高中数学《数学归纳法》专题自测试题.docx

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高中数学《数学归纳法》专题自测试题

2015年高中数学《数学归纳法》专题自测试题

【梳理自测】

1．（教材习题改编）用数学归纳法证明1·n＋2·（n－1）＋3·（n－2）＋…＋n·1＝16n（n＋1）（n＋2）时，当n＝1时，等式左边有________．（）

A．1项B．2项C．3项D．n项

2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n（n－3）条时，第一步检验第一个值n0等于（）

A．1B．2C．3D．0

3．用数学归纳法证明：

“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a（a≠1，n∈N*）”在验证n＝1时，左端计算所得的项为（）

A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3

4．记凸k边形的内角和为f（k），则凸k＋1边形的内角和f（k＋1）＝f（k）＋________.

5．（教材习题改编）用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－1＜n（n∈N，且n＞1），第一步要证的不等式是________．

答案：

1.A2.C3.C4.180°5.1＋12＋13＜2

◆以上题目主要考查了以下内容：

数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0（n0∈N*）时命题成立；

（2）（归纳递推）假设n＝k（k≥n0，k∈N*）时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述方法叫做数学归纳法．

【指点迷津】

1．一类问题

数学归纳法是用来证明与正整数n有关的命题．

2．二个步骤

第一步是递推的“基础”，第二步是递推的“依据”，两个步骤缺一不可．

3．三个防范

①n0不一定是1.

②n＝k成立时，下一个后继数可能是n＝k＋1或者n＝k＋2等．

③证明n＝k＋1命题成立时，必须用n＝k的结论．

考向一用数学归纳法证明等式

例题1是否存在常数a，b，c使得等式1·22＋2·32＋…＋n（n＋1）2＝n（n＋112（an2＋bn＋c）对于一切正整数n都成立？

并证明你的结论．

【审题视点】由n＝1，n＝2，n＝3代入，求a，b，c，再用数学归纳法证明等式成立．

【典例精讲】假设存在符合题意的常数a，b，c，在等式1·22＋2·32＋…＋n（n＋1）2＝n（n＋112（an2＋bn＋c）中，

令n＝1，得4＝16（a＋b＋c）①

令n＝2，得22＝12（4a＋2b＋c）②

令n＝3，得70＝9a＋3b＋c③

由①②③解得a＝3，b＝11，c＝10，

于是，对于n＝1,2,3都有

1·22＋2·32＋…＋n（n＋1）2

＝n（n＋112（3n2＋11n＋10）（*）式成立．

下面用数学归纳法证明：

对于一切正整数n，（*）式都成立．

（1）当n＝1时，由上述知，（*）式成立．

（2）假设n＝k（k∈N*）时，（*）式成立，

即1·22＋2·32＋…＋k（k＋1）2＝k（k＋112（3k2＋11k＋10），

那么当n＝k＋1时，

1·22＋2·32＋…＋k（k＋1）2＋（k＋1）（k＋2）2

＝k（k＋112（3k2＋11k＋10）＋（k＋1）（k＋2）2

＝（k＋112（3k2＋5k＋12k＋24）

＝（k＋112[3（k＋1）2＋11（k＋1）＋10]，

由此可知，当n＝k＋1时，（*）式也成立．

综上所述，当a＝3，b＝11，c＝10时题设的等式对于一切正整数n都成立．

【类题通法】用数学归纳法证明等式时，要注意第

（1）步中验证n0的值，如本题要取n0＝2，在第

（2）步的证明中应在归纳假设的基础上正确地使用正切的差角公式．

变式训练

1．n∈N*，求证：

1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1

＋1n＋2＋…＋12n.

证明：

（1）当n＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝11＋1＝12.左边＝右边．

（2）假设n＝k时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，

则当n＝k＋1时，

12k＋12k＋2

＝12k＋12k＋2

＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋1＋12k＋2.

即当n＝k＋1时，等式也成立．

综合

（1），

（2）可知，对一切n∈N*，等式成立．

考向二用数学归纳法证明不等式

例题2已知函数f（x）＝13x3－x，数列{an}满足条件：

a1≥1，an＋1≥f′（an＋1）．试比较11＋a1＋11＋a2＋11＋a3＋…＋11＋an与1的大小，并说明理由．

【审题视点】由an＋1≥f′（an＋1）归纳猜想an的不等式，再得出11＋an的不等关系，求和比较大小．

【典例精讲】∵f′（x）＝x2－1，an＋1≥f′（an＋1），

∴an＋1≥（an＋1）2－1.

∵函数g（x）＝（x＋1）2－1＝x2＋2x在区间[1，＋∞）上单调递增，于是由a1≥1，得a2≥（a1＋1）2－1≥22－1，进而得a3≥（a2＋1）2－1≥24－1≥23－1，由此猜想：

an≥2n－1.

