重点推荐高中数学 第2章 概率 23 独立性教学案 苏教版选修23.docx

1、重点推荐高中数学 第2章 概率 23 独立性教学案 苏教版选修232.3 独立性第1课时条 件 概 率三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学无放回地抽取问题1：三名同学抽到中奖奖券的概率相等吗？提示：相等问题2：求第一名同学没有抽到中奖奖券的概率提示：用A表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”，则P(A).问题3：求最后一名同学抽到中奖奖券的概率提示：用B表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”，则P(B).问题4：如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少？提示：用C表示事件“在第一名同学没有中奖的前提下，最后一名同学抽到中奖奖券”事件C可以理解为还有两

2、张奖券，其中一张能中奖，则P(C).1条件概率的概念一般地，对于两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为事件B发生的条件下事件A的条件概率，记为P(A|B)2条件概率的计算公式(1)一般地，若P(B)0，则事件B已发生的条件下A发生的条件概率是P(A|B)(2)利用条件概率，我们有P(AB)P(A|B)P(B)1由条件概率的定义可知，P(A|B)与P(B|A)是不同的；另外，在事件B发生的前提下，事件A发生的可能性大小不一定是P(A)，即P(A|B)与P(A)不一定相等2在条件概率的定义中，要强调P(B)0.3P(A|B)可变形为P(AB)P(A|B)P(B)，即只要知道

3、其中两个值就可以求得第三个值例1抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；(2)当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的概率为多少？思路点拨根据古典概型的概率公式及条件概率公式求解精解详析(1)设x表示抛掷红色骰子所得到的点数，用y表示抛掷蓝色骰子所得到的点数，则试验的基本事件总数的全集(x，y)|xN，yN，1x6，1y6，如图所示，由古典概型计算公式可知：P(A)，P(B)，P(AB).(2)P(B|A).一点通利用P(A|B)求条件概率的一般步骤：(1)计算P(B)；(2)计算P(A

4、B)(A，B同时发生的概率)；(3)利用公式P(A|B)计算其中(1)(2)可利用古典概型等有关计算概率的方法求解1袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是_解析：记事件A为“第一次取到白球”，事件B为“第二次取到白球”，则事件AB为“两次都取到白球”，依题意知P(A)，P(AB)，所以在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是P(B|A).答案：2一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能的已知这个家庭有一个是女孩，问另一个小孩是男孩的概率是多少？解：一个家庭的两个小孩只有4种可能：两个都是男孩，第一个是男

5、孩，第二个是女孩，第一个是女孩，第二个是男孩，两个都是女孩由题意知这4个事件是等可能的，A“其中一个女孩”，B“其中一个男孩”，则A(男，女)，(女，男)，(女，女)，B(男，男)，(男，女)，(女，男)，AB(男，女)，(女，男)P(AB)，P(A).P(B|A).3现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率解：设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.

6、(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为A30，根据分步计数原理第1次抽到舞蹈节目的事件数为AA20，于是P(A).(2)因为第1次和第2次都抽到舞蹈节目的事件数为A12，于是P(AB).(3)由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A).例2有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个其中，第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球，若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任

7、取一个球如果第二次取出的是红球，则称试验为成功求试验成功的概率思路点拨精解详析设A从第一个盒子中取得标有字母A的球，B从第一个盒子中取得标有字母B的球，R第二次取出的球是红球，W第二次取出的球是白球，则容易求得P(A)，P(B)，P(R|A)，P(W|A)，P(R|B)，P(W|B).事件“试验成功”表示为RARB，又事件RA与事件RB互斥，故由概率的加法公式，得P(RARB)P(RA)P(RB)P(R|A)P(A)P(R|B)P(B)0.59.一点通为了求得比较复杂事件的概率往往可以先把它分解成两个(或若干个)互斥的较简单事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概

8、率4高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占，而且三好学生中女生占一半现在从该班同学中任选一名参加某一座谈会则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为_解析：设事件A表示“任选一名同学是男生”；事件B为“任取一名同学为三好学生”，则所求概率为P(B|A)依题意得P(A)，P(AB).故P(B|A).答案：5在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中5道题就获得优秀，已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率解：设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5

9、道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，而另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且DABC，EAB.由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)P(ABC)P(A)P(B)P(C)，P(AD)P(A)，P(BD)P(B)，P(E|D)P(AB|D)P(A|D)P(B|D).故所求的概率为.1P(A|B)表示事件A在“事件B已发生”这个附加条件下的概率，与没有这个附加条件的概率是不同的也就是说，条件概率是在原随机试验的条件上再加上一定的条件，求另一事件在此“新条件”下发生的概率2若事件A，C互斥，则P(AC)|BP

10、(A|B)P(C|B)课下能力提升(十二)一、填空题1已知P(AB)，P(B)，则P(A|B)_解析：P(A|B).答案：2在100件产品中有95件合格品，5件不合格品现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为_解析：设事件A为“第一次取到不合格品”，事件B为“第二次取到不合格品”，则P(AB)，所以P(B|A).答案：3把一枚骰子连续抛掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为_解析：“第一次抛出偶数点”记为事件A，“第二次抛出偶数点”记为事件B，则P(A)，P(AB).所以P(B|A).答案：4甲、乙、丙三人到三

