4,5}
2.已知2+i是关于X的方程F+or+5=0的根，则实数d=
A.2-iB.・4C.2D.4
3.哥隆尺是一种特殊的尺子，图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1,2,3,4,5,6.图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为
A-
11
B•13
C•15
D.
17
014（
|11
严丨兰2U—2―
014
1012
17
U—P-4^—r；
111
11
J
~~t61
丙1
国2
4.医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述，在该模型中，人体内药物含量x（单位：
mg）与给药时间/（单位:
h）近似满足函数关系式2勒（1—尹），其中心，£分别称为给药速率和药物消除速率（单位：
K
mg/h）.经测试发现，当f=23时，亠,则该药物的消除速率公
2k
的值约为（ln2~0・69）
小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9.己知加，〃是两条不重合的直线，-0是两个不重合的平面，则
A.若〃2〃a,”〃a,则〃2〃11
B.若加〃a,加丄0,则a丄0
C.若a〃0,加丄a,〃丄0,则m//n
D.若a丄0,m//a,“〃0,则加丄〃
10.己知函数/（x）=sin（2x--）,贝I」
6
A・“r）的最小正周期为;r
B・将y=sin2A-的图象上所有的点向右平移？
个单位长度，可得到
6
兀力的图象
C./（X）在（-兰，兰）上单调递增
63
D.点（一菩，0）是蚀图象的一个对称中心
11.若函数八严+心<］的值域为匚，+巧，贝ij
x+I-lnx,x>\
a./（3）>/
（2）B•〃&2
C•/（器）>/（-）D•logm（/7Z+1）>log|/n+I）（/H+2）
2e
12•冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热.若发生群体性发热,则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产.某大型公司规定：
若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3°C,则称没有发生群体性发热，下列连续7天体温高于37.3°C人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为
A.中位数为3,众数为2B.均值小于1,中位数为1
三、填空题（木大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案
填写在答题卡相应位置上）
13.在止项等比数列⑷中，若““6=27,则乞log/,=14.己知双曲线C的渐近线方程为y=±2x,写出双曲线C的一个标
准方程：
“康威圆定理”是英国数学家约翰•康威引以为豪的研究成果之一.定理的内容是这样的：
如图，AABC的三条边长分别为BC=a,AC=b,AB=c.延长线段CA至点Ai，使
得AAi=d,以此类推得到点A?
Bi，B2，Ci和C2，那么这六
个点共圆，这个圆称为康威圆.己知d=4,b=3,c=5,则由
AABC生成的康威圆的半径为.
16.己知在圆柱SO?
内有一个球O,该球与圆柱的上、下底而及母线均相切.过直线O]O2的平面截圆柱得到四边形ABCD,第15题
其面积为8.若P为圆柱底而圆弧CD的中点，则平而PAB与球0
的交线长为.
四、解答题（木大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
已知等差数列｛%｝满足%+如+严3“+5.
4
（1）求数列W”｝的通项公式；
•・
（2）记数列—L-，的前"项和为S“・若VZ/eN*,5n<-A2+4A（2为偶数），求久的值.
18.（本小题满分12分）
在①（b+“—c）d“+c）="c；②cos（A+B）=sin（A-B）；③taii^^=sinC这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求b的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：
是否存在AABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2迥,
注：
如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.
19.（本小题满分12分）
2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“3+1+2”高考新模式.为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如下表：
性别
科口
男生
女生
合计
物理
300
历史
150
合计
400
800
（1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握
认为该校学生选择物理或历史与性别有关；
（2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层
抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组.一段时间后,从该小组中抽取3人汇报数学学习心得.记3人中男生人数为X,求
X的分布列和数学期望E（X）.
P（K2^lc）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
n（ad^bcy
（a+b）（c+d）（a*c）（b+d）
20.（本小题满分12分）
如图，在正六边形ABCDEF中，将AABF沿直线BF翻折至△ABF,使得平面AEF丄平面BCDEF,O,H分别为BF和A，C的中点.
（1）证明：
OH〃平面A/EF；
（2）求平面AEC与平面ADE所成锐二而角的余弦值.
21.（本小题满分12分）
已知函数/⑴"-型-“.
（1）若/（X）>0,求实数d的取值范围；
（2）若函数.f（x）有两个零点召，心，证明：
x}x2<1.
