高中数学椭圆双曲线抛物线公式.docx

1、高中数学椭圆双曲线抛物线公式高中数学椭圆双曲线抛物线公式篇一:圆、椭圆、双曲线公式大全 圆锥曲线公式大全 篇二:高中数学专题_椭圆、双曲线、抛物线 高中数学专题 圆锥曲线知识点小结 椭圆、双曲线、抛物线 一、椭圆:(1)椭圆的定义:平面内与两个定点F1,F2|F1F2|的点的轨迹。 其中:两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意:2a?|F1F2|表示椭圆;2a?|F1F2|表示线段F1F2;2a?|F1F2|没有轨迹; (2 22 3(常用结论:(1)椭圆x2?y2?1(a?b?0)的两个焦点为F1,F2，过F1的直线交椭圆于A,B ab 两点，则?ABF2的周长 22 1 (2

2、)设椭圆x2?y2?1(a?b?0)左、右两个焦点为F1,F2，过F1且垂直于对称轴 ab 的直线交椭圆于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是 |PQ|? 二、双曲线: (1)双曲线的定义:平面内与两个定点F1,F2|F1F2|的点的轨迹。 其中:两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意:|PF1|?|PF2|?2a与|PF2|?|PF1|?2a(2a?|F1F2|)表示双曲线的一支。 2a?|F1F2|表示两条射线;2a?|F1F2|没有轨迹; (2)双曲线的标准方程、图象及几何性质: (32222 ?求双曲线x?y?1的渐近线，可令其右边的1为0，即得x?y?0，因式分解得到 2

3、222 abab xy ?0。 ab 22x2y2xy?与双曲线2?2?1共渐近线的双曲线系方程是2?2?; 2 abab (4)等轴双曲线为x2?y2?t2，其离心率为2 22 (4)常用结论:(1)双曲线x?y?1(a?0,b?0)的两个焦点为F1,F2，过F1的直线交 a2b2 双曲线的同一支于A,B两点，则?ABF2的周长22 yx(2)设双曲线?2?1(a?0,b?0)左、右两个焦点为F1,F2，过F1且垂直于对2 ab 称轴的直线交双曲线于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是 |PQ|? 2b2 a 三、抛物线: (1)抛物线的定义:平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨

4、迹。 其中:定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。 (2)抛物线的标准方程、图象及几何性质:p?0 四、弦长公式: |AB|?k2|x1?x2|?k2?(x1?x2)2?4x1x2?k2? ? 3 |A| 其中,A,?分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y后所得关于x的一元二次方程的判别式和x2的系数 五、弦的中点坐标的求法 法(一):(1)求出或设出直线与圆锥曲线方程;(2)联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程Ax2?Bx?C?0,设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由韦达定理求出 x1?x2? x?x2B ;(3)设中点M(x0,y0)，由中点坐标公式得x0?1;再把x?x0A2

5、 代入直线方程求出y?y0。 法(二):用点差法，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，中点M(x0,y0)，由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过A、B两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出x0,y0。 六、求离心率的常用方法:法一，分别求出a,c，再代入公式 法二、建立a,b,c满足的关系，消去b,再化为关于e的方程，最后解方程求e (求e时，要注意椭圆离心率取值范围是0，e，1，而双曲线离心率取值范围是e，1) 注意:圆锥曲线上任意一点到一焦点的距离与其对应的准线(同在Y轴一侧的焦点与准 4 线)对应的距离比为离心率。 高考专题训练 椭圆、双曲线、抛物线 一、选择题: 1(

6、2011?辽宁)已知F是抛物线y2,x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|，|BF|,3，则线段AB的中点M到y轴的距离为( ) 3 A.4 5 C.4 B(1 7D.4 答案:C 2(2011?湖北)将两个顶点在抛物线y2,2px(p0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则( ) A(n,0C(n,2 B(n,1 D(n? 3 答案:C 3(2011?全国?)已知抛物线C:y2,4x的焦点为F，直线y,2x,4与C交于A，B两点，则cos?AFB,( ) 4A.53C5答案:D x2y2y22 4(2011?浙江)已知椭圆C1:ab1(ab0)与双曲线C2:x,5 41有

7、公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点(若C1恰好将线段AB三等分，则( ) 13A(a2,21 C(b2,2 B(a2,13 D(b2,2 3B.5 4D(,5 篇三:高考数学椭圆与双曲线抛物线的经典性质(绝对的全,超级好) x1?x2? 4 3. y1?y2?p2 ; 4. ?AC'B?90? ; 5. ?A'FB'?90? ; 6. AB?x1?x2?p?2(xp3?2 )? 2psin2 ? ; 7. 11AF ? BF ? 6 2P ; 8. A、O、B' 三点共线; 9. B、O、A' 三点共线; 10. SP

8、2 ?AOB?2sin? ; 11. S? 2 AOB AB ?( P2 )3 (定值); 12. AF? P;1?cos? BF? P1?cos? ; 13. BC' 7 垂直平分B'F; 14. AC' 垂直平分A' F; 15. C' F?AB; 16. AB?2P; 17. CC'?12AB? 12 (AA'?BB'); 18. KAB= P; y319. tan?= y2 x2- p; 2 20. A'B'2 ?4AF?BF; 21. C'F? 12 A'B'. 22. 切线方程

