重点推荐高中数学 第2章 概率 23 独立性教学案 苏教版选修23.docx

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重点推荐高中数学第2章概率23独立性教学案苏教版选修23

2.3独立性

第1课时　条件概率

三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学无放回地抽取．

问题1：

三名同学抽到中奖奖券的概率相等吗？

提示：

相等．

问题2：

求第一名同学没有抽到中奖奖券的概率．

提示：

用A表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”，

则P（A）＝.

问题3：

求最后一名同学抽到中奖奖券的概率．

提示：

用B表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”，

则P（B）＝.

问题4：

如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少？

提示：

用C表示事件“在第一名同学没有中奖的前提下，最后一名同学抽到中奖奖券”．事件C可以理解为还有两张奖券，其中一张能中奖，则P（C）＝.

1．条件概率的概念

一般地，对于两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为事件B发生的条件下事件A的条件概率，记为P（A|B）．

2．条件概率的计算公式

（1）一般地，若P（B）>0，则事件B已发生的条件下A发生的条件概率是P（A|B）＝．

（2）利用条件概率，我们有P（AB）＝P（A|B）P（B）．

1．由条件概率的定义可知，P（A|B）与P（B|A）是不同的；另外，在事件B发生的前提下，事件A发生的可能性大小不一定是P（A），即P（A|B）与P（A）不一定相等．

2．在条件概率的定义中，要强调P（B）>0.

3．P（A|B）＝可变形为P（AB）＝P（A|B）P（B），即只要知道其中两个值就可以求得第三个值．

　　[例1]　抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．

（1）求P（A），P（B），P（AB）；

（2）当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的概率为多少？

[思路点拨]　根据古典概型的概率公式及条件概率公式求解．

[精解详析]　

（1）

设x表示抛掷红色骰子所得到的点数，用y表示抛掷蓝色骰子所得到的点数，则试验的基本事件总数的全集Ω＝{（x，y）|x∈N，y∈N，1≤x≤6，1≤y≤6}，如图所示，由古典概型计算公式可知：

P（A）＝＝，P（B）＝＝，P（AB）＝.

（2）P（B|A）＝＝＝.

[一点通]　利用P（A|B）＝求条件概率的一般步骤：

（1）计算P（B）；

（2）计算P（AB）（A，B同时发生的概率）；

（3）利用公式P（A|B）＝计算．

其中

（1）

（2）可利用古典概型等有关计算概率的方法求解．

1．袋中有5个小球（3白2黑），现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是________．

解析：

记事件A为“第一次取到白球”，事件B为“第二次取到白球”，则事件AB为“两次都取到白球”，依题意知P（A）＝，P（AB）＝×＝，所以在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是P（B|A）＝.

答案：

2．一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能的．已知这个家庭有一个是女孩，问另一个小孩是男孩的概率是多少？

解：

一个家庭的两个小孩只有4种可能：

{两个都是男孩}，{第一个是男孩，第二个是女孩}，{第一个是女孩，第二个是男孩}，{两个都是女孩}．由题意知这4个事件是等可能的，A＝“其中一个女孩”，B＝“其中一个男孩”，则A＝{（男，女），（女，男），（女，女）}，B＝{（男，男），（男，女），（女，男）}，AB＝{（男，女），（女，男）}．

∴P（AB）＝，P（A）＝.

∴P（B|A）＝＝＝.

3．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求

（1）第1次抽到舞蹈节目的概率；

（2）第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；

（3）在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．

解：

设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.

（1）从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为

A＝30，

根据分步计数原理第1次抽到舞蹈节目的事件数为AA＝20，

于是P（A）＝＝.

（2）因为第1次和第2次都抽到舞蹈节目的事件数为A＝12，

于是P（AB）＝＝.

（3）由

（1）

（2）可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为

P（B|A）＝＝＝.

　　[例2]　有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：

先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球，若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验为成功．求试验成功的概率．

[思路点拨]　

→→

[精解详析]　设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}，

B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}，

R＝{第二次取出的球是红球}，

W＝{第二次取出的球是白球}，

则容易求得P（A）＝，P（B）＝，

P（R|A）＝，P（W|A）＝，

P（R|B）＝，P（W|B）＝.

事件“试验成功”表示为RA＋RB，又事件RA与事件RB互斥，故由概率的加法公式，得

P（RA＋RB）＝P（RA）＋P（RB）

＝P（R|A）·P（A）＋P（R|B）·P（B）

＝×＋×＝0.59.

[一点通]　为了求得比较复杂事件的概率．往往可以先把它分解成两个（或若干个）互斥的较简单事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．

4．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占，而且三好学生中女生占一半．现在从该班同学中任选一名参加某一座谈会．则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为________．

解析：

设事件A表示“任选一名同学是男生”；事件B为“任取一名同学为三好学生”，则所求概率为P（B|A）．

依题意得P（A）＝＝，P（AB）＝＝.

