概率统计习题册答案.docx

1、概率统计习题册答案4、概率公式的题目1、已知 P(瓦)= 0.3, P(B ) = 0.4, P(A )=0.5,求 P(BAjB)lP(B AB 戶 P(AB=_P(A)丁(AB ) _P(AuB) P(A)+P(B )-P(AB)2、已知 P(A)=0.7, P(B )=0.4, P(AB )=0.2,求 P(AAjB)l解:P(A AB )=P(AB )p A p b -p Ab0.2 20.7 0.2 一 9e3、已知随机变量 X : P(1),即卩X有概率分布律 P1X=k (k=0,1,2),k!并记事件 A=X2, B = Xd。求:( 1)P(AuB); ( 2) P(AB);

2、 ( 3) P( B A )。解：(1)P A B =1 - P A _ B =1 P(AB) =1 - PX ： 2,X _ 1 =1 - PX =1丄 1 e，；(2) P A-B 二 P(AB)二 PX _2,X _1 ； = PX _2 ；=1 - PX =0 -P：X =1 ； = 1-2e；” P(BA) px1,Xv2 px=。 e-1 1(3)P (B A ) = = ! = = = 一P(A A B)=P(A侨(A 旦)=P(A B)=P(A) PX = -.0 x cO25、设K在(-1, 5)上服从均匀分布，求 x的方程4x 4Kx K 0有实根的概率。解:要想x有实根，

3、则人.=B2 -4AC =16K2-16 K 2 -0则K -2或者K匕-1 ,A又因为KU -1,5，所以P 。2三、分布函数、密度函数的题目1、x 设随机变量X的分布函数为F(x) = A+Barcsin(1)求系数 A，B ； (2)求 Pa aF a = A B arctan A B = lim F x = 1 I. a 4jiA B =1，所以 4 =兀A B =0I. 4 、A 1A = -2 ；B，71(2) P 0 ： X :-F 0i；J ；3(3) f (x) =F x 二二2aa2 x2一 a ： x ： ao0,其它0, x0I 23、设随机变量X的分布函数为 F x=

4、?Ax, 0 ： x 1 ,1, x求：（1）常数 A ； （2） PfO.3：X ： 0.7?; （3） X 的密度函数 f x 。解：（1）由分布函数的右连续性知：F 11 = A = lim F x 二 1，所以 A = 1 ；（2）P0.3 ：X ：0.7；=F 0.7 -F 0.3 =0.4;2x,0 ： x : 1（3）f (x) = F x 0L 0,其它。x2广 x2、A + Be=A = 1 故 B = -1 F (x )= * jlim F x = limX 1 ： ： x )-1 -厂0 X的密度函数为5、设连续性随机变量X的分布函数为F(xA10,x 0x 0.X的密度

5、函数f x。求：（1）常数 A, B; （2） P-1 ：X 1； 解：(1)由分布函数的右连续性及性质知:F 10 =O = lim Fix =lim A Be = A：； B a b 05 ，所以A+b = 0F ：巳im：F x =A (2) P_1 ：x :：:n -F 1 -F -1 =1e，；A, X c 16、设随机变量X的概率密度函数为 f(x)=R1-x2 ,、0 , x 釘 求常数A ； (2)求P-0.5：X O.5f ； (3)求X的分布函数。x -4 1 x 1 1当X 1 时 FX= JW.Jtdttdt 1ftdt二匚x2dt0 x 兰-11 1所以 F x ar

6、csinx -1 ： x 空 12 兀7、设连续型随机变量X的密度函数为a cos x,0,x 2兀x2求：1系数a ； 2 X的分布函数;3 P 0 ： X ：-I 4J解:, -be(1 )由 1 二 f (x) dx -兀2_acosxdx =as inx P o ：x兀孑1 1 -4c ,= 4cosxdx = sinx 04J 沧 2 2 00x x 1(3) F(x) f (t)dt costdt二 21Kx :-2ji ji-_ x ：2 2jix -20sin x 121Ttx : 一一2ji jt_ x ：2 2jix2Ax2,0 ex c1&设随机变量X的密度函数为f (x

7、 )= 、 ，1. 0,其它1求：（1）常数A ；(2)pq-1 115 = 1 W=1 -（3） = 0.0013I 5丿P（Y =3= P100 ： X 叮15；：3 0 二 0.9987 0.5 = 0.4987-4P：Y =7 ；=0.5所以，可获奖金Y的分布律为4、公共汽车门的高度是按男子与车门碰头的机会在 0.01以下来设计的，设男子的身高 X N 170,6 2 ，问车门的高度应如何确定？（ 门2.33 =0.99）解：设车门的高度为x厘米，则f , X卩 x S X 170 x170】 亠,P1X 乞x ； = P - x p _1一0.01=0.99， : 2.33 =0.9