22・（本小题满分12分）
己知点A,B在椭圆倬+其=i（Qb>0）上，点A在第一象限，0cC
为坐标原点，且OA丄AB.
（1）若a=羽,b=l,直线OA的方程为*・3y=0,求直线OB
的斜率；
（2）若AOAB是等腰三角形（点0,A,B按顺时针排列），求
+的最大值.
2021届江苏六市高三上学期数学一模试题答案
1.C
2.B
3.C4.A5.C
6.D7.B
8.B
9.BC
10.ACD11.ABD
12.BD
13.9
14.x2-—=115.x/37
4
16.A
5
17.【解】
（1）设等差数列｛y｝的公差为
因为碣4■九严3力+5,所以卜+弩乩
+2a3=11.
即严+2^=8,
''45r/=11.
角242©=2.d=1・所以碍=2+（w—1）=/?
41.
经检您°严“1符合題设.
所以数列｛%｝的通项公式为a.-r/4-l・
（2）rfl
（1）得・=T14rr=—，
竹％•:
（力〜1）（^42）n+ln+2所毗甘扣（匕卜…估-汩十由•
P17jVne•SM<—Z+4z»
用I以一I+422^*^、即（兄—2）‘W寸・
因为zl为渦数.所tu・2・
18・【解】选择条件①和②.
囚为（0+t/-cK力一a+c）=ac，所以“‘+c2-b2-ac»
由余弦定却.得cos8丄¥±4・
2ac2
因为06",所以—号・
因为cos（J4-B）=sin（A-R）9所以ccs（/4•号）=sin（/一号）•
所以cos/lens彳一sin/（gin-j=sin"cos^-ctK,
所以sin/I=cosJ・
因为Ov/fvjc,所以4■召・
4
在中，由IE弦定理宀=七・得迈=亠・sm・4smZ?
sin5sin|
43
2屈in乎
所以&.20
sin4
4
选择条件①和③・
因为S+a-c）（/>-a+Q=ac・所以宀r2-Fm
由余弦定理.得cog乙沪电
因为0＜〃g所以—专.
Ktan
2
cos#
因为伽书gwinC
因为OcCv兀，所以cosy0,所以sin:
^--l・囚为OcCd所以siii^->0.所以siii#=迄，町得C=^-.
2ZZ2
所以在RIA.4BC中，几atan号-2&・
选抒条件②和③.
因为c所以cos.4cosB-sinAsinj?
-sinAcosB一cosAsinB,
所以（ainA一coaA^inH4cmR）=0.
所以sinAcos.4或sin〃=-8S〃・
所以r或一普
■h-CCsm"异COSy
-c
COScSiny
cosfrc
所以——=sinC=2sin^-cosy・
sin*_丄
肉为九・所UlctKy^O.所1^119.
在△磁中…心虫”所恥呼C号所以SC为等除直角二角形，所以—“=2血
性别
科甘
男生
女生
合计
物理
300
250
550
历史
100
150
250
合计
400
400
800
曲心驾品謀罟翳勞普＞吨
10
所以有99.9%的把握认为诊校学生选择物理或历史与性别有关.
（2）按照分层捕样的方法，抽赵男生2人，女生3人.
随机变虽”的所有可能礙值为0,1,2.
P（T=1）=^=|,
所以X的分布列为
X
0
1
2
1
3
3
p
To
io
所以£（X）=0x±+lx|+2x^s|・
答：
X的数学期望为吕.
20.【解】仃〉如图•取月工的中点g.
连结FG.HG、CE・
又因为〃是的中点.
所以HG!
/CE-HG=*「E・
又因为正六边形ABCDEF中.BF//CE.BF-CE,所以11G〃BF,〃G=*〃F・
又O为〃卩的中点.所以HG/IOF・HG=OF・所以四边形OFG"为平行四边形，所以O〃〃FG・因为"Gu平面AfEF.OH所以平IftlA9EF・
（2）山条件可知丄OB,6T丄OD,OD丄OB・
分別以OB,06Of所在直线为
jc轴.丿轴、二轴建立如图所示
的空何直角坐标系O_xyz・设正六边形ABCDEF的边长为2.
・0・0）.C（JJ・2・0）,
0（0,3,0）.£（-^3,2,0）,J*（0,0,1）,
所以赃（0,2,0）,疋=（©2,-1）,
£ZJ=（^.L0）,7D=（0.3,-1）・
设平面ABC的法向虽为斗=gX•二
rti<侍｛k介八
|叫.A9C=0.+2yt-"j=0.