故P（B|A）＝＝＝.

答案：

5．在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中5道题就获得优秀，已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．

解：

设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，而另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A＋B＋C，E＝A＋B.

由古典概型的概率公式及加法公式可知

P（D）＝P（A＋B＋C）

＝P（A）＋P（B）＋P（C）

＝＋＋，

P（AD）＝P（A），P（BD）＝P（B），

P（E|D）＝P（A∪B|D）＝P（A|D）＋P（B|D）．

＋＝＋＝.

故所求的概率为.

1．P（A|B）表示事件A在“事件B已发生”这个附加条件下的概率，与没有这个附加条件的概率是不同的．也就是说，条件概率是在原随机试验的条件上再加上一定的条件，求另一事件在此“新条件”下发生的概率．

2．若事件A，C互斥，则P[（A＋C）|B]＝P（A|B）＋P（C|B）．

课下能力提升（十二）

一、填空题

1．已知P（AB）＝，P（B）＝，则P（A|B）＝________．

解析：

P（A|B）＝＝＝.

答案：

2．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________．

解析：

设事件A为“第一次取到不合格品”，事件B为“第二次取到不合格品”，则P（AB）＝，

所以P（B|A）＝＝＝.

答案：

3．把一枚骰子连续抛掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为________．

解析：

“第一次抛出偶数点”记为事件A，“第二次抛出偶数点”记为事件B，则P（A）＝＝，P（AB）＝＝.

所以P（B|A）＝＝＝.

答案：

4．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“三个人去的景点不相同”，B＝“甲独自去一个景点”，则概率P（A|B）等于________．

解析：

由题意知，P（B）＝＝，P（AB）＝＝.

∴P（A|B）＝＝＝.

答案：

5．设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它能活到25岁的概率是________．

解析：

设动物活到20岁的事件为A，活到25岁的事件为B，则P（A）＝0.8，P（B）＝0.4，由AB＝B，

所以P（AB）＝P（B）．

所以P（B|A）＝＝＝＝0.5.

答案：

0.5

二、解答题

6．某个班级有学生40人，其中有共青团员15人，全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中共青团员4人，如果要在班里任选一人当学生代表，那么这个代表恰好在第一小组里的概率是多少？

现在要在班级任选一个共青团员当团员代表，问这个代表恰好在第一小组的概率是多少？

解：

设A＝{在班里任选一个学生，该学生属于第一小组}，B＝{在班里任选一个学生，该学生是共青团员}，

P（A）＝＝，即这个代表恰好在第一小组里的概率是.

P（A|B）＝＝＝，即这个团员代表恰好在第一小组的概率为.

7．任意向x轴上（0，1）这一区间内投掷一个点，问

（1）该点落在区间内的概率是多少；

（2）在

（1）的条件下，求该点落在内的概率．

解：

由题意可知，任意向（0，1）这一区间内投掷一点，该点落在（0，1）内哪个位置是等可能的．

令A＝，由几何概型的计算公式可知．

（1）P（A）＝＝.

（2）令B＝，

则AB＝，

故在A的条件下B发生的概率为

P（B|A）＝＝＝.

8．某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校的义务劳动，在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．

解：

记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B.

P（A）＝＝＝，P（BA）＝＝，

P（B|A）＝＝，即在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为.

第2课时　事件的独立性

有这样一项活动：

甲箱里装有3个白球，2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球，从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A＝“从甲箱里摸出白球”，B＝“从乙箱里摸出白球”．

问题1：

事件A发生会影响事件B发生的概率吗？

提示：

不影响．

问题2：

试求P（A），P（B）．

提示：

P（A）＝，P（B）＝.

问题3：

P（A|B）与P（A）相等吗？

提示：

相等．

问题4：

P（AB）为何值？

提示：

∵P（A|B）＝＝P（A），

∴P（AB）＝P（A）·P（B）＝×＝.

事件的独立性

概念

一般地，若事件A，B满足P（A|B）＝P（A），则称事件A，B独立

性质

（1）若A，B独立，且P（A）>0，则B，A也独立，即A与B相互独立

（2）约定任何事件与必然事件独立，任何事件与不可能事件独立，则两个事件A，B相互独立的充要条件是P（AB）＝P（A）P（B）

概率计算公式

（1）若事件A与B相互独立，则A与B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率之积，即P（AB）＝P（A）P（B）.

（2）推广：

若事件A1，A2，…，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P（A1A2…An）＝P（A1）·P（A2）…P（An）

结论

如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立.