8、9J “ - I J 6 6x _ 170所以 2.33, x : 183.98。即车门的高度至少要 183.98厘米。65、公共汽车门的高度是按男子与车门碰头的机会在 0.01以下来设计的，设男子的身高 X : N 168,7 2 ，问车门的高度应如何确定？ （门2.33计0.99）解：设车门的高度为x厘米，则Xx X -168 x-168P .X - x P P 1 - 0.01 二 0.99，.二 二 .7 7门 2.33 =0.99 所以xT68 =2.33, x : 184.31。即车门的高度至少要 184.31厘米。6、某地区18岁的女青年的血压（以 mm-Hg计）服从N（11Q1

9、02），在该地区任选一 18岁女青年，测量她的血压 X。求：（1） P （X 105） （2） P （100X 120。（0.5）=0.66 ，（1）=0.8413）解：（1） P（X 乞 105）-门（105 -110）_ ：.：（一0.5） =1 -：（0.5） =1 -0.6915 =0.308510+ 下 120110 下 100110 下 下P（100 ： X 乞 120）八（ ） ）=：（1）一 j（T）10 10= 2（1） -1 =2 0.8 4 1 31 =0.6 8 2 6五、数学期望、方差的题目1 x, 一 1 _ x ： 01、设随机变量X的概率密度为：f(x) = *

10、1_x, 0兰x兰1 , 卩， 其它求：E(X), D(X)解:0 1E X xf x dx =x 1 x dx 亠 | x 1 - x dx = 0x dx J62 2 0 2 2E X = xf(x)dx x 1 x dx x2 1 -所以 D X X2 EX =丄62、一工厂生产的某种设备的寿命X (以年计)服从指数分布,1 上 二 1 -100 1e4dx 1 100 ;e4dx: 1E Y 二 E g X g x f x dx03、假设有10只同种电器兀件，其中有两只废品，从这批兀件中任取一只，如是废品则扔掉重 取一只，如仍是废品则扔掉再取一只，求：在取到正品之前，已取出的废品数的期

11、望和方 差。解：设X为取到正品之前已取出的废品数，贝U X的分布为片的号码之和，求E X解：设Xm表示第m次取出的号码，则Xm的分布律为1P、Xm =i ,i =1,2,n,m =1,2k，nn所以 E Xj 二 丄二n -，X = X1 X2 Xk，y n 2n +1则 E X 二 E X1 X2 Xk k布函数； （3） E Y2E Y2 =D Y E2 Y 二 npq n2 p26、某车间生产的圆盘直径在区间 a,b服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望。a x : b所以7、某厂生产一种化工产品，这种产品每月的市场需求量 X (吨)服从区间0 , 5 上的均匀 分布这种产品生产出来后，在

12、市场上每售出 1吨可获利6万元。如果产量大于需求量，则 每多生产1吨要亏损4万元.如果产量小于需求量，则不亏损，但只有生产出来的那一部分 产品能获利。问：为了使每月的平均利润达到最大，这种产品的月产量a应该定为多少吨？15 0 v x v 5 解：因为XU(0,5) , X的概率密度为 f(x) =0设Y为该厂每月获得的利润(单位：万元)，根据题意f6X 4(aX)=10X 4a 丫二g(x)：6a其它当Xa时当X a时该厂平均每月利润为:E(Y)二 E(f(X)二f(x)g(x)dxa 10x4a) 5, ?6a ,dx dx& 52 a +5c 26a 26 a 二 6 a - a 。5由

13、空 d -2a =0 da da可解得(吨)。可见，要使得每月的平均利润达到最大,月产量应定为3吨。0 ： x ： 2,2 _x _4,其他.ax,8、设随机变量X的概率密度为f(x) = *cx + b,、0 ,3已知 E(X) =2, P(1 ： X : 3)=4(2)随机变量丫二eX的数学期望。42 (cx b)dx求：(1) a, b, c 的值；2解：(1) 1 -bef (x)dx 二 o axdx2 cx0 24 - bx2-2a 2b 6c,be.:.xf(x)dx 二2 2 4 8 560 ax dx 亠 12(cx b)xdx a c 6b3 321axdx3 5(cx b