9、y0y?m?x0?x? 性质深究 一)焦点弦与切线 8 1、 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有 何特殊之处, 结论1:交点在准线上 先猜后证:当弦AB?x轴时，则点P的坐标为? ? p ,0? ?在准线上( 2?证明: 从略 结论2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴 结论3 弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴( 2、上述命题的逆命题是否成立, 结论4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点 先猜后证:过准线与x轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB的弦必过焦点( 结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦

10、最短时，即为通径( 3、AB是抛物线y2 ?2px(p,0)焦点弦，Q是AB的中点，l是抛物线的准线，AA1?l，BB1?l，过A，B的切线相交于P，PQ与抛物线交于点M(则有 9 结论6 PA?PB( 结论7PF?AB( 结论8 M平分PQ( 结论 结论2 ?PF 结论11S?PAB min ?p2 二)非焦点弦与切线 思考:当弦AB不过焦点，切线交于P点时， 也有与上述结论类似结果: 结论12?xp? y1y22p ，yp? y1?y2 2 结论13PA平分?A1AB，同理PB平分?B1BA( 结论14 ?PFA?PFB 结论15 点M平分PQ 结论16 ?PF 相关考题 1、已知抛物线x

11、?4y的焦点为F，A，B是抛物线上的两动点，且AF?FB(?,0)，过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M， (1)证明:FM?AB的值; 10 (2)设?ABM的面积为S，写出S?f?的表达式，并求S的最小值( 2、已知抛物线C的方程为x?4y，焦点为F，准线为l，直线m交抛物线于两点A，B; (1)过点A的抛物线C的切线与y轴交于点D，求证:AF?DF; (2)若直线m过焦点F，分别过点A，B的两条切线相交于点M，求证:AM?BM，且点M在直线l上( 3、对每个正整数n，An?xn,yn?是抛物线x?4y上的点，过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点Bn?sn,tn?， 2 2 2 2

12、 (1)试证:xn?sn?4(n?1) (2)取xn?2，并Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点，求证: FC1?FC 2 n ?FC n ?2?2 11 n?n?1 ?1(n?1) 椭圆与双曲线的对偶性质-(必背的经典结论) 高三数学备课组 双曲线 1. 点P处的切线PT平分?PF1F2在点P处的内角. 2. PT平分?PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长 轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P在右支;外切:P在左支) 5. 若P0(

13、x0,y0)在双曲线6. 若P0(x0,y0)在双曲线 xaxa 2222 椭圆 1. 点P处的切线PT平分?PF1F2在点P处的外角. 2. PT平分?PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的 两个端点. 3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内12 切. 5. 若P0(x0,y0)在椭圆6. 若P0(x0,y0)在椭圆 是 x0xa 2 ? yby 22(转 载于:wWw.xLTkwj.cOM 小 龙 文档网:高中数学椭圆双曲线抛物线公式)22 ?1(a,0,b,0)上，则过P0

14、的双曲线的切线方程是 x0xa 2 ? y0yb 2 ?1. xaxa 2222 ? ybyb 2222 ?1上，则过P0的椭圆的切线方程是 x0xa 13 2 ? y0yb 2 ?1. 切点弦P1P2的直线方程是7. 双曲线 xa 22 bx0xa 2 ?1(a,0,b,0)外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则?y0yb 2 ?1. ?1外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程 ? yb 22 ?1(a,0,b,o)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点?F1PF2?， 2 14 ? 22 y0yb 2 ?1. 则双曲线的焦点角

15、形的面积为S?FPF?bcot 1 2 ?2 . 7. 椭圆 xa ? yb 22 ?1 (a,b,0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点?F1PF2?，则椭圆的焦点 2 8. 双曲线 xa 22 ? 15 yb 22 ?1(a,0,b,o)的焦半径公式:(F1(?c,0) , F2(c,0) 角形的面积为S?FPF?btan 1 2 ?2 . 当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|?ex0?a,|MF2|?ex0?a. 当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|?ex0?a,|MF2|?ex0?a 9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点

16、，连结AP 和AQ分别 交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF?NF. 10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于 点M，A2P和A1Q交于点N，则MF?NF. 11. AB是双曲线 KOM?K ? 8. 椭圆 xa 16 22 ? yb 22 ?1(a,b,0)的焦半径公式: |MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0(F1(?c,0) , F2(c,0)M(x0,y0). 9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦 点F的椭圆准线于M、N两点，则MF?

17、NF. 10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P 和A1Q交于点N，则MF?NF. 11. AB是椭圆 即K ? xa 22 22 ? yb 22 ?1(a,0,b,0)的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则 17 ?bx0ay0 22 xa 22 ? 2 yb 22 ?1的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则kOM?kAB? ba 22 bx0ay0 2 ， AB ，即K xa AB 2 。 22 18 bx0ay0 2 AB 。 xaxa 22 12. 若P0(x0,y0)在双曲线 y

18、byb 22 ? yb ?1(a,0,b,0)内，则被Po所平分的中点弦的方程是 12. 若P0(x0,y0)在椭圆 ?1内，则被Po所平分的中点弦的方程是 xa 22 x0xa 2 ?y 22 y0yb? 2 19 ? x0a? 2 2 ? y0b 2 x0x 2 . a 2 ? y0yb 2 ? x0a 2 2 ? y0b 2 20 2 . xa 22 22 22 13. 若P0(x0,y0)在椭圆 ?1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是? x0xa 2 y0yb 2 13. 若P0(x0,y0)在双曲线 . xa 22 ? yb 22 ?1(a,0,b,0)内，则过Po的弦中点的轨迹方程是 b ? 21 yb 22 ? x0xa 2 ? y0yb 2 . 22