1．事件A与B相互独立就是事件A（或B）是否发生不影响事件B（或A）发生的概率．

2．相互独立事件同时发生的概率：

P（AB）＝P（A）P（B），这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积．

　　[例1]　容器中盛有5个白球和3个黄球．

（1）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”这两个事件是否相互独立？

为什么？

（2）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取出的1个白球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？

为什么？

[思路点拨]　从相互独立事件的定义入手判断．

[精解详析]　

（1）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．

（2）由于把取出的白球放回容器，故对“从中任意取出1个，取出的是黄球”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．

[一点通]　解决此类问题常用的两种方法：

（1）定量计算法：

利用相互独立事件的定义（即P（AB）＝P（A）P（B））可以准确地判定两个事件是否相互独立．

（2）定性判断法：

看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件；有影响就不是相互独立事件．

1．同时掷两颗质地均匀的骰子，A＝{第一颗骰子出现奇数点}，B＝{第二颗骰子出现偶数点}，判断事件A，B是否相互独立．

解：

同时掷两颗质地均匀的骰子，则

A＝{第一颗骰子出现1，3，5点}，共有3种结果．

B＝{第二颗骰子出现2，4，6点}，共有3种结果．

AB＝{第一颗骰子出现奇数点，第二颗骰子出现偶数点}，

共有C·C＝9种结果．

由于每种结果的出现均是等可能的，由古典概型的有关知识可知

P（A）＝＝，P（B）＝＝，P（AB）＝＝＝.

∴P（AB）＝P（A）·P（B），

即事件A、事件B相互独立．

2．分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设A是事件“第1枚为正面”，B是事件“第2枚为正面”，C是事件“2枚结果相同”，问：

A，B，C中哪两个相互独立？

解：

P（A）＝0.5，P（B）＝0.5，P（C）＝0.5，

P（AB）＝0.25，P（BC）＝0.25，P（AC）＝0.25，可以验证：

P（AB）＝P（A）P（B），P（BC）＝P（B）P（C），P（AC）＝P（A）P（C）．

∴事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C相互独立．

　　[例2]　制造一种零件，甲机床的正品率为0.90，乙机床的正品率为0.80，分别从它们制造的产品中任意抽取一件．

（1）两件都是正品的概率；

（2）两件都是次品的概率；

（3）恰有一件正品的概率．

[思路点拨]　两件都是正品（次品）的概率，就是正品（次品）的概率相乘；恰有一件正品的概率要用到互斥事件．

[精解详析]　记“从甲机床抽到正品”为事件A，“从乙机床抽到正品”为事件B，“抽取的两件产品中恰有一件正品”为事件C，由题意知A，B是相互独立事件．

（1）P（AB）＝P（A）·P（B）＝0.90×0.80＝0.72；

（2）P（）＝P（）·P（）＝0.10×0.20＝0.02；

（3）P（C）＝P（A）＋P（B）＝P（A）·P（）＋P（）·P（B）＝0.90×0.20＋0.10×0.80＝0.26.

[一点通]　解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义．若A，B相互独立，是A与B，A与B，A与B也是相互独立的．

3．甲射击命中目标的概率为，乙射击命中目标的概率为，当两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概率为________．

解析：

P＝×＋×＋×＝.

答案：

4．在一次班委干部的选任中，甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为P（甲）＝0.8，P（乙）＝0.6，P（丙）＝0.5，且知三人在选举中互不影响，则三人都被选上的概率为________，三人中至少有一人被选上的概率为________．

解析：

三人都被选上的概率为

P1＝P（甲）·P（乙）·P（丙）＝0.8×0.6×0.5＝0.24.

三人中至少有一人被选中的概率为

P2＝1－（1－P（甲））·（1－P（乙））·（1－P（丙））

＝1－0.2×0.4×0.5＝1－0.04＝0.96.

答案：

0.24　0.96

5．一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求：

（1）第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；

（2）第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率．

解：

记：

“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B，“第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球”的事件为C，很明显，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互独立事件．

（1）P（AB）＝P（A）P（B）＝·＝·＝.

故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是.

（2）P（CA）＝P（C）P（A）＝·＝·＝.

故第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率是.

　　[例3]　某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）．设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为，，，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：

（1）获赔的概率；

（2）获赔金额X的概率分布．

[思路点拨]　

（1）利用对应条件去求获赔的概率；

（2）分析X的所有取值，写出概率分布．

[精解详析]　设Ak表示第k辆车在一年内发生此种事故，

k＝1，2，3，由题意知A1，A2，A3独立，且P（A1）＝，P（A2）＝，P（A3）＝.

