初三中考数学分类汇编规律型.docx

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初三中考数学分类汇编规律型

中考数学真题分类汇编：

规律型（图形的变化类）

一．选择题（共7小题）

1．（•义乌市）挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：

当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走．如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…，则第6次应拿走（　　）

A．②号棒B．⑦号棒C．⑧号棒D．⑩号棒

2．（•宜宾）如图，以点O为圆心的20个同心圆，它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、…、20，阴影部分是由第1个圆和第2个圆，第3个圆和第4个圆，…，第19个圆和第20个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为（　　）

A．231πB．210πC．190πD．171π

3．（•重庆）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（　　）

A．21B．24C．27D．30

4．（•十堰）如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了2016根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多6个，那么能连续搭建正三角形的个数是（　　）

A．222B．280C．286D．292

5．（•重庆）下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有2个黑色正方形，图②中有5个黑色正方形，图③中有8个黑色正方形，图④中有11个黑色正方形，…，依次规律，图⑩中黑色正方形的个数是

（　　）

A．32B．29C．28D．26

6．（•广西）下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第4个图形中所有正三角形的个数有（　　）

A．160B．161C．162D．163

7．（•绵阳）将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“○”的个数，若第n个“龟图”中有245个“○”，则n=（　　）

A．14B．15C．16D．17

二．填空题（共14小题）

8．（•内江）如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第n个图案中有　　　　　　根火柴棒．（用含n的代数式表示）

9．（•莆田）谢尔宾斯基地毯，最早是由波兰数学家谢尔宾斯基制作出来的：

把一个正三角形分成全等的4个小正三角形，挖去中间的一个小三角形；对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法…将这种做法继续进行下去，就得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯（如图）．若图1中的阴影三角形面积为1，则图5中的所有阴影三角形的面积之和是　　　　　　．

10．（•曲靖）用火柴棒按下图所示的方式摆大小不同的“H”：

依此规律，摆出第9个“H”需用火柴棒　　　　　　根．

11．（•福建）观察下列图形的构成规律，依照此规律，第10个图形中共有　　　　　　个“•”．

12．（•聊城）如图，△ABC的三个顶点和它内部的点P1，把△ABC分成3个互不重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2，把△ABC分成5个互不重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3，把△ABC分成7个互不重叠的小三角形；…△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3、…、Pn，把△ABC分成　　　　　　个互不重叠的小三角形．

13．（•深圳）观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图形有　　　　　　个太阳．

14．（•舟山）如图，多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式S=a+

b﹣1（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克定理”．现用一张方格纸共有200个格点，画有一个格点多边形，它的面积S=40．

（1）这个格点多边形边界上的格点数b=　　　　　　（用含a的代数式表示）．

（2）设该格点多边形外的格点数为c，则c﹣a=　　　　　　．

15．（•南宁）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动，第一次点A向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点

，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点An，如果点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是　　　　　　．

16．（•益阳）如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第n个图案中有　　　　　　根小棒．

17．（•山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成，第

（1）个图案有4个三角形，第

（2）个图案有7个三角形，第（3）个图案有10个三角形，…依此规律，第n个图案有　　　　　　个三角形（用含n的代数式表示）

18．（•安顺）如图所示是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n（n是正整数）个图案中的基础图形个数为　　　　　　（用含n的式子表示）．

19．（•桂林）如图是一个点阵，从上往下有无数多行，其中第一行有2个点，第二行有5个点，第三行有11个点，第四行有23个点，…，按此规律，第n行有　　　　　　个点．

20．（•随州）观察下列图形规律：

当n=　　　　　　时，图形“●”的个数和“△”的个数相等．

21．（•株洲）“皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式，公式表达式为S=a+

﹣1，孔明只记得公式中的S表示多边形的面积，a和b中有一个表示多边形边上（含顶点）的整点个数，另一个表示多边形内部的整点个数，但不记得究竟是a还是b表示多边形内部的整点个数，请你选择一些特殊的多边形（如图1）进行验证，得到公式中表示多边形内部的整点个数的字母是　　　　　　，并运用这个公式求得图2中多边形的面积是　　　　　　．

