中考专题 归纳猜想问题.docx
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中考专题归纳猜想问题
归纳猜想问题
第一部分考点搜索
（一）中考专题诠释
归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。
这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。
（二）解题策略和解法精讲
归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。
其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：
计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。
第二部分典例精析
考点一：
猜想数式规律
例1（2012•沈阳）有一组多项式：
a+b2，a2﹣b4，a3+b6，a4﹣b8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为 ．
【答案】a10﹣b20．
【分析】首先观察归纳，可得规律：
第n个多项式为：
an+（﹣1）n+1b2n，然后将n=10代入，即可求得答案．
【解答】∵第1个多项式为：
a1+b2×1，
第2个多项式为：
a2﹣b2×2，
第3个多项式为：
a3+b2×3，
第4个多项式为：
a4﹣b2×4，
…
∴第n个多项式为：
an+（﹣1）n+1b2n，
∴第10个多项式为：
a10﹣b20．故答案为：
a10﹣b20．
例2（2012•珠海）观察下列等式：
12×231=132×21，
13×341=143×31，
23×352=253×32，
34×473=374×43，
62×286=682×26，
…
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：
①52× = ×25；
② ×396=693× ．
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明．
【分析】
（1）观察规律，左边，两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字，十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位；右边，三位数与左边的三位数字百位与个位数字交换，两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘，根据此规律进行填空即可；
（2）按照
（1）中对称等式的方法写出，然后利用多项式的乘法进行证明即可．
【解答】
（1）①∵5+2=7，
∴左边的三位数是275，右边的三位数是572，∴52×275=572×25，
②∵左边的三位数是396，
∴左边的两位数是63，右边的两位数是36，63×369=693×36；
故答案为：
①275，572；②63，36．
（2）∵左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，
∴左边的两位数是10a+b，三位数是100b+10（a+b）+a，
右边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b，
∴一般规律的式子为：
（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a），
证明：
左边=（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]，
=（10a+b）（100b+10a+10b+a），
=（10a+b）（110b+11a），
=11（10a+b）（10b+a），
右边=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a），
=（100a+10a+10b+b）（10b+a），
=（110a+11b）（10b+a），
=11（10a+b）（10b+a），
左边=右边，
所以“数字对称等式”一般规律的式子为：
（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）．
同步拓展
1.（2012•盐城）已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：
a1=0，a2=﹣|a1+1|，a3=﹣|a2+2|，a4=﹣|a3+3|，…，依次类推，则a2012的值为（ ）
A．﹣1005B．﹣1006C．﹣1007D．﹣2012
【答案】B
【解答】解：
a1=0，a2=﹣|a1+1|=﹣|0+1|=﹣1，a3=﹣|a2+2|=﹣|﹣1+2|=﹣1，
a4=﹣|a3+3|=﹣|﹣1+3|=﹣2，a5=﹣|a4+4|=﹣|﹣2+4|=﹣2，…，
所以，n是奇数时，an=﹣
，n是偶数时，an=﹣
，
a2012=﹣
=﹣1006．
故选B．
2．（2012•泰州）根据排列规律，在横线上填上合适的代数式：
x，3x2，5x3， ，9x5，…．
【答案】7x4
【解答】由题意得，系数的变化规律为：
1、3、5、7、9…；
x的次数的变化规律为：
1、2、3、4…；故可得中间的空需要填：
7x4．
小结：
考点二：
猜想图形规律
例31．（2012•重庆）下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为（ ）
A．
50
B．
64
C．
68
D．
72
【答案】D
【分析】先根据题意求找出其中的规律，即可求出第⑥个图形中五角星的个数．
【解答】第①个图形一共有2个五角星，
第②个图形一共有：
2+（3×2）=8个五角星，
第③个图形一共有8+（5×2）=18个五角星，
…
第n个图形一共有：
1×2+3×2+5×2+7×2+…+2（2n﹣1）
=2[1+3+5+…+（2n﹣1）]，
=[1+（2n﹣1）]×n
=2n2，
则第（6）个图形一共有：
2×62=72个五角星；故选D．
例4（2012•绍兴）在一条笔直的公路边，有一些树和路灯，每相邻的两盏灯之间有3棵树，相邻的树与树，树与灯间的距离是10cm，如图，第一棵树左边5cm处有一个路牌，则从此路牌起向右510m～550m之间树与灯的排列顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意可得，第一个灯的里程数为10米，第二个灯的里程数为50，第三个灯的里程数为90米…第n个灯的里程数为10+40（n﹣1）=40n﹣30米，从而可计算出530米处哪个里程数是灯，也就得出了答案．
【解答】根据题意得：
第一个灯的里程数为10米，第二个灯的里程数为50，
第三个灯的里程数为90米
…
第n个灯的里程数为10+40（n﹣1）=（40n﹣30）米，
故当n=14时候，40n﹣30=530米处是灯，则510米、520米、540米处均是树，故应该是树、树、灯、树，
故选B．
小结：
同步拓展
1.（2012•荆门）已知：
顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2012个图形中直角三角形的个数有（ ）
【答案】B
【解答】第1个图形，有4个直角三角形，
第2个图形，有4个直角三角形，
第3个图形，有8个直角三角形，
第4个图形，有8个直角三角形，
…，
依次类推，当n为奇数时，三角形的个数是2（n+1），当n为偶数时，三角形的个数是2n个，