∴P（A1）＝，P

（2）＝，P（3）＝，

（1）该单位一年内获赔的概率为

1－P（123）＝1－P

（1）P

（2）P（3）

＝1－××＝.

（2）X的所有可能值为0，9000，18000，27000.

P（X＝0）＝P（123）＝P

（1）P

（2）P（3）

＝××＝，

P（X＝9000）＝P（A123）＋P（1A23）＋P（12A3）

＝P（A1）P

（2）P（3）＋P

（1）P（A2）P（3）＋P

（1）P

（2）P（A3）

＝××＋××＋××

＝＝，

P（X＝18000）＝P（A1A23）＋P（A12A3）＋P（1A2A3）

＝P（A1）P（A2）P（3）＋P（A1）P

（2）P（A3）＋P

（1）P（A2）P（A3）

＝××＋××＋××

＝＝.

P（X＝27000）＝P（A1A2A3）＝P（A1）P（A2）P（A3）

＝××＝.

综上知，X的概率分布为

X

0

9000

18000

27000

P

　　[一点通]　解决此类问题要明确事件中关键词的意义，将事件合理分析：

已知两个事件A，B，它们的概率分别为P（A），P（B），则A，B中至少有一个发生的事件为A＋B；A，B都发生的事件为AB；A，B都不发生的事件为A－B－；A，B恰有一个发生的事件为AB－＋A－B；A，B中至多有一个发生的事件为AB－＋A－B＋A－B－.

6．2014年3月30日，深圳迎来今年首场强降雨．天气预报提示在未来24小时，深圳A，B两地区有强降雨的概率分别为，.则A，B两地在未来24小时至少有一处有强降雨的概率为________．（假设A，B两地距离较远，是否降雨相互独立）

解析：

转化为对立事件求解：

P＝1－×＝1－＝.

答案：

7．某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计，甲、乙、丙三人100m跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别是，，.如果对这三名短跑运动员的100m跑成绩进行一次检测；

（1）三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？

（2）出现恰有几人合格的概率最大？

解：

设“甲、乙、丙三人100m跑合格”分别为事件A，B，C，显然A，B，C相互独立，P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝，

所以P（A）＝1－＝，P（B）＝1－＝，

P（C）＝1－＝.

设恰有k人合格的概率为Pk（k＝0，1，2，3）．

（1）三人都合格的概率为

P3＝P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）＝××＝.

三人都不合格的概率为

P0＝P（A－B－C－）＝P（A－）P（B－）P（C－）＝××＝.

所以三人都合格的概率与三人都不合格的概率都是.

（2）因为ABC－，AB－C，A－BC两两互斥，所以恰有两人合格的概率为P2＝P（ABC－＋AB－C＋A－BC）

＝P（ABC－）＋P（AB－C）＋P（A－BC）

＝P（A）P（B）P（C－）＋P（A）P（B－）P（C）＋P（A－）P（B）P（C）

＝××＋××＋××＝.

恰有一人合格的概率为P1＝1－P0－P2－P3＝1－－－＝＝.由

（1）

（2）知P0，P1，P2，P3中P1最大，所以出现恰有一人合格的概率最大．

相互独立事件常与互斥事件、对立事件综合考查，解决此类问题的一般步骤：

（1）列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；

（2）理清事件之间的关系（互斥、对立、相互独立），列出关系式；

（3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；

（4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．

课下能力提升（十三）

一、填空题

1．坛子中放有3个白球和2个黑球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1和A2是________事件．

解析：

由题意知，A1是否发生，对A2发生的概率没有影响，所以A1和A2是相互独立事件．

答案：

相互独立

2．有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按装潢可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，这一事件的概率是________．

解析：

设“任取一书是文科书”的事件为A，“任取一书是精装书”的事件为B，则A，B是相互独立的事件，所求概率为P（AB）．

据题意可知P（A）＝＝，P（B）＝＝，

故P（AB）＝P（A）P（B）＝×＝.

答案：

3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为________．

解析：

问题等价为两类：

第一类，第一局甲赢，其概率P1＝；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2＝×＝.故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝.

答案：

4．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一个被录取的概率为________．

解析：

P＝0.6×0.3＋0.4×0.7＋0.6×0.7＝0.88.

答案：

0.88

5．一项“过关游戏”规则规定：

在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过关，那么，连过前两关的概率是________．

解析：

设过第一关为事件A，当抛掷一次出现的点数为2，3，4，5，6点中之一时，通过第一关，所以P（A）＝.设过第二关为事件B，记两次骰子出现的点数为（x，y），共有36种情况，第二关不能过有如下6种情况（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．

P（B）＝1－P（B）＝1－＝.

所以连过前两关的概率为：

P（A）P（B）＝.

答案：

二、解答题

6．天气预报，在元旦假期甲地的