高中数学椭圆双曲线抛物线公式.docx
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高中数学椭圆双曲线抛物线公式
高中数学椭圆双曲线抛物线公式
篇一:
圆、椭圆、双曲线公式大全
圆锥曲线公式大全
篇二:
高中数学专题__椭圆、双曲线、抛物线
高中数学专题
《圆锥曲线》知识点小结
椭圆、双曲线、抛物线
一、椭圆:
（1）椭圆的定义:
平面内与两个定点F1,F2|F1F2|
的点的轨迹。
其中:
两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意:
2a?
|F1F2|表示椭圆;2a?
|F1F2|表示线段F1F2;2a?
|F1F2|没有轨迹;（2
22
3（常用结论:
（1）椭圆x2?
y2?
1（a?
b?
0）的两个焦点为F1,F2，过F1的直线交椭圆于A,B
ab
两点，则?
ABF2的周长
22
1
（2）设椭圆x2?
y2?
1（a?
b?
0）左、右两个焦点为F1,F2，过F1且垂直于对称轴
ab
的直线交椭圆于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是|PQ|?
二、双曲线:
（1）双曲线的定义:
平面内与两个定点F1,F2|F1F2|的点的轨迹。
其中:
两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意:
|PF1|?
|PF2|?
2a与|PF2|?
|PF1|?
2a（2a?
|F1F2|）表示双曲线的一支。
2a?
|F1F2|表示两条射线;2a?
|F1F2|没有轨迹;
（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质:
（32222
?
求双曲线x?
y?
1的渐近线，可令其右边的1为0，即得x?
y?
0，因式分解得到
2222
abab
xy
?
?
0。
ab
22x2y2xy?
与双曲线2?
2?
1共渐近线的双曲线系方程是2?
2?
?
;
2
abab
（4）等轴双曲线为x2?
y2?
t2，其离心率为2
22
（4）常用结论:
（1）双曲线x?
y?
1（a?
0,b?
0）的两个焦点为F1,F2，过F1的直线交
a2b2
双曲线的同一支于A,B两点，则?
ABF2的周长22
yx
（2）设双曲线?
2?
1（a?
0,b?
0）左、右两个焦点为F1,F2，过F1且垂直于对2
ab
称轴的直线交双曲线于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是
|PQ|?
2b2
a
三、抛物线:
（1）抛物线的定义:
平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。
其中:
定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。
（2）抛物线的标准方程、图象及几何性质:
p?
0
四、弦长公式:
|AB|?
?
k2|x1?
x2|?
?
k2?
（x1?
x2）2?
4x1x2?
?
k2?
?
3
|A|
其中,A,?
分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去y后所得关于x的一元二次方程的判别式和x2的系数
五、弦的中点坐标的求法
法
（一）:
（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程;
（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程Ax2?
Bx?
C?
0,设A（x1,y1），B（x2,y2），由韦达定理求出
x1?
x2?
?
x?
x2B
;（3）设中点M（x0,y0），由中点坐标公式得x0?
1;再把x?
x0A2
代入直线方程求出y?
y0。
法
（二）:
用点差法，设A（x1,y1），B（x2,y2），中点M（x0,y0），由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过A、B两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出x0,y0。
六、求离心率的常用方法:
法一，分别求出a,c，再代入公式
法二、建立a,b,c满足的关系，消去b,再化为关于e的方程，最后解方程求e（求e时，要注意椭圆离心率取值范围是0，e，1，而双曲线离心率取值范围是e，1）
注意:
圆锥曲线上任意一点到一焦点的距离与其对应的准线（同在Y轴一侧的焦点与准
4
线）对应的距离比为离心率。
高考专题训练椭圆、双曲线、抛物线
一、选择题:
1（（2011?
辽宁）已知F是抛物线y2,x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|，|BF|,3，则线段AB的中点M到y轴的距离为（）
3
A.45
C.4
B（17D.4
答案:
C
2（（2011?
