概率统计习题册答案.docx

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概率统计习题册答案

4、概率公式的题目

1、已知P（瓦）=0.3,P（B）=0.4,P（A@）=0.5,求P（BAjB）l

P（BA「B戶P（AB」=_P（A）丁（AB）_

P（AuB）P（A）+P（B）-P（AB）

2、已知P（A）=0.7,P（B）=0.4,P（AB）=0.2,求P（AA'jB）l

解:

P（AA'」B）=

P（AB）

pApb-pAb

0.22

0.70.2一9

e

3、已知随机变量X:

P

（1）,即卩X有概率分布律P1X=k（k=0,1,2…）,

k!

并记事件A={X^2},B={X

求:

（1）P（AuB）;

（2）P（A—B）;（3）P（BA）。

解：

（1）PAB=1-PA_B=1—P（AB）=1-P〈X：

2,X_1=1-P〈X=1丄1—e，；

（2）PA-B二P（AB）二P^X_2,X_1；=P「X_2；=1-P^X=0^-P"：

X=1；=1-2e‘；

”P（BA）p{x<1,Xv2}p{x=。

}e-11

（3）P（BA）==!

===一

P（AAB）=

P（A侨（A旦）=

P（AB）=

P（A）P{X<2}P{X=0}+p{x=1}2e」2

4、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，它是甲射

中的概率是多少？

解：

设A=“甲射击一次命中目标”，B=“乙射击一次命中目标”，

亠—=匹=§=0.75

P（A）+P（B）-P（AB）0.6+0.5-0.60.58

系统B为0.93，在A失灵的条件下，B有效的概率为0.85，求：

（1）发生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率；

（2）B失灵的条件下，A有效的概率。

解：

设A二“系统A有效”，B=“系统B有效”，

P（A）=0.92,P（B）=0.93,P（BA）=0.85,

（1）P（AuB）=P（A）+P（B）—P（AB）=P（A）+P（AB）=P（A）+P（A）P（BA）=0.988

1、已知密度（函数）求概率的题目

解：

任一晶体管使用寿命超过150小时的概率为

P（H（|）3W

3、某种型号的电子管的寿命X（以小时计）具有以下的概率密度

解：

一个电子管寿命大于1500小时的概率为

P（X.1500）=1_P（Xm1500）=1_1ooo（£l000

XL丿

小（1一）=

P（Y_2）=1_P（Y：

：

：

2）=1_[p（Y=0）P（Y=1）；=1_（-）5C5（-）（^）4

[333,

4、某些生化制品的有效成分如活性酶，其含量会随时间而衰减。

当有效成分的含量降至实验室要求的有效计量下，该制品便被视为失效。

制品能维持其有效剂量的时间为该制品的有效期，它显然是随机变量，记为X。

多数情况下，可以认为X服从指数分布。

设它的概率密度函数为：

0,X£0

f（x）=」d（X的单位为月）

Me®xK0

（1）从一批产品中抽取样品，测得有50%的样品有效期大于34个月，求参数■的值。

（2）若一件产品出厂12个月后还有效，再过12个月后它还有效的概率有多大？

r11—e_'xx启0

解：

指数分布的分布函数为F（x）=p{XEx>=」-

.0xcO

2

5、设K在（-1,5）上服从均匀分布，求x的方程4x4KxK^0有实根的概率。

解:

要想x有实根，则人.=B2-4AC=16K2-16K2-0则K-2或者K匕-1,

A

又因为K~U-1,5，所以P^'。

2

三、分布函数、密度函数的题目

1、

x设随机变量X的分布函数为F（x）={A+Barcsin—

（1）求系数A，B；

（2）求P<—

求x的分布密度。

ji

AB=0

2

Tt

AB=12

aa

（2）P-2X2^F

（3）因为f（x）=F（x），

■i3

则f（x）七

x：

：

a

2、

设随机变量X的分布函数为

求：

（1）常数A,B；

（2）P0*昙；

i3J

（3）X的密度函数

解：

（1）由分布函数的右连续性知:

