空间向量综合测试含答案.docx

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空间向量综合测试含答案

空间向量综合测试

一、选择题：

此题共12小题，每题5分

1．已知A（3，2，1），B（1，0，4），则线段AB的中点坐标和||是（　　）

A.，B.，C.，D.，

2．直三棱柱ABCA1B1C1中，假设＝a，＝b，＝c，则等于（　　）

A．a＋b－c　　B．a－b＋cC．－a＋b＋cD.－a＋b－c

3．平面α的法向量u＝（1，2，－1），平面β的法向量v＝（λ2，2，8），假设α⊥β，则λ的值是（　　）

A．2B．－2C．±2

4．在空间四边形ABCD中，假设向量＝（－3，5，2），＝（－7，－1，－4），点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（　　）

A．（2，3，3）B．（－2，－3，－3）C．（5，－2，1）D.（－5，2，－1）

5．已知四面体ABCD的所有棱长都是2，点E，F分别是AD，DC的中点，则·＝（　　）

A．1B．－1C.D.－

6．在正方体ABCDA1B1C1D1中，假设E为A1C1的中点，则与直线CE垂直的直线是（　　）

A．ACB．BDC．A1DD.A1A

7．已知a＝3m－2n－4p≠0，b＝（x＋1）m＋8n＋2yp，且m，n，p不共面，假设a∥b，则x，y的值为（　　）

A．x＝－13，y＝8B．x＝－13，y＝5C．x＝7，y＝5D.x＝7，y＝8

8．已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·的值为（　　）

A．－1B．0C．1

9．已知直线l的方向向量为n＝（1，0，2），点A（0，1，1）在直线l上，则点P（1，2，2）到直线l的距离为（　　）

A.B.C.

10．在四棱锥PABCD中，＝（4，－2，3），＝（－4，1，0），＝（－6，2，－8），则这个四棱锥的高h＝（　　）

A．1B．2C．13

11.如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，假设点P满足＝－＋，则||2的值为（　　）

A.B．3C.D.

12．三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，N是BC的中点，点P在A1B1上，且满足：

＝λ，则直线PN与平面ABC所成角θ取最大值时λ的值为（　　）

A.B.C.D.

一、选择题：

此题共12小题，每题5分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

二、填空题：

此题共4小题，每题5分．

13．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则·＝________．

14．在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（1，－2，0），B（2，1，），则向量与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为________．

15．点P是底边长为2，高为2的正三棱柱外表上的动点，MN是该棱柱内切球的一条直径，则·的取值范围是__________．

16．如下图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝________．

三、解答题：

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）如下图，在四棱锥MABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且AM和AB，AD的夹角都是60°，N是CM的中点，设a＝，b＝，c＝，试以a，b，c为基向量表示出向量，并求BN的长．

18．（12分）四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，M、N分别是PC、AB的中点，求证：

MN⊥平面PCD.

19．（12分）如下图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.

（1）求证：

AB⊥DE；

（2）假设点F为BE的中点，求直线AF与平面ADE所成角的正弦值．

20．（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG＝4，AG＝GD，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点．

（1）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；

（2）假设F是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值．

21．（12分）在△A′BC中，A′B＝4，A′C＝4，∠BA′C＝45°，以A′C的中线BD为折痕，将△A′BD沿BD折起，构成二面角ABDC，在平面BCD内作CE⊥CD，且CE＝，连接DE，AE，AC，如下图．

（1）求证：

CE∥平面ABD；

（2）假设二面角ABDC的大小为90°，求二面角BACE的余弦值．

22．（12分）如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝CD＝1，PD＝.

（1）假设M为PA的中点，求证：

AC∥平面MDE；

（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；

（3）在线段PC上是否存在一点Q（除去端点），使得平面QAD与平面PBC所成的锐二面角的大小为？

空间向量综合测试答案

1.解析：

P（x，y，z）是AB中点，则

＝（＋）＝[（3，2，1）＋（1，0，4）]＝，dAB＝||＝＝.

2.解析：

选D.如图，＝－＝－－＝－－＝b－a－c.

3.解析：

选C.α⊥β⇒u⊥v⇒u·v＝0⇒λ2＋4－8＝0⇒λ＝±2.

4．解析：

AC中点M，连接ME，MF，则＝＝，＝＝，所以＝－＝（－2，－3，－3），故选B.

5.解析：

选B.如下图，＝，所以·＝·（－）＝－×2×2cos60°＝－1故选B.

6.解析：

A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（图略）．设正方体的棱长为1，则A（0，0，0），C（1，1，0），B（1，0，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），E，所以＝，＝（1，1，0），＝（－1，1，0），＝（0，1，－1），＝（0，0，－1）．显然·＝－＋0＝0，所以⊥，即CE⊥BD.

7.解析：

a∥b且a≠0，

所以b＝λa，即（x＋1）m＋8n＋2yp＝3λm－2λn－4λp.

又因为m，n，p不共面，所以＝＝，

所以x＝－13，y＝8.

8．解析：

＝＋＝＋（＋）＝＋（＋），而＝＋，则·＝[＋（＋）]·（＋）＝（＋）2＝（2＋2）＝1.