取召-1•可得绚三（i■o,75）・
设平ffiiA1DE的法向虽为n2=（r,,儿.=J・
rti
%•ED=0,十*（y2=0./!
•Z/）=0.”必-rt=0
取勺・1・可得6・（1,--3d）・
设平面a^RC与平而ADR所成钱二面角的大小为Q・
zg”,小騙一气體瞪严L錚
所以平面才sc与平而/fa所成锐二面角的余弦值为埠L?
1【解】
（1）函数/仗）工，一21严一么的定义域为（0.2）・
广（巧=2一=211112^-
X**・
设r（x）=r3+lnT-l・所以r（x）=3x24丄＞（）・
X
所以函数“丫）二X；鼻1!
1工一1在（0・+8）上申调逵增.
又ni）=o,列表如下：
X
（0,1）
1
（1,+00）
厂（X）
0
+
fix）
极小值
所以当"I时.函数冷）*-如-a取得最小值为"）=1—。
・…
•X
因为/（x）^0.即1-adO,所以aWl・
所以。
的取值范用是（yo・1]・…
⑵不妨设巧v兀.
由
（1）可得.函数/（x）在（Q1）上单调递减，在（b-boo）±单调递増.
所以0<舛«1<工2・0<—<1・・・•
I*
因为f（x\）m/（吃）Jo‘
所以几5）-/（占2/（禺）一/（占）
££
“2In丄
十一"）一（丄——-Q）xi工，丄
・*2
=（x、•+—）（x,—-—2InxJ.
X2X2
设函数g（x）-x-丄-2\nx（x>\）9
•V
K'j^r（A）=1+4r--2.=/■■->0（A>1）・函数g（n在（1，十8）上单调递增.
X*X'
tlg（x,）=x2-—-2In^r,>g（l>=0・・W
所以伽）一/（占）>0,即.©）>/&）・
又因数/⑴如街O1）上单调递减.
•I
所以0?
?
【解】（1〉由4二巧，"1,得橢圆方程为
因为点4任弟一象限，所以用£冷）.
又0/1丄AB.
所以直线曲的方程为y-l=-3（.v-|）,即3x+y-5=O・
—丄
所以直线的斜率为5三善一吉・
（2〉法1：
设直线04的料率为心>0）,则直线M的斜率为
因为△（?
•仏是等麼直角二角形（点Q儿B按顺时针排列）,所以设力（心yt）•3（心y2）»（x>0.>0,xt/.OA-AH.所以J璋*：
=J（q_xj4（j,_”）；.得J+古卜」=J\+lr'-x-l•
所以Ji=兀一片・即®=斗亠>\•
XrflOJ丄.4―得K,土二L=_1,所以y^y^x,.
因为点/（心x）・B（斗+»牙_斗）在椭IS斗+告=1上.
q・b・
x；yj.
所以
7'F=・所以£十¥=色二也十斗工,
d+yj"f,Q・快/b・
~7~+
整理得-2（aJ-F）¥+N=0・…
所以A-4（a2-A2）:
-4a'b2>0.R卩（a‘-F十ah）（a2-b2-ab）^0.
因为a"—/r+ab>0»
所以/一戻一加>20・即0・
aa
所以
a2
当上=牛=辿磐1=备亠密1时.寻取最大值马2法2：
设直线0/1的斜率为A（A>0）,倾斜角为^（0°<^<90A）.
闵为△04〃是等脛直角三角形（点O.A.B按顺时针排列）.且0A丄加,
所以直线OR的斜率为心=伽（4-45。
）或—二伽（Q*175。
）.
设.4（^牙）・Bgy2）.（斗>0.yl>0.x}rh
尸3“柑
4+i；=i,^X|'F77F-
（T$
Z（闫j€，
又OB^y/2OA.所以2Of=曲,得2（1+小彳=
a万（1+上）'
整理得irk2+2（尸一“4宀0•所以"4（6’一巧-4a访'刁U,即（a2-h'Y-a2b2乡0•所以（a—ab\a-甘-ab）20・囚为4、-b、十“b;>0,
所以“―bPO.即（少+寻一1M0•
所以
a2
出—一绝詳2二£_1二卷tl时，◎取最大值年1.
2Zrb'2a2
15
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