所以，第2012个图形中直角三角形的个数是2×2012=4024．故选B．
2．（2012•烟台）一个由小菱形组成的装饰链，断去了一部分，剩下部分如图所示，则断去部分的小菱形的个数可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】答案中断去的菱形个数均为较小的正整数，由所示的图形规律画出完整的装饰链，可得断去部分的小菱形的个数．
【解答】
如图所示，断去部分的小菱形的个数为5，故选C．
小结：
考点三：
猜想坐标变化
例4（2012•德州）如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2012的坐标为 ．
【答案】（2，1006）．
【分析】由于2012是4的倍数，故A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每4个为一组，可见，A2012在x轴上方，横坐标为2，再根据纵坐标变化找到规律即可解答．
【解答】∵2012是4的倍数，
∴A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每4个为一组，
∴A2012在x轴上方，横坐标为2，
∵A4、A8、A12的纵坐标分别为2，4，6，
∴A12的纵坐标为2012×
=1006．故答案为（2，1006）．
同步拓展
1.（2012•鸡西）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，照此规律作下去，则点B2012的坐标为 ．
【答案】（﹣21006，﹣21006）
【解答】∵正方形OABC边长为1，
∴OB=
，
∵正方形OBB1C1是正方形OABC的对角线OB为边，
∴OB1=2，
∴B1点坐标为（0，2），
同理可知OB2=2
，B2点坐标为（﹣2，2），
同理可知OB3=4，B3点坐标为（﹣4，0），
B4点坐标为（﹣4，﹣4），B5点坐标为（0，﹣8），
B6（8，﹣8），B7（16，0）
B8（16，16），B9（0，16
），
由规律可以发现，每经过9次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的
倍，
∵2012÷9=223…5，
∴B2012的纵横坐标符号与点B4的相同，纵横坐标都是负值，
∴B2012的坐标为（﹣21006，﹣21006）．
故答案为（﹣21006，﹣21006）．
小结：
考点四：
综合应用
例5（2012•佛山）规律是数学研究的重要内容之一．
初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号（数）及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面．
请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：
（1）写出奇数a用整数n表示的式子；
（2）写出有理数b用整数m和整数n表示的式子；
（3）函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律（课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律）．
下面对函数y=x2的某种数值变化规律进行初步研究：
xi
0
1
2
3
4
5
…
yi
0
1
4
9
16
25
…
yi+1﹣yi
1
3
5
7
9
11
…
请回答：
①当x的取值从0开始每增加
个单位时，y的值变化规律是什么？
②当x的取值从0开始每增加
个单位时，y的值变化规律是什么？
【分析】：
（1）n是任意整数，偶数是能被2整除的数，则偶数可以表示为2n，因为偶数与奇数相差1，所以奇数可以表示为2n+1．
（2）根据有理数是整数与分数的统称，而所有的整数都可以写成整数的形式，据此可以得到答案；
（3）根据图表计算出相应的数值后即可看出y随着x的变化而变化的规律；
【解答】
（1）n是任意整数，则表示任意一个奇数的式子是：
2n+1；
（2）有理数b=
（n≠0）；
（3）①当x=0时，y=0，
当x=
时，y=
，当x=1时，y=1，当x=
时，y=
．
故当x的取值从0开始每增加
个单位时，y的值依次增加
、
、
…
②当x=0时，y=0，当x=
时，y=
，当x=
时，y=
，当x=
时，y=
，
故当x的取值从0开始每增加
个单位时，y的值依次增加
、
、
…
小结：
第三部分每课质检
一．选择题
1.（2012•铜仁地区）如图，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑩个图形中平行四边形的个数是（ ）
A．54B．110C．19D．109
2.（2012•永州）如图，一枚棋子放在七角棋盘的第0号角，现依逆时针方向移动这枚棋子，其各步依次移动1，2，3，…，n个角，如第一步从0号角移动到第1号角，第二步从第1号角移动到第3号角，第三步从第3号角移动到第6号角，…．若这枚棋子不停地移动下去，则这枚棋子永远不能到达的角的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
3.（2012•扬州）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…若m3分裂后，其中有一个奇数是2013，则m的值是（ ）
A．43B．44C．45D．46
4．（2012•盐城）已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：
a1=0，a2=﹣|a1+1|，a3=﹣|a2+2|，a4=﹣|a3+3|，…，依次类推，则a2012的值为（ ）
A．﹣1005B．﹣1006C．﹣1007D．﹣2012
二．填空题
1.（2012•肇庆）观察下列一组数：
，
，
，
，
，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k个数是．
2.（2012•云南）观察下列图形的排列规律（其中▲、■、★分别表示三角形、正方形、五角星）．若第一个图形是三角形，则第18个图形是．（填图形的名称）▲■★■▲★▲■★■▲★▲…
3.（2012•岳阳）图中各圆的三个数之间都有相同的规律，据此规律，第n个圆中，m=用含n的代数式表示）．
4.（2012•宿迁）按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是 ．
5.（2012•山西）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是 ．
6.（2012•三明）填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，a的值是 ．
7.（2012•南宁）有若干张边长都是2的四边形纸片和三角形纸片，从中取一些纸片按如图所示的顺序拼接起来（排在第一位的是四边形），可以组成一个大的平行四边形或一个大的梯形．如果所取的四边形与三角形纸片数的和是5时，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是 ；如果所取的四边形与三角形纸片数的和是n，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是 ．
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