9.解析：

P点作PH⊥l于H点，

则＝＋，由∥n，可设＝λn＝（λ，0，2λ）．

所以＝（－1，－1，－1）＋（λ，0，2λ）＝（λ－1，－1，2λ－1），

由⊥n，得λ－1＋2（2λ－1）＝0，解得λ＝所以＝.

因此点P到l的距离为||＝＝，选A.

10.解析：

ABCD的法向量为n＝（x，y，z），则，即，设y＝4，则n＝，所以cos〈n，〉＝＝＝－，所以h＝×2＝2，故选B.

11.解析：

选D.由题可知||＝1，||＝1，||＝.

〈，〉＝45°，〈，〉＝45°，〈，〉＝60°.

所以||2＝（－＋）2＝2＋2＋2－·＋·－·＝＋＋2－×1×1×＋1××－1××＝.

12.解析：

选A.

如图，分别以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz，则P（λ，0，1），N，＝（－λ，，－1）．易得平面ABC的一个法向量n＝（0，0，1），则直线PN与平面ABC所成的角θ满足：

sinθ＝|cos〈，n〉|＝，于是问题转化为二次函数求最值，而θ∈，所以当sinθ最大时，θ最大．所以当λ＝时，sinθ最大，为，同时直线PN与平面ABC所成的角θ取到最大值．

13解析：

·＝·＝||·||·cos〈，〉＝a×a×cos60°＝a2.答案：

a2

14解析：

设平面xOz的法向量为n＝（0，t，0）（t≠0）．又＝（1，3，），所以cos〈n，〉＝＝，因为〈n，〉∈[0，π]，所以sin〈n，〉＝＝答案：

15解析：

由题意知内切球的半径为1，设球心为O，则·＝（＋）·（＋）＝＋·（＋）＋·＝||2≤||≤，所以·∈[0，4]．答案：

[0，4]

16.解析：

建立如下图的空间直角坐标系，则A（a，0，0），B1（0，0，3a），C（0，a，0）．设点E的坐标为（a，0，z），则＝（a，－a，z），＝（a，0，z－3a）．由⊥，得2a2＋z2－3az＝0，解得z＝a或2a，即AE＝a或2a.答案：

a或2a

17.解：

＝＋＝＋＝＋（－）

＝＋[－（＋）]＝－＋＋.

所以＝－a＋b＋c，

||2＝2＝＝（a2＋b2＋c2－2a·b－2a·c＋2b·c）＝，

所以||＝，即BN的长为.

18.证明：

建立空间直角坐标系如下图，设PA＝AD＝a，AB＝b，

则P（0，0，a），D（0，a，0），B（b，0，0），C（b，a，0），N，M，

所以＝，＝（b，0，0），＝（b，a，－a），

所以·＝－＋＝0，·＝0，

所以⊥，⊥，即MN⊥PC，MN⊥DC，又因为PC∩DC＝C，MN⊄平面PCD，所以MN⊥平面PCD.

19.解：

（1）证明：

在△ABD中，由余弦定理，得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠DAB，即BD2＝4＋16－16×＝12，所以BD＝2，所以BD2＋AB2＝AD2，所以△ABD和△EBD均为直角三角形，所以ED⊥DB.又DB是平面EBD和平面ABD的交线，且平面EBD⊥平面ABD，ED⊂平面EBD，

所以ED⊥平面ABD.

又AB⊂平面ABD，所以AB⊥DE.

（2）由

（1）知∠ABD＝∠CDB＝90°，以D为坐标原点，DB，DC，DE所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（图略），则D（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，0，2），A（2，－2，0），F（，0，1），所以＝（2，－2，0），＝（0，0，2），＝（－，2，1）．

设平面ADE的法向量为n＝（x，y，z），

则有即令x＝1，则y＝.又z＝0，所以n＝（1，，0）．

设直线AF与平面ADE所成的角为α，则有sinα＝|cos〈n，〉|＝＝＝.

20.解：

（1）以G点为原点，GB，GC，GP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，4），故E（1，1，0），＝（1，1，0），＝（0，2，－4）．

因为cos〈，〉＝＝＝，所以GE与PC所成角的余弦值为.

（2）因为＝＝，所以D.

设F（0，y，z），则＝（0，y，z）－＝.

因为⊥，所以·＝0，即·（0，2，0）＝2y－3＝0，所以y＝.

又点F在PC上，所以＝λ，即＝λ（0，2，－4），所以z＝1，故F，

所以＝，＝，所以＝＝3.

21.解：

（1）证明：

由AB＝4，A′C＝4，∠BA′C＝45°，得BC＝4，所以△A′BC为等腰直角三角形，又D为A′C的中点，所以BD⊥A′C.所以折起后BD⊥CD.又CE⊥CD，所以CE∥BD，

因为CE⊄平面ABD，BD⊂平面ABD，所以CE∥平面ABD.

（2）由二面角ABDC的大小为90°，AD⊥BD，得AD⊥平面BCD，由

（1）知BD⊥CD，

于是以D为坐标原点，分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴，建立如下图的空间直角坐标系．

设F为AC的中点，连接DF，则DF⊥AC，且DF＝2.

因为CE⊥CD，AD⊥平面BCD，所以CE⊥平面ACD，所以DF⊥CE，所以DF⊥平面ACE.

易求得BD＝CD＝AD＝2，所以D（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），F（0，，）．所以平面ACE的一个法向量为＝（0，，）．

又＝（2，0，－2），＝（0，