湖北）将两个顶点在抛物线y2,2px（p0）上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则（）
A（n,0C（n,2
B（n,1D（n?
3
答案:
C
3（（2011?
全国?
）已知抛物线C:
y2,4x的焦点为F，直线y,2x,4与C交于A，B两点，则cos?
AFB,（）
4A.53C5答案:
D
x2y2y22
4（（2011?
浙江）已知椭圆C1:
ab1（ab0）与双曲线C2:
x,
5
41有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点（若C1恰好将线段AB三等分，则（）
13A（a2,21
C（b2,2
B（a2,13D（b2,23B.54D（,5
篇三:
高考数学椭圆与双曲线抛物线的经典性质（绝对的全,超级好）
x1?
x2?
4
3.y1?
y2?
?
p2
;4.?
AC'B?
90?
;5.?
A'FB'?
90?
;6.AB?
x1?
x2?
p?
2（xp3?
2
）?
2psin2
?
;
7.
11AF
?
BF
?
6
2P
;
8.A、O、B'
三点共线;9.B、O、A'
三点共线;10.SP
2
?
AOB?
2sin?
;
11.
S?
2
AOB
AB
?
（
P2
）3
（定值）;12.AF?
P;1?
cos?
BF?
P1?
cos?
;
13.BC'
7
垂直平分B'F;14.AC'
垂直平分A'
F;15.C'
F?
AB;
16.AB?
2P;17.CC'?
12AB?
12
（AA'?
BB'）;
18.KAB=
P;
y319.tan?
=
y2
x2-
p;
2
20.A'B'2
?
4AF?
BF;
21.C'F?
12
A'B'.
22.切线方程y0y?
m?
x0?
x?
性质深究
一）焦点弦与切线
8
1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有
何特殊之处,
结论1:
交点在准线上
先猜后证:
当弦AB?
x轴时，则点P的坐标为?
?
?
p
0?
?
?
在准线上（2?
证明:
从略
结论2切线交点与弦中点连线平行于对称轴
结论3弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴（
2、上述命题的逆命题是否成立,
结论4过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点
先猜后证:
过准线与x轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB的弦必过焦点（结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径（
3、AB是抛物线y2
?
2px（p,0）焦点弦，Q是AB的中点，l是抛物线的准线，AA1?
l，BB1?
l，过A，B的切线相交于P，PQ与抛物线交于点M（则有
9
结论6
PA?
PB（结论7PF?
AB（结论8M平分PQ（
结论
结论2
?
?
PF
结论11S?
PAB
min
?
p2
二）非焦点弦与切线
思考:
当弦AB不过焦点，切线交于P点时，也有与上述结论类似结果:
结论12?
xp?
y1y22p
，yp?
y1?
y2
2
结论13PA平分?
A1AB，同理PB平分?
B1BA（结论14?
PFA?
?
PFB结论15点M平分PQ结论16
?
?
PF
相关考题
1、已知抛物线x?
4y的焦点为F，A，B是抛物线上的两动点，且AF?
?
FB（?
0），过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，
（1）证明:
FM?
AB的值;
10
（2）设?
ABM的面积为S，写出S?
f?
?
?
的表达式，并求S的最小值（
2、已知抛物线C的方程为x?
4y，焦点为F，准线为l，直线m交抛物线于两点A，B;
（1）过点A的抛物线C的切线与y轴交于点D，求证:
AF?
DF;
（2）若直线m过焦点F，分别过点A，B的两条切线相交于点M，求证:
AM?
BM，且点M在直线l上（3、对每个正整数n，An?
xn,yn?
是抛物线x?
4y上的点，过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点Bn?
sn,tn?
，
2
2
2
2
（1）试证:
xn?
sn?
?
4（n?
1）
（2）取xn?
2，并Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点，求证:
FC1?
FC
2
n
?
?
?
FC
n
?
2?
2
11
n?
n?
1
?
1（n?