三．解答题（共2小题）

22．（•自贡）观察下表：

序号123…

图形xx

xxxxx

xxx

xxxx

yyy

xxxx…

我们把某格中各字母的和所得多项式称为“特征多项式”．例如，第1格的“特征多项式”为4x+y．回答下列问题：

（1）第3格的“特征多项式”为　　　　　　，第4格的“特征多项式”为　　　　　　，第n格的“特征多项式”为　　　　　　；

（2）若第1格的“特征多项式”的值为﹣10，第2格的“特征多项式”的值为﹣16，求x，y的值．

23．（•六盘水）毕达哥拉斯学派对”数”与”形”的巧妙结合作了如下研究：

名称及图形

几何点数

层数三角形数正方形数五边形数六边形数

第一层几何点数1111

第二层几何点数2345

第三层几何点数3579

……………

第六层几何点数

……………

第n层几何点数

请写出第六层各个图形的几何点数，并归纳出第n层各个图形的几何点数．

中考数学真题分类汇编：

规律型（图形的变化类）

参考答案与试题解析

一．选择题（共7小题）

1．（•义乌市）挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：

A．②号棒B．⑦号棒C．⑧号棒D．⑩号棒

考点：

规律型：

图形的变化类．

分析：

仔细观察图形，找到拿走后图形下面的游戏棒，从而确定正确的选项．

解答：

解：

仔细观察图形发现：

第1次应拿走⑨号棒，

第2次应拿走⑤号棒，

第3次应拿走⑥号棒，

第4次应拿走②号棒，

第5次应拿走⑧号棒，

第6次应拿走⑩号棒，

故选D．

点评：

本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形，锻炼了同学们的识图能力．

A．231πB．210πC．190πD．171π

考点：

规律型：

图形的变化类．

分析：

根据题意分别表示出各圆环的面积，进而求出它们的和即可．

解答：

解：

由题意可得：

阴影部分的面积和为：

π（22﹣12）+π（42﹣32）+π（62﹣52）+…+π（202﹣192）

=3π+7π+11π+15π+…+39π

=5（3π+39π）

=210π．

故选：

B．

点评：

此题主要考查了图形的变化类以及圆的面积求法，分别表示出各圆环面积面积是解题关键．

A．21B．24C．27D．30

考点：

规律型：

图形的变化类．

分析：

仔细观察图形，找到图形中圆形个数的通项公式，然后代入n=7求解即可．

解答：

解：

观察图形得：

第1个图形有3+3×1=6个圆圈，

第2个图形有3+3×2=9个圆圈，

第3个图形有3+3×3=12个圆圈，

…

第n个图形有3+3n=3（n+1）个圆圈，

当n=7时，3×（7+1）=24，

故选B．

点评：

本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到图形变化的通项公式，难度不大．

A．222B．280C．286D．292

考点：

规律型：

图形的变化类．

分析：

设连续搭建三角形x个，连续搭建正六边形y个，根据搭建三角形和正六边形共用了2016根火柴棍，并且三角形的个数比正六边形的个数多6个，列方程组求解

解答：

解：

设连续搭建三角形x个，连续搭建正六边形y个．

由题意得，

，

解得：

．

故选D．

点评：

本题考查了二元一次方程组的应用及图形的变化类问题，解答本题的关键是读懂题意，仔细观察图形，找出合适的等量关系，列方程组求解．

（　　）

A．32B．29C．28D．26

考点：

规律型：

图形的变化类．

分析：

仔细观察图形，找到图形的个数与黑色正方形的个数的通项公式后代入n=11后即可求解．

解答：

解：

观察图形发现：

图①中有2个黑色正方形，

图②中有2+3×（2﹣1）=5个黑色正方形，

图③中有2+3（3﹣1）=8个黑色正方形，

图④中有2+3（4﹣1）=11个黑色正方形，

…，

图n中有2+3（n﹣1）=3n﹣1个黑色的正方形，

当n=10时，2+3×（10﹣1）=29，

故选B．

点评：

本题是对图形变化规律的考查，难点在于利用求和公式求出第n个图形的黑色正方形的数目的通项表达式．

6．（•广西）下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第4个图形中所有正三角形的个数有（　　）

A．160B．161C．162D．163

考点：

规律型：

图形的变化类．

分析：

由图可以看出：

第一个图形中由角上的3个三角形加上中间1个小三角形再加上外围1个大三角形共有5个正三角形；下一个图形的三个角上的部分是上一个图形的全部，另外加上中间一个小的三角形和外围的一个大三角形，所以第二个图形中有5×3+1+1=17个正三角形，第三个图形中有17×3+1+1=53个正三角形，第四个图形中有53×3+1+1=161个正三角形．