11、个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A“三个人去的景点不相同”，B“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于_解析：由题意知，P(B)，P(AB).P(A|B).答案：5设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它能活到25岁的概率是_解析：设动物活到20岁的事件为A，活到25岁的事件为B，则P(A)0.8，P(B)0.4，由ABB，所以P(AB)P(B)所以P(B|A)0.5.答案：0.5二、解答题6某个班级有学生40人，其中有共青团员15人，全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中共青团员4人，如果要在班里任选一人当学生代表，

12、那么这个代表恰好在第一小组里的概率是多少？现在要在班级任选一个共青团员当团员代表，问这个代表恰好在第一小组的概率是多少？解：设A在班里任选一个学生，该学生属于第一小组，B在班里任选一个学生，该学生是共青团员，P(A)，即这个代表恰好在第一小组里的概率是.P(A|B)，即这个团员代表恰好在第一小组的概率为.7任意向x轴上(0，1)这一区间内投掷一个点，问(1)该点落在区间内的概率是多少；(2)在(1)的条件下，求该点落在内的概率解：由题意可知，任意向(0，1)这一区间内投掷一点，该点落在(0，1)内哪个位置是等可能的令A，由几何概型的计算公式可知(1)P(A).(2)令B，则AB，故在A的条件下

13、B发生的概率为P(B|A).8某班从6名班干部(其中男生4人，女生2人)中选3人参加学校的义务劳动，在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率解：记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B.P(A)，P(BA)，P(B|A)，即在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为.第2课时事件的独立性有这样一项活动：甲箱里装有3个白球，2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球，从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A“从甲箱里摸出白球”，B“从乙箱里摸出白球”问题1：事件A发生会影响事件B发生的概率吗？提示：不影响问题2：试求P(A)，P(B)提示：P(A)，P(B).问题3：P(A|B)

14、与P(A)相等吗？提示：相等问题4：P(AB)为何值？提示：P(A|B)P(A)，P(AB)P(A)P(B).事件的独立性概念一般地，若事件A，B满足P(A|B)P(A)，则称事件A，B独立性质(1)若A，B独立，且P(A)0，则B，A也独立，即A与B相互独立(2)约定任何事件与必然事件独立，任何事件与不可能事件独立，则两个事件A，B相互独立的充要条件是P(AB)P(A)P(B)概率计算公式(1) 若事件A与B相互独立，则A与B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率之积，即P(AB)P(A)P(B).(2) 推广：若事件A1，A2，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1

15、A2An)P(A1)P(A2)P(An)结论如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立.1事件A与B相互独立就是事件A(或B)是否发生不影响事件B(或A)发生的概率2相互独立事件同时发生的概率：P(AB)P(A)P(B)，这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积例1容器中盛有5个白球和3个黄球(1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”这两个事件是否相互独立？为什么？(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取出的1个白球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相

16、互独立？为什么？思路点拨从相互独立事件的定义入手判断精解详析(1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件(2)由于把取出的白球放回容器，故对“从中任意取出1个，取出的是黄球”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件一点通解决此类问题常用的两种方法：(1)定量计算法：利用相互独立事件的定义(即P(AB)P(A)P(B)可以准确地判定两个事件是否相互独立(2)定性判断法：看一个事件的发生对另一

17、个事件的发生是否有影响没有影响就是相互独立事件；有影响就不是相互独立事件1同时掷两颗质地均匀的骰子，A第一颗骰子出现奇数点，B第二颗骰子出现偶数点，判断事件A，B是否相互独立解：同时掷两颗质地均匀的骰子，则A第一颗骰子出现1，3，5点，共有3种结果B第二颗骰子出现2，4，6点，共有3种结果AB第一颗骰子出现奇数点，第二颗骰子出现偶数点，共有CC9种结果由于每种结果的出现均是等可能的，由古典概型的有关知识可知P(A)，P(B)，P(AB).P(AB)P(A)P(B)，即事件A、事件B相互独立2分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设A是事件“第1枚为正面”，B是事件“第2枚为正面”，C是事件“2枚结果相同

18、”，问：A，B，C中哪两个相互独立？解：P(A)0.5，P(B)0.5，P(C)0.5，P(AB)0.25，P(BC)0.25，P(AC)0.25，可以验证：P(AB)P(A)P(B)，P(BC)P(B)P(C)，P(AC)P(A)P(C)事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C相互独立例2制造一种零件，甲机床的正品率为0.90，乙机床的正品率为0.80，分别从它们制造的产品中任意抽取一件(1)两件都是正品的概率；(2)两件都是次品的概率；(3)恰有一件正品的概率思路点拨两件都是正品(次品)的概率，就是正品(次品)的概率相乘；恰有一件正品的概率要用到互斥事件精解详析记“从甲机床抽到正