1）
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）
高三数学备课组
双曲线
1.点P处的切线PT平分?
PF1F2在点P处的内角.
2.PT平分?
PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长
轴的两个端点.
3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切:
P在右支;外切:
P在左支）5.若P0（x0,y0）在双曲线6.若P0（x0,y0）在双曲线
xaxa
2222
椭圆
1.点P处的切线PT平分?
PF1F2在点P处的外角.
2.PT平分?
PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的
两个端点.
3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内
12
切.5.若P0（x0,y0）在椭圆6.若P0（x0,y0）在椭圆
是
x0xa
2
?
?
yby
22（转载于:
wWw.xLTkwj.cOM小龙文档网:
高中数学
椭圆双曲线抛物线公式）22
?
1（a,0,b,0）上，则过P0的双曲线的切线方程是
x0xa
2
?
y0yb
2
?
1.
xaxa
2222
?
?
ybyb
2222
?
1上，则过P0的椭圆的切线方程是
x0xa
13
2
?
y0yb
2
?
1.
切点弦P1P2的直线方程是7.双曲线
xa
22
bx0xa
2
?
1（a,0,b,0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点
为P1、P2，则?
y0yb
2
?
1.
?
1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切
点弦P1P2的直线方程
?
yb
22
?
1（a,0,b,o）的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲
线上任意一点?
F1PF2?
?
，
2
14
?
22
y0yb
2
?
1.
则双曲线的焦点角形的面积为S?
FPF?
bcot
1
2
?
2
.
7.椭圆
xa
?
yb
22
?
1（a,b,0）的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任
意一点?
F1PF2?
?
，则椭圆的焦点
2
8.双曲线
xa
22
?
15
yb
22
?
1（a,0,b,o）的焦半径公式:
（F1（?
c,0）,F2（c,0）
角形的面积为S?
FPF?
btan
1
2
?
2
.
当M（x0,y0）在右支上时，|MF1|?
ex0?
a,|MF2|?
ex0?
a.当M（x0,y0）在左支上时，|MF1|?
?
ex0?
a,|MF2|?
?
ex0?
a
9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别
交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF?
NF.
10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于
点M，A2P和A1Q交于点N，则MF?
NF.11.AB是双曲线
KOM?
K
?
8.椭圆
xa
16
22
?
yb
22
?
1（a,b,0）的焦半径公式:
|MF1|?
a?
ex0,|MF2|?
a?
ex0（F1（?
c,0）,F2（c,0）M（x0,y0））.
9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦
点F的椭圆准线于M、N两点，则MF?
NF.
10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P
和A1Q交于点N，则MF?
NF.11.AB是椭圆
即K
?
?
xa
22
22
?
yb
22
?
1（a,0,b,0）的不平行于对称轴的弦，M（x0,y0）为AB的中点，则
17
?
bx0ay0
22
xa
22
?
2
yb
22
?
1的不平行于对称轴的弦，M（x0,y0）为AB的中点，则
kOM?
kAB?
?
ba
22
bx0ay0
2
，
AB
，即K
xa
AB
2
。
22
18
bx0ay0
2
AB
。
xaxa
22
12.若P0（x0,y0）在双曲线
ybyb
22
?
yb
?
1（a,0,b,0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是
12.若P0（x0,y0）在椭圆
?
?
1内，则被Po所平分的中点弦的方程是
xa
22
x0xa
2
?
y
22
y0yb?
2
19
?
x0a?
2
2
?
y0b
2
x0x
2
.
a
2
?
y0yb
2
?
x0a
2
2
?
y0b
2
20
2
.
xa
22
22
22
13.若P0（x0,y0）在椭圆
?
?
1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是?
x0xa
2
y0yb
2
13.若P0（x0,y0）在双曲线
.
xa
22
?
yb
22
?
1（a,0,b,0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是
b
?
21
yb
22
?
x0xa
2
?
y0yb
2
.
22
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