解答：

解：

第一个图形正三角形的个数为5，

第二个图形正三角形的个数为5×3+2=17，

第三个图形正三角形的个数为17×3+2=53，

第四个图形正三角形的个数为53×3+2=161，

故选B．

点评：

此题考查图形的变化规律，找出数字与图形之间的联系，找出规律解决问题是解答此题的关键．

7．（•绵阳）将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“○”的个数，若第n个“龟图”中有245个“○”，则n=（　　）

A．14B．15C．16D．17

考点：

规律型：

图形的变化类．

分析：

分析数据可得：

第1个图形中小圆的个数为5；第2个图形中小圆的个数为7；第3个图形中小圆的个数为11；第4个图形中小圆的个数为17；则知第n个图形中小圆的个数为n（n﹣1）+5．据此可以再求得“龟图”中有245个“○”是n的值．

解答：

解：

第一个图形有：

5个○，

第二个图形有：

2×1+5=7个○，

第三个图形有：

3×2+5=11个○，

第四个图形有：

4×3+5=17个○，

由此可得第n个图形有：

[n（n﹣1）+5]个○，

则可得方程：

[n（n﹣1）+5]=245

解得：

n1=16，n2=﹣15（舍去）．

故选：

C．

点评：

此题主要考查了图形的规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形．

二．填空题（共14小题）

8．（•内江）如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第n个图案中有　2n（n+1）　根火柴棒．（用含n的代数式表示）

考点：

规律型：

图形的变化类．

专题：

压轴题．

分析：

本题可分别写出n=1，2，3，…，所对应的火柴棒的根数．然后进行归纳即可得出最终答案．

解答：

解：

依题意得：

n=1，根数为：

4=2×1×（1+1）；

n=2，根数为：

12=2×2×（2+1）；

n=3，根数为：

24=2×3×（3+1）；

…

n=n时，根数为：

2n（n+1）．

点评：

本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．

9．（•莆田）谢尔宾斯基地毯，最早是由波兰数学家谢尔宾斯基制作出来的：

把一个正三角形分成全等的4个小正三角形，挖去中间的一个小三角形；对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法…将这种做法继续进行下去，就得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯（如图）．若图1中的阴影三角形面积为1，则图5中的所有阴影三角形的面积之和是　

　．

考点：

规律型：

图形的变化类．

分析：

根据题意，每次挖去等边三角形的面积的

，剩下的阴影部分面积等于原阴影部分面积的

，然后根据有理数的乘方列式计算即可得解．

解答：

解：

图2阴影部分面积=1﹣

，

图3阴影部分面积=

=（

）2，

图4阴影部分面积=

×（

）2=（

）3，

图5阴影部分面积=

×（

）3=（

）4=

．

故答案为：

．

点评：

本题是对图形变化规律的考查，观察出每次挖出后剩下的阴影部分面积等于原阴影部分面积的

是解题的关键．

10．（•曲靖）用火柴棒按下图所示的方式摆大小不同的“H”：

依此规律，摆出第9个“H”需用火柴棒　29　根．

考点：

规律型：

图形的变化类．

分析：

根据已知图形得出数字变化规律，进而求出答案．

解答：

解：

如图所示：

第1个图形有3+2=5根火柴棒，

第2个图形有3×2+2=8根火柴棒，

第3个图形有3×3+2=11根火柴棒，

故第n个图形有3n+2根火柴棒，

则第9个“H”需用火柴棒：

3×9+2=29（根）．

故答案为：

29．

点评：

此题主要考查了图形变化类，根据题意得出火柴棒的变化规律是解题关键．

11．（•福建）观察下列图形的构成规律，依照此规律，第10个图形中共有　111　个“•”．

考点：

规律型：

图形的变化类．

分析：

观察图形可知前4个图形中分别有：

3，7，13，21个“•”，所以可得规律为：

第n个图形中共有[n（n+1）+1]个“•”．再将n=10代入计算即可．

解答：

解：

由图形可知：

n=1时，“•”的个数为：

1×2+1=3，

n=2时，“•”的个数为：

2×3+1=7，

n=3时，“•”的个数为：

3×4+1=13，

n=4时，“•”的个数为：

4×5+1=21，

所以n=n时，“•”的个数为：

n（n+1）+1，

n=10时，“•”的个数为：

10×11+1=111．

故答案为111．

点评：

本题主要考查了规律型：

图形的变化类，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律，难度适中．

考点：

规律型：

图形的变化类．

分析：

利用图形得到，△ABC的三个顶点和它内部的点P1，把△ABC分成互不重叠的小三角形的个数=3+2×0；△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2，把△ABC分成互不重叠的小三角形的个数=3+2×1；△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3，把△ABC分成互不重叠的小三角形的个数=3+2×2，即分成的互不重叠的小三角形的个数为3加上P点的个数与1的差的2倍，从而得到△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3、…、Pn，把△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数．

