下几点：对称轴、顶点、与 x 轴的交点、与 y 轴的交点 .2. 用平移法画图象由于 a 相同的抛物线 y=ax2 +bx+c 的开口及形状完全相同， 故可将抛物线 y=ax 2 的图象平移得到 a 值相同

3、的其它形式的二次函数的图象 . 步骤为：利用配方法或公式法将二次函数化为 y=a(x-h) 2+k 的形式，确定其顶点 (h ，k) ，然后做出二次函数 y=ax 2 的图象 . 将抛物线 y=ax 2平移，使其顶点平移到 (h ， k).知识点三、二次函数 y=ax 2+bx+c(a 0) 的图象与性质1. 函数 y=ax 2(a 0) 的图象与性质：a 的符对称函数图象开口方向顶点坐标增减性最大(小)值号轴x0 时， y 随 x当 x=0 时，y=ax 2增大而增大y 最小 =0a0向上(0，0)y 轴x0 时， y 随 x当 x=0 时，y=ax 2增大而减小y 最大 =0a0向下(0，

4、0)y 轴x0 时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax2 相同，不同的是顶点坐标为(0 ，c) ，当 x=0 时， y 最小 =c(2)当 a0 a0 时，抛物线开口向上，并向上无限(1) 当 a0开口向上2.决定增减性a0交点在 x 轴上方决定抛物线与y 轴交点的位臵，cc=0抛物线过原点交点坐标为 (0 ， c)c0对称轴在 y 轴左侧臵，对称轴是直线ab0抛物线与 x 轴有两个交点b2-4ac决定抛物线与x 轴公共点的个数b2-4ac=0顶点在 x 轴上b2-4ac0抛物线与 x 轴无公共点【典型例题】题型一： y ax 2 k 的图象和性质例 1、一条抛物线的开口方向、对称轴与 y 1

5、 x2 相同，顶点纵坐标是 -2 ，且抛物线经过点2（1， 1），求这条抛物线的函数关系式例 2 、 在同一平面直角坐标系画出函数、的图象 .由图象思考下列问题：（ 1）抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？（ 2）抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？（ 3）抛物线，与的开口方向，对称轴，顶点坐标有何异同？（ 4）抛物线与同有什么关系？例 3、已知二次函数 y 8x2 (k 1) x k 7 ，当 k 为何值时，此二次函数以 y 轴为对称轴？写出其函数关系式变式训练：1、已知函数 y1 x 2，y1 x 23 ， y1 x 22 333（ 1）分别画出它们的图象；（ 2）说出各个图象

6、的开口方向、对称轴、顶点坐标；（ 3）试说出函数 y1 x25的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标32、 不画图象，说出函数 y1x 23 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函14数 yx2 通过怎样的平移得到的43、 若二次函数 yax 22 的图象经过点（ -2 ， 10），求 a 的值这个函数有最大还是最小值？是多少？题型二： y a( x h)2 的图象和性质例 1、不画出图象，你能说明抛物线 y 3x 2 与 y 3( x 2) 2 之间的关系吗 ?例 2、已知函数 y1 x 2， y1 ( x 1)2， y1 ( x 1) 2222（ 1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；（

7、 2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（ 3）分别讨论各个函数的性质例 3、根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y1 x2 得到抛物2线 y1 ( x 1) 2 和 y1 (x 1)2 ？22变式训练：1、函数 y 3(x 1)2 ，当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而减小当 x 时，函数取得最 值，最 值 y= 2、不画出图象，请你说明抛物线 y 5x 2 与 y 5( x 4) 2 之间的关系3、将抛物线 y ax 2 向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2 ，且新抛物线经过点（ 1，3），求 a 的值题型三： y a( x h) 2 +k 的

8、图象和性质例 1、把抛物线y x2bx c 向上平移 2 个单位，再向左平移4 个单位，得到抛物线 yx2 ，求 b、c的值例 2、把抛物线 y3 x 2向左平移3 个单位，再向下平移 4 个单位，所得的抛物线的函数2关系式为例 3、在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象y3x2 ， y3( x2) 2 ， y3( x 2) 21 ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标变式训练：1、抛物线 y1 2x1 x2 可由抛物线 y1 x2 向平移个单位，再向平22移个单位而得到2、将抛物线 yx 22x5 先向下平移1 个单位，再向左平移4 个单位，求平移后的抛物线的函数关系式3、将抛物线 y1