14、)dx a c b , 2 2 2f1a +b +3c = _2解方程组8a 18b 56c =6二33a 2b 5c =1a =4b =1 ;1c =L. 4E(Y)二 E(eX) = _exf(x)dx 二 xexdx ( x 1)exdx (e2 -1)2- - 0 29、设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周五个工作日里无故障，可获利润10万元，发生一次故障可获利润5万元，发生两次故障获利0万元, 发生三次或三次以上故障则亏损2万元，求一周内的利润期望。解：设一周5个工作日内发生故障的天数为 X，则X B 5,0.2，设T为一周内获得的利润，则T

15、为离散型随机变量，其所有可能取值为10,5,0, -2 （万元）其分布律为：pT =10 ； = px =0.；=C0 0.2 0.85 =0.328pT =5=PX =1 = C；x0.21x0.84=0.410p：T =0 =P：X =2； = d 0.22 0.80.205PT 二 二 plx _3：，1 -Ct =10.；-T =5?-汁=0 = 0.057即可获利润T的分布律为：T-20510p0.0570.2050.4100.328E(T)=-2 0.057 0 0.205 5 0.410 10 0.328 = 5.21 &六、点估计（矩估计和极大似然估计）的题目0 ： x ： 1

16、其他4、设总体X具有分布律X123p日220（1 _日）（1-日）2（日 +1）xe2、已知随机变量 X的密度函数为f（X）=丿.0其中二为未知参数，求 二的矩估计量与极大似然估计量。3、设总体X概率密度为fwO：1；其他X 0，其中日 0为未知参数0, XX1,X2 / ,Xn是来自总体X的样本，求参数 二的矩估计量和极大似然估计量。Ocx0）， x1,x2- , xn是样本值，求参数 P的矩估计量和最大似然估计量。n /X扎e ,x 07、设X1,X2,Xn为总体X的一个样本，X的密度函数f（x） = 0,其中未知参数0，X1,X2,，Xn是样本值，求参数，的矩估计量和最大似然估计量。A

17、（日 +1）（x-5） 5 x 6 .&已知随机变量X的密度函数为 f（x） = 亠 （日A1），,0 其他其中T为未知参数，设 X1 ,X2 - ,Xn为总体的一个样本，x1,x2 ,xn是样本值，求参数V的矩估计量和极大似然估计量七、区间估计1、 为考察某大学成年男性的胆固醇水平 ，现抽取了样本容量为 25的一个样本，并测得样本均值为X =186, 样本标准差为s =12。假定胆固醇水平 X N(,；2),与匚2均未知,求总体标准差二的置信度为90%勺置信区间。(瞪。5(24) =36.415, 3095(24)=13.848)2、 设某异常区磁场强度服从正态分布 N(i,；2)，现对该地

18、区进行磁测，今抽测 16个点，算得样本均值X -12.7,样本方差s2 =0.003 ,求出匚2的置信度为95%的置信区间。参考数据：(瞪025(15) =27.5,瞪975(15) =6.26,汛25(16) =28.845,瞪.975(16) = 7.564 )3、 某单位职工每天的医疗费服从正态分布 N(巴/)，现抽查了 25天，得2 = 170, s=30求职工每天医疗费均值的置信水平为0.95的置信区间。(10.025 24 - 2.064 t.05 24 - 1.711)4、 某超市抽查80人，调查他们每月在酱菜上的平均花 87费，发现平均值为X=5.9元，样本标准差S = 1.2

19、元。求到超市人群每月在酱菜上的平均花费 J的置信度为95%的区间估计。(t0.025(8_1) U0.025 - 1.96 , t0.05 (80 _1) ，U0.05 - 1.65)5、 随机地取某种炮弹9发做试验，测得炮口速度的样本标准差 s=11 ms，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差 二的置信度为0.95的置信区间。2 2 2 20.975(8)=2.18, 0.025(8)=17.535,。.975(9) =2.7, 0.025(9)=19.0236、 从某商店一年来的发票存根中随机抽取 26张,算得平均金额为 78.5元,样本标准差为20元。假定发票金额服从正态

20、分布，求该商店一年来发票平均金额的置信度为 90%勺置信区间。（t.05（25） =1.7081如5（26） =1.7056,如25（25） =2.0595,如25（26） =2.0555）八、假设检验1、 设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取 25位考生的成绩，算得平均成绩为 亲=66分，标准差s =20分，问在显著性水平二0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 71分？并给出检验过程。（参考数据：t0.025（24） = 2.0639，t0.05（24） =1.7109）2、 机器自动包装食盐，设每袋盐的净重服从正态分布，要求每袋盐的标准重量为 500克。某天开工后，为了检验机器是否正常工作， 从已经包装好的食盐中随机取 9袋，测得样本均值x=499,样本方差2 2S 16.03 .问这天自动包装机工作是否正常（=0.05 ） ？（参考数据：10.025 8 =2.