解答：

解：

如图，△ABC的三个顶点和它内部的点P1，把△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数=3+2×0，

△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2，把△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数=3+2×1，

△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3，把△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数=3+2×2，

所以△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3、…、Pn，把△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数=3+2（n﹣1）．

故答案为3+2（n﹣1）．

点评：

本题考查了规律型：

图形的变化类：

对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，然后通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．

13．（•深圳）观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图形有　21　个太阳．

考点：

规律型：

图形的变化类．

分析：

由图形可以看出：

第一行小太阳的个数是从1开始连续的自然数，第二行小太阳的个数是1、2、4、8、…、2n﹣1，由此计算得出答案即可．

解答：

解：

第一行小太阳的个数为1、2、3、4、…，第5个图形有5个太阳，

第二行小太阳的个数是1、2、4、8、…、2n﹣1，第5个图形有24=16个太阳，

所以第5个图形共有5+16=21个太阳．

故答案为：

21．

点评：

此题考查图形的变化规律，找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题．

14．（•舟山）如图，多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式S=a+

（1）这个格点多边形边界上的格点数b=　82﹣2a　（用含a的代数式表示）．

（2）设该格点多边形外的格点数为c，则c﹣a=　118　．

考点：

规律型：

图形的变化类．

分析：

（1）将S=40代入S=a+

b﹣1后用含a的代数式表示即可；

（2）首先用a表示出c，然后可求得c﹣a的值．

解答：

解：

（1）∵S=a+

b﹣1，且S=40，

∴a+

b﹣1=40，

整理得：

b=82﹣2a；

（2）∵a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数，总格点数为200，

∴边界上的格点数与多边形内的格点数的和为b+a=82﹣2a+a=82﹣a，

∴多边形外的格点数c=200﹣（82﹣a）=118+a，

∴c﹣a=118+a﹣a=118，

故答案为：

82﹣2a，118．

点评：

本题考查了图形的变化类问题，解决本题的关键是根据题意表示出b，难度不大．

，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点An，如果点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是　13　．

考点：

规律型：

图形的变化类；数轴．

分析：

序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到A13表示的数为﹣17﹣3=﹣20，A12表示的数为16+3=19，则可判断点An与原点的距离不小于20时，n的最小值是13．

解答：

解：

第一次点A向左移动3个单位长度至点A1，则A1表示的数，1﹣3=﹣2；

第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，则A2表示的数为﹣2+6=4；

第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，则A3表示的数为4﹣9=﹣5；

第4次从点A3向右移动12个单位长度至点A4，则A4表示的数为﹣5+12=7；

第5次从点A4向左移动15个单位长度至点A5，则A5表示的数为7﹣15=﹣8；

…；

则A7表示的数为﹣8﹣3=﹣11，A9表示的数为﹣11﹣3=﹣14，A11表示的数为﹣14﹣3=﹣17，A13表示的数为﹣17﹣3=﹣20，

A6表示的数为7+3=10，A8表示的数为10+3=13，A10表示的数为13+3=16，A12表示的数为16+3=19，

所以点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13．

故答案为：

13．

点评：

本题考查了规律型，认真观察、仔细思考，找出点表示的数的变化规律是解决本题的关键．

16．（•益阳）如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第n个图案中有　5n+1　根小棒．

考点：

规律型：

图形的变化类．

分析：

由图可知：

第1个图案中有5+1=6根小棒，第2个图案中有2×5+2﹣1=11根小棒，第3个图案中有3×5+3﹣2=16根小棒，…由此得出第n个图案中有5n+n﹣（n﹣1）=5n+1根小棒．

解答：

解：

∵第1个图案中有5+1=6根小棒，

第2个图案中有2×5+2﹣1=11根小棒，

第3个图案中有3×5+3﹣2=16根小棒，

…

∴第n个图案中有5n+n﹣（n﹣1）=5n+1根小棒．

故答案为：

5n+1．

点评：

此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．

17．（•山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成，第

（1）个图案有4个三角形，第

（2）个图案有7个三角形，第（3）个图案有10个三角形，…依此规律，第n个图案有　3n+1　个三角形（用含n的代数

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