19、品”为事件A，“从乙机床抽到正品”为事件B，“抽取的两件产品中恰有一件正品”为事件C，由题意知A，B是相互独立事件(1)P(AB)P(A)P(B)0.900.800.72；(2)P()P()P()0.100.200.02；(3)P(C)P(A)P(B)P(A)P()P()P(B)0.900.200.100.800.26.一点通解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义若A，B相互独立，是A与B，A与B，A与B也是相互独立的3甲射击命中目标的概率为，乙射击命中目标的概率为，当两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概率为_解析：P.答案：4在一次班委干部的选任中，甲、乙、丙三名同学被选上的概率

20、分别为P(甲)0.8，P(乙)0.6，P(丙)0.5，且知三人在选举中互不影响，则三人都被选上的概率为_，三人中至少有一人被选上的概率为_解析：三人都被选上的概率为P1P(甲)P(乙)P(丙)0.80.60.50.24.三人中至少有一人被选中的概率为P21(1P(甲)(1P(乙)(1P(丙)10.20.40.510.040.96.答案：0.240.965一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求：(1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；(2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率解：记：“第1次取出的2个

21、球都是白球”的事件为A，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B，“第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球”的事件为C，很明显，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互独立事件(1)P(AB)P(A)P(B).故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是.(2)P(CA)P(C)P(A).故第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率是.例3某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9 000元的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次)设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分

22、别为，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：(1)获赔的概率；(2)获赔金额X的概率分布思路点拨(1)利用对应条件去求获赔的概率；(2)分析X的所有取值，写出概率分布精解详析设Ak表示第k辆车在一年内发生此种事故，k1，2，3，由题意知A1，A2，A3独立，且P(A1)，P(A2)，P(A3).P(A1)，P(2)，P(3)，(1)该单位一年内获赔的概率为1P(123)1P(1)P(2)P(3)1.(2)X的所有可能值为0，9 000，18 000，27 000.P(X0)P(123)P(1)P(2)P(3)，P(X9 000)P(A123)P(1A23)P(12A3)P(A1

23、)P(2)P(3)P(1)P(A2)P(3)P(1)P(2)P(A3)，P(X18 000)P(A1A23)P(A12A3)P(1A2A3)P(A1)P(A2)P(3)P(A1)P(2)P(A3)P(1)P(A2)P(A3).P(X27 000)P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3).综上知，X的概率分布为X09 00018 00027 000P一点通解决此类问题要明确事件中关键词的意义，将事件合理分析：已知两个事件A，B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则A，B中至少有一个发生的事件为AB；A，B都发生的事件为AB；A，B都不发生的事件为AB；A，B恰有一个发生的事件为ABAB

24、；A，B中至多有一个发生的事件为ABABAB.62014年3月30日，深圳迎来今年首场强降雨天气预报提示在未来24小时，深圳A，B两地区有强降雨的概率分别为，.则A，B两地在未来24小时至少有一处有强降雨的概率为_(假设A，B两地距离较远，是否降雨相互独立)解析：转化为对立事件求解：P11.答案：7某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计，甲、乙、丙三人100 m跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别是，.如果对这三名短跑运动员的100 m跑成绩进行一次检测；(1)三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？(2)出现恰有几人合格的概率最大？解：设“甲、乙、丙三人

25、100 m跑合格”分别为事件A，B，C，显然A，B，C相互独立，P(A)，P(B)，P(C)，所以P(A)1，P(B)1，P(C)1.设恰有k人合格的概率为Pk(k0，1，2，3)(1)三人都合格的概率为P3P(ABC)P(A)P(B)P(C).三人都不合格的概率为P0P(ABC)P(A)P(B)P(C).所以三人都合格的概率与三人都不合格的概率都是.(2)因为ABC，ABC，ABC两两互斥，所以恰有两人合格的概率为P2P(ABCABCABC)P(ABC)P(ABC)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C).恰有一人合格的概率为P11P0P2P31.

26、由(1)(2)知P0，P1，P2，P3中P1最大，所以出现恰有一人合格的概率最大相互独立事件常与互斥事件、对立事件综合考查，解决此类问题的一般步骤：(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；(2)理清事件之间的关系(互斥、对立、相互独立)，列出关系式；(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率课下能力提升(十三)一、填空题1坛子中放有3个白球和2个黑球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1和A2是_事件解析：由题意知，A1是否发生，对A

27、2发生的概率没有影响，所以A1和A2是相互独立事件答案：相互独立2有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按装潢可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，这一事件的概率是_解析：设“任取一书是文科书”的事件为A，“任取一书是精装书”的事件为B，则A，B是相互独立的事件，所求概率为P(AB)据题意可知P(A)，P(B)，故P(AB)P(A)P(B).答案：3甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为_解析：问题等价为两类：第一类，

28、第一局甲赢，其概率P1；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2.故甲队获得冠军的概率为P1P2.答案：4甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一个被录取的概率为_解析：P0.60.30.40.70.60.70.88.答案：0.885一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过关，那么，连过前两关的概率是_解析：设过第一关为事件A，当抛掷一次出现的点数为2，3，4，5，6点中之一时，通过第一关，所以P(A).设过第二关为事件B，记两次骰子出现的点数为(x，y)，共有36种情况，第二关不能过有如下6种情况(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)P(B)1P(B)1.所以连过前两关的概率为：P(A)P(B).答案：二、解答题6天气预报，在元旦假期甲地的