F丨—a=0=limFx=limABarctan

xya*x>a'

a

Fa=ABarctanAB=limFx=1I.a4

ji

AB=1

，所以4=

兀

AB=0

I.4、

A1

A=-

2；

B，

71

（2）P0：

X:

:

-F0i；J；

3

（3）f（x）=Fx二二

2a

a2x2

一a：

：

x：

：

a

o

0,

其它

0,x<0

I2

3、设随机变量X的分布函数为Fx]=?

Ax,0：

x<1,

1,x"

求：

（1）常数A；

（2）PfO.3：

：

：

X：

：

：

0.7?

;（3）X的密度函数fx。

解：

（1）由分布函数的右连续性知：

F11=A=limFx二1，所以A=1；

（2）

P〈0.3：

：

X：

：

0.7；=F0.7-F0.3=0.4;

「2x,

0：

：

x:

:

1

（3）

f（x）=Fx0

L0,

其它。

x2

广x2、

A+Be^

=A=1故B=-1F（x）=*

limFx=lim

X1：

：

x）

-

1-厂

0

⑶X的密度函数为

5、设连续性随机变量X的分布函数为

F（x]A『

10,

x0

x—0.

X的密度函数fx。

求：

（1）常数A,B;

（2）P{-1：

：

X<1}；⑶

解：

（1）由分布函数的右连续性及性质知:

F10=O=limFix=limA■Be'=A：

：

；■Bab0

「5，所以［A+b=0

F：

：

"巳im：

Fx=A'

（2）P「_1：

：

x:

：

:

n-F1-F-1=1—e，；

A

Xc1

6、设随机变量X的概率密度函数为f（x）=R1-x2,

、0,x釘

⑴求常数A；

（2）求P「-0.5：

：

：

X

x-41x11

当X1时FX=JW.Jtdt」tdt1ftdt「二匚x2dt「

0x兰-1

11

所以Fxarcsinx-1：

：

x空1

2兀

7、设连续型随机变量

X的密度函数为

acosx,

0,

x<—

2

兀

x

2

求：

1系数a；2X的分布函数;

3P0：

：

X：

：

-

I4J

解:

-be

（1）由1二f（x）dx-

兀

2_acosxdx=asinx

⑵Po：

：

x

兀〕孑11-4

c—,=[4—cosxdx=—sinx0

4J沧220

0

xx1

（3）F（x）f（t）dtcostdt

二2

1

K

x:

:

-—

2

jiji

-—_x：

—

22

ji

x-

2

0

sinx1

2

1

Tt

x:

:

一一

2

jijt

_x：

—

22

ji

x

2

Ax2,

0exc1

&设随机变量X的密度函数为

f（x）=」

…、，

1.0,

其它

「1

求：

（1）常数A；

（2）

pq-1<

X£丄

（3）X的分布函数F（x）。

12

4

3

解:

（1）由1

:

:

12x1

二f（x）dx=0Axdx二A30

A=3；

（2）P丄：

X

I2

4

1

；3x2dx=x3

64

0,

xx2

（3）F（x）「一f（t）dt二03tdt,

qI0

x：

：

0

0空x:

:

1

0,

x3,

1,

x：

：

0

0乞x:

:

1

x_1

9、设随机变量X的密度函数为

0.x:

:

:

1

其它，求

（1）常数A;

（2）P—0.5：

：

X：

：

0.5?