9、x 2x3如何平移，可得到抛物线 y1 x 22x 3 ？2224、抛物线 yx 2bxc是由抛物线y3x2bx 1 向上平移3 个单位，再向左平3移 2 个单位得到的，求b、c 的值题型四、 y ax 2 bx c 的图象和性质例 1、通过配方，确定抛物线 y2x 24x 6 的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图例 2、已知抛物线 y x2 (a 2) x 9的顶点在坐标轴上，求 a 的值例 3、已知抛物线 y1 x23x5，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象22例 4、利用配方法，把下列函数写成y a( xh)2+k 的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标 （1）

10、 yx 26x1（ 2） y 2x23x 4（ 3） yx2nx（4） y x 2px q变式训练：1、（ 1）二次函数 yx 22x 的对称轴是（ 2）二次函数 y2x22x1 的图象的顶点是，当 x时， y 随 x 的增大而减小（ 3）抛物线 yax 24x6 的顶点横坐标是 -2 ，则 a =2、抛物线 yax22xc 的顶点是 ( 1 , 1) ，则 a 、c 的值是多少？33、已知 y26 是二次函数，且当 x0时， y 随 x 的增大而增大(k 2)x k 2 k（ 1）求 k 的值；（ 2）求开口方向、顶点坐标和对称轴4、当 a 0 时，求抛物线 y x 2 2ax 1 2a2

11、的顶点所在的象限5、已知抛物线 yx 24x h 的顶点 A 在直线y上，求抛物线的顶点坐标4x 1题型五、 y ax 2 bx c 的最大或最小值例 1、求下列函数的最大值或最小值： （ 1） y2x23x 5 ；（2） yx 23x 4 例 2、某产品每件成本是120 元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量 y（件）之间关系如下表：x（元）130150165y（件）705035若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？例 3、某商场销售一批衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 件，为了扩大销售，

12、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件（ 1）若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？（ 2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？变式训练：1、对于二次函数yx22xm ，当 x=时， y 有最小值2、已知二次函数ya(x1)2b 有最小值 1，则 a 与 b 之间的大小关系是（）A abB a=bC a bD不能确定3、求下列函数的最大值或最小值: （ 1） yx 22x ； （ 2） y 2x 22x1 4、已知二次函数yx26xm 的最小值为1，求 m的值，5、心理学家发现，

13、学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系：y0.1x22.6x43(0x 30) y值越大，表示接受能力越强（ 1） x降低？（ 2）第在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？ x 在什么范围内，学生的接受能力逐步10 分时，学生的接受能力是多少？（ 3）第几分时，学生的接受能力最强？6、如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃设花圃的宽AB为x m，面积为S m2（ 1）求 S 与 x 的函数关系式；（ 2）如果要围成面积为 45 m2 的花圃， AB 的长是多少米？（ 3）能围成面积比 45 m2

14、 更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由题型六、利用待定系数法求二次函数的函数关系式例 1、某涵洞是抛物线形，它的截面如图 262 9 所示，现测得水面宽 1 6m，涵洞顶点到水面的距离为 2 4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？O例 2、根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式（ 1）已知二次函数的图象经过点A（ 0， -1 ）、 B（ 1，0）、 C（ -1 ， 2）；（ 2）已知抛物线的顶点为（ 1， -3 ），且与 y 轴交于点（ 0， 1）；（ 3）已知抛物线与 x 轴交于点 M（-3 ， 0）、（ 5， 0），且与 y

15、轴交于点（ 0， -3 ）；（ 4）已知抛物线的顶点为（ 3， -2 ），且与 x 轴两交点间的距离为 4例 3、已知二次函数 y x2 bx c 的图象经过点 A（ -1 ， 12）、 B（ 2， -3 ），（ 1）求该二次函数的关系式；（ 2）用配方法把（ 1）所得的函数关系式化成 y a( x h) 2 k 的形式，并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴例 4、已知二次函数的图象与一次函数 y 4x 8 的图象有两个公共点 P（ 2，m）、Q（n，-8 ），如果抛物线的对称轴是 x= -1 ，求该二次函数的关系式变式训练：1、根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式（ 1）已知二次函数的图