;

（3）X

的分布函数Fx。

解：

（1）

由1「：

f（x）dx「；Axdx加

（2）

pm"x：

o.5,gdx

（3）

0,

x：

：

0

F（x）=J（t）dt=.02tdt,

0三x:

:

:

1

0,

二x2,

x：

：

0

1,

X_1

1,

x_1

四、变一般正态为标准正态分布求概率

1、调查某地方考生的外语成绩X近似服从正态分布，平均成绩为72分,

96分以上的占考生总数的2.3%。

试求：

（1）考生的外语成绩在60分至84分之间的概率；

（2）该地外语考试的及格率；

（3）若已知第三名的成绩是96分，求不及格的人数。

（G1=0.8413,G

（2）=0.977）

解：

依题意，X~N（72,；「2）且P〈X_96l=0.023

0.023=1—Pfx空961“_：

＞（）查表得一-12

CF

（1）P〈60zX^84.；=2：

：

」

（1）—1=0.6826

（2）P「X_60?

-；：

」

（1）=0.8413

2、某高校入学考试的数学成绩近似服从正态分布N65,100，如果85分以上为“优秀”，问数学成绩

为“优秀”的考生大致占总人数的百分之几。

［述〔2=0.9772

解：

依题意，X~N（65,100），85分以上学生为优秀，则

X—6585—65

pfx_85；=1-P「X：

85；=1-P—:

:

—=1-：

」2=1-0.9772=0.0228=2.28%

I1010J''

所以优秀学生为2.28%。

2

3、设某工程队完成某项工程所需时间X（天）近似服从N（100,5）。

工程队上级规定：

若工程在100

天内完工，可获得奖金7万元；在100~115天内完工可获得奖金3万元；超过115天完工，罚款4万元。

求该工程队在完成此项工程时，所获奖金的分布律。

（参考数据：

:

」3=0.9987:

」0=0.5）

p{Y=/}=p{X>115}=1—①W°°〕=1-①（3）=0.0013

I5丿

P（Y=3}=P「100：

：

：

X叮15—；：

」3]©「0二0.9987—0.5=0.4987

-4

P：

Y=7；=0.5

所以，可获奖金Y的分布律为

4、公共汽车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子的身高X~N170,62，

问车门的高度应如何确定？

（门2.33=0.99）

解：

设车门的高度为x厘米，则

f,「X—卩x—S「X—170x—170】亠,

P1X乞x；=P-xp<_1一0.01=0.99，:

'2.33=0.99

J“-IJ66

x_170

所以2.33,x:

183.98。

即车门的高度至少要183.98厘米。

6

5、公共汽车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子的身高X:

N168,72，

问车门的高度应如何确定？

（门2.33计0.99）

解：

设车门的高度为x厘米，则

X」xX-168x-168

P.X-xPP1-0.01二0.99，

.二二.77

门2.33=0.99所以xT68=2.33,x:

184.31。

即车门的高度至少要184.31厘米。

6、某地区18岁的女青年的血压（以mm-Hg计）服从N（11Q102），在该地区任选一18岁女青年，测

量她的血压X。

求：

（1）P（X<105）

（2）P（100

（①（0.5）=0.66，①

（1）=0.8413）

解：

（1）P（X乞105）-门（105-110）_：

.：

」（一0.5）=1-：

：

」（0.5）=1-0.6915=0.3085

10

+下120—110下100—110下下

P（100：

：

X乞120）八」（）~'\）=：

」

（1）一j（T）

1010

=2^

（1）-1=20.84131=0.6826

五、数学期望、方差的题目

1x,一1_x：

：

0

1、设随机变量X的概率密度为：

f（x）=*1_x,0兰x兰1,卩，其它

求：

E（X）,D（X）

解:

01

EXxfxdx=」x1xdx亠|x1-xdx=0

xdxJ

6

22022

EX=xf（x）dxx1xdx°x21-

所以DXX2—EX=丄

6

2、一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布,

1上二1-

-1001e4dx1100;e4dx

:

:

1

EY二EgXgxfxdx「0

3、假设有10只同种电器兀件，其中有两只废品，从这批兀件中任取一只，如是废品则扔掉重取一只，如仍是废品则扔掉再取一只，求：

在取到正品之前，已取出的废品数的期望和方差。

解：

设X为取到正品之前已取出的废品数，贝UX的分布为

片的号码之和，求EX

解：

设Xm表示第m次取出的号码，则Xm的分布律为

1

P、Xm=i,i=1,2,…n,m=1,2…k，

n

n

所以EXj二'丄二n-，X=X1X2Xk，

yn2

n+1

则EX二EX1X2Xkk

布函数；（3）EY2

EY2=DYE2Y二npqn2p2

6、某车间生产的圆盘直径在区间a,b服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望。

ax:

:

b

所以

7、某厂生产一种化工产品，这种产品每月的市场需求量X（吨）服从区间［0,5］上的均匀分布•这种产品生产出来后，在市场上每售出1吨可获利6万元。

如果产量大于需求量，则每多生产1吨要亏损4万元.如果产量小于需求量，则不亏损，但只有生产出来的那一部分产品能获利。

问：

为了使每月的平均利润达到最大，这种产品的月产量a应该定为多少吨？

150vxv5解：

因为X〜U（0,5）,X的概率密度为f（x）=

0

设Y为该厂每月获得的利润（单位：

万元），根据题意

f6X—4（a—X）=10X—4a丫二g（x）：

6a

其它

当X^a时

当Xa时

该厂平均每月利润为:

E（Y）二E（f（X））二

[f（x）g（x）dx

a10x「4a

）5

?

6a,

dxdx

&5

2a——+

5

c2

6a2

6a—二6a-a。

5

由空」@d"-2a=0dada

可解得

（吨）。

可见，要使得每月的平均利润达到最大,

月产量应定为

3吨。

0：

：

x：

：

2,

2_x_4,

其他.

ax,

8、设随机变量X的概率密度为f（x）=*cx+b,

、0,

3

已知E（X）=2,P（1：

：

X:

:

:

3）=

4

（2）随机变量丫二eX的数学期望。

4

2（cxb）dx

求：

（1）a,b,c的值；

2

解：

（1）1-

■be

f（x）dx二oaxdx

2cx

02

4-bx

2

-2a2b6c,

■be

.:

.xf（x）dx二

224856

0axdx亠12（cxb）xdxac6b

33

2

1axdx

35

（cxb）dxacb,'222

f

1

a+b+3c=_

2

解方程组

8a18b56c=6二

3

3a2b5c=

1

a=—

4

b=1;

1

c=—

L.4

E（Y）二E（eX）=_exf（x）dx二xexdx（x1）exdx（e2-1）2

■--0■2

9、设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周五个工

作日里无故障，可获利润10万元，发生一次故障可获利润5万元，发生两次故障获利0万元,发生三次或三次以上故障则亏损2万元，求一周内的利润期望。

解：

设一周5个工作日内发生故障的天数为X，则X~B5,0.2，设T为一周内获得的利润，

则T为离散型随机变量，其所有可能取

值为10,5,0,-2（万元）其分布律为：

p[T=10；=p「x=0.；=C00.20.85=0.328

p{T=5}=P{X=1}=C；x0.21x0.84=0.410

p：

T=0}=P：

X=2；=d0.220.8^0.205

P^T二二plx_3：

，1-Ct=10.；-「T=5?

-汁=0}=0.057

即可获利润T的分布律为：

T

-2

0

5

10

p

0.057

0.205

0.410

0.328

E（T）=-20.05700.20550.410100.328=5.21&

六、点估计（矩估计和极大似然估计）的题目

0：

x：

：

1

其他

4、设总体X具有分布律

X

1

2

3

p

日2

20（1_日）

（1-日）2

（日+1）xe

2、已知随机变量X的密度函数为f（X）=丿

.0

其中二为未知参数，求二的矩估计量与极大似然估计量。

3、设总体X概率密度为fwO：

1"；其他X<1，其中。

为未知参数，Xi,X2，…，Xn为总体的

一个样本,X1,X2,…，Xn是样本值，求参数二的矩估计量和极大似然估计量。

其中二（0十：

：

：

1）为未知参数，已知取得了样本值X1=1,X2=2,X3=1。

试求二的矩估计值和极大似然估计值。

I"X

5、设总体X的密度函数为：

f（x）=」$e1X>■0，其中日>0为未知参数

[0,X"