16、象经过点（ 0， 2）、（ 1， 1）、（ 3，5）；（ 2）已知抛物线的顶点为（ -1 ， 2），且过点（ 2， 1）；（ 3）已知抛物线与 x 轴交于点 M（ -1 ， 0）、（ 2， 0），且经过点（ 1， 2）2、二次函数图象的对称轴是 x=-1 ，与 y 轴交点的纵坐标是 6，且经过点（ 2， 10），求此二次函数的关系式3、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽 AB=4m，顶部 C 离地面高度为 4 4m现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面 2 8m，装货宽度为2 4m请判断这辆汽车能否顺利通过大门4、已知二次函数 y ax 2 bx c ，当 x=3

17、 时，函数取得最大值 10，且它的图象在 x 轴上截得的弦长为 4，试求二次函数的关系式5、抛物线 yx22mx n 过点（ 2，4），且其顶点在直线y2 x1上，求此二次函数的关系式【随堂练习】1、二次函数 y=ax2 bx2 c 的图象如图所示， 则 a 0 ，b0，c0（填 “” 或“”）2、二次函数y=ax 2 bx c 与一次函数y=ax c 在同一坐标系中的图象大致是图中的（）3、在同一坐标系中，函数y=ax2 bx与y=bx的图象大致是图中的（）4、如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状按照图中建立的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用 y=00225x2 09x 10 表

18、示， 而且左右两条抛物线关于你能写出右面钢缆的表达式吗？y 轴对称，5、图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数 y=ax 2（ ac） x c 与一次函数 y=ax c的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）6、抛物线 y=ax 2 bx c 如图所示，则它关于 y 轴对称的抛物线的表达式是 7、已知二次函数 y=（ m 2） x2（ m 3） x m 2 的图象过点（ 0， 5）（ 1）求 m的值，并写出二次函数的表达式；（ 2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴8、启明公司生产某种产品，每件产品成本是 3 元，售价是 4 元，年销售量为 10 万件为了获得更好的利益，公司准备拿出一

19、定的资金做广告根据经验，每年投入的广告费是 xx277（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y=10 10 x 10 ，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费（ 1）试写出年利润 S（万元）与广告费 x（万元）的函数表达式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大？最大年利润是多少万元？（ 2）把（ 1）中的最大利润留出 3 万元作广告，其余的资金投资新项目，现有 6 个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表：项目ABCDEF每股（万元）526468收益（万元）0 550 40 6050 91如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收益总额不得低于符合要求

20、的投资方式？写出每种投资方式所选的项目1 6 万元，问有几种9、已知抛物线 y=a（ x t 1）2t 2（a，t 是常数， a 0，t 0）的顶点是 A，抛物线 y=x2 2x 1 的顶点是 B（如图）（ 1）判断点 A 是否在抛物线 y=x 2 2x 1 上，为什么？（ 2）如果抛物线 y=a（x t 1） 2 t 2 经过点 B求 a 的值；这条抛物线与 x 轴的两个交点和它的顶点 A 能否成直角三角形？若能， 求出t 的值；若不能，请说明理由410、如图， E、 F 分别是边长为 4 的正方形 ABCD的边 BC、 CD上的点， CE=1， CF=3 ，直线 FE 交 AB 的延长线于

21、 G，过线段 FG上的一个动点 H，作 HM AG于 M设 HM=x，矩形 AMHN的面积为 y（ 1）求 y 与 x 之间的函数表达式， （ 2）当 x 为何值时，矩形 AMHN的面积最大，最大面积是多少？11、已知点 A（ 1， 1）在抛物线 y=（ k2 1） x22（ k 2）x 1 上（ 1）求抛物线的对称轴； （ 2）若点 B 与 A 点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点 B 的直线？如果存在，求符合条件的直线；如果不存在，说明理由12、如图， A、 B 是直线上的两点， AB=4cm，过外一点 C 作 CD，射线 BC 与所成的锐角 1=60，线段 BC=2cm，动点 P、 Q 分别从 B、 C 同时出发， P 以每秒 1cm 的速度，沿由 B 向 C 的方向运动； Q以每秒 2cm 的速度，沿由 C 向 D 的方向运动设 P、 Q运动的时间为 t 秒，当 t 2 时， PA交 CD于 E（ 1）用含 t 的代数式分别表示 CE 和 QE的长；（ 2）求 APQ的面积 S 与 t 的函数表达式； （ 3）当 QE恰好平分 APQ的面积时，