X1,X2/,Xn是来自总体X的样本，求参数二的矩估计量和极大似然估计量。

Ocx<1—「亠一厶,,

6、设X1,X2^,Xn为总体X的一个样本，X的密度函数f（x）=

（其中未知参数

10,

其他

0>0），x1,x2^-,xn是样本值，求参数P的矩估计量和最大似然估计量。

"n—/X

扎e,

x>0

7、设X1,X2,…,Xn为总体X的一个样本，X的密度函数f（x）=<

0,

其中未知参数’・0，X1,X2,…，Xn是样本值，求参数，的矩估计量和最大似然估计量。

A（日+1）（x-5）5£x£6.

&已知随机变量X的密度函数为f（x）=」亠…（日A—1），

0其他

其中T为未知参数，设X1,X2-,Xn为总体的一个样本，x1,x2^,xn是样本值，求参数V的矩估

计量和极大似然估计量

七、区间估计

1、为考察某大学成年男性的胆固醇水平，现抽取了样本容量为25的一个样本，并测得样本均值为X=186,样本标准差为s=12。

假定胆固醇水平X~N（」,；「2）,」与匚2均未知,求总体标准差二的置信度为

90%勺置信区间。

（瞪。

5（24）=36.415,3095（24）=13.848）

2、设某异常区磁场强度服从正态分布N（・i,；「2），现对该地区进行磁测，今抽测16个点，算得样本均值

X-12.7,样本方差s2=0.003,求出匚2的置信度为95%的置信区间。

参考数据：

（瞪025（15）=27.5,瞪975（15）=6.26,汛25（16）=28.845,瞪.975（16）=7.564）

3、某单位职工每天的医疗费服从正态分布N（巴/），现抽查了25天，得2=170,s=30求职工每天

医疗费均值」的置信水平为0.95的置信区间。

（10.02524-2.064t°.0524-1.711）

4、某超市抽查80人，调查他们每月在酱菜上的平均花87费，发现平均值为X=5.9元，样本标准差S=1.2

元。

求到超市人群每月在酱菜上的平均花费J的置信度为95%的区间估计。

（t0.025（8^_1）U0.025-1.96,t0.05（80_1），＞U0.05-1.65）

5、随机地取某种炮弹9发做试验，测得炮口速度的样本标准差s=11ms，设炮口速度服从正态分布，求

这种炮弹的炮口速度的标准差二的置信度为0.95的置信区间。

2222

0.975（8）=2.18,0.025（8）=17.535,。

.975（9）=2.7,0.025（9）=19.023

6、从某商店一年来的发票存根中随机抽取26张,算得平均金额为78.5元,样本标准差为20元。

假定发

票金额服从正态分布，求该商店一年来发票平均金额的置信度为90%勺置信区间。

（t°.05（25）=1.7081如5（26）=1.7056,如25（25）=2.0595,如25（26）=2.0555）

八、假设检验

1、设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取25位考生的成绩，算得平均成绩为亲=66分，

标准差s=20分，问在显著性水平〉二0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为71分？

并给出检验过程。

（参考数据：

t0.025（24）=2.0639，t0.05（24）=1.7109）

2、机器自动包装食盐，设每袋盐的净重服从正态分布，要求每袋盐的标准重量为500克。

某天开工后，

为了检验机器是否正常工作，从已经包装好的食盐中随机取9袋，测得样本均值x=499,样本方差

22

S16.03.问这天自动包装机工作是否正常（〉=0.05）？

（参考数据：

10.0258=2.