下面用数学归纳法证明这个猜想：

①当n＝1时，a1≥21－1＝1，结论成立；

②假设n＝k（k≥1且k∈N*）时结论成立，即ak≥2k－1，则当n＝k＋1时，由g（x）＝（x＋1）2－1在区间[1，＋∞）上单调递增知，ak＋1≥（ak＋1）2－1≥22k－1≥2k＋1－1，即n＝k＋1时，结论也成立．

由①、②知，对任意n∈N*，都有an≥2n－1.

即1＋an≥2n，∴11＋an≤12n，

∴11＋a1＋11＋a2＋11＋a3＋…＋11＋an≤12＋122＋123＋…＋12n＝1－12n＜1.

【类题通法】在由n＝k到n＝k＋1的推证过程中，应用放缩技巧，使问题得以简化，用数学归纳法证明不等式问题时，从n＝k到n＝k＋1的推证过程中，证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．

变式训练

2．设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an＋1an（n＝1,2，…）．

证明：

an＞对一切正整数n都成立．

证明：

当n＝1时，a1＝2＞，不等式成立．

假设当n＝k（k∈N*）时，ak＞成立．

那么当n＝k＋1时，

a2k＋1＝a2k＋2k＋2＞2k＋3＋2k＞2（k＋1）＋1.

∴当n＝k＋1时，ak＋1＞成立．

综上，an＞对一切正整数n都成立．

考向三归纳、猜想、证明

例题3（2014·东北三校联考）已知数列{an}的前n项和Sn满足：

Sn＝an2＋1an－1，且an＞0，n∈N*.

（1）求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；

（2）证明通项公式的正确性．

【审题视点】当n＝1时，建立关于a1的方程，求a1，再由a1建立a2的方程求a2，a3猜想an.由ak的表达式建立ak＋1的方程，求ak＋1.用数学归纳法证明．

【典例精讲】

（1）当n＝1时，

由已知得a1＝a12＋1a1－1，a21＋2a1－2＝0.

∴a1＝－1或a1＝－－1（舍去）．xKb1.Com

当n＝2时，由已知得a1＋a2＝a22＋1a2－1，

将a1＝－1代入并整理得a22＋2a2－2＝0.

∴a2＝－或a2＝－－（舍去）．

同理可得a3＝－.

由a1，a2，a3，猜想an＝－（n∈N*）．

（2）证明：

①由

（1）的计算过程知，当n＝1,2,3时，通项公式成立．

②假设当n＝k（k≥3，k∈N*）时，通项公式成立，即ak＝－.

那么由ak＋1＝Sk＋1－Sk＝ak＋12＋1ak＋1－ak2－1ak，

将ak＝－代入上式并整理得a2k＋1＋2ak＋1－2＝0，

解得：

ak＋1＝－

或ak＋1＝－－（舍去）．

即当n＝k＋1时，通项公式也成立．

由①和②，可知对所有n∈N*，an＝－都成立．

【类题通法】利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性．

变式训练

3．（2014·绵阳一模）已知数列{xn}满足x1＝12，xn＋1＝11＋xn，n∈N*.猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论．

解析：

由x1＝12及xn＋1＝11＋xn，

得x2＝23，x4＝58，x6＝1321，

由x2＞x4＞x6猜想：

数列{x2n}是递减数列．

下面用数学归纳法证明：

（1）当n＝1时，已证命题成立．

（2）假设当n＝k时命题成立，即x2k＞x2k＋2，易知xk＞0，那么x2k＋2－x2k＋4＝11＋x2k＋1－11＋x2k＋3

＝x2k＋3－x2k＋1（1＋x2k＋1

＝x2k－x2k＋2（1＋x2k＞0，

即x2（k＋1）＞x2（k＋1）＋2.

也就是说，当n＝k＋1时命题也成立．

结合

（1）和

（2）知命题成立．

典型例题（2014·九江模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，并且满足2Sn＝a2n＋n，an＞0（n∈N*）．

（1）猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

（2）设x＞0，y＞0，且x＋y＝1，证明：

＋≤.

【解题指南】

（1）将n＝1,2,3代入已知等式得a1，a2，a3，从而可猜想an，并用数学归纳法证明．

（2）利用分析法，结合x＞0，y＞0，x＋y＝1，利用基本不等式可证．

【思维流程】

寻找特例a1，a2，a3等．

猜想an的公式．

转换递推公式为an与an－1的关系．

用数学归纳法证明an.

①验证递推公式中的第一个自然数n＝2.

②推证ak＋1的表达式为k＋1.

③补验n＝1，说明对于n∈N*成立．

分析法证明．

【规范解答】

（1）分别令n＝1,2,3，得

2＋3，

∵an＞0，∴a1＝1，a2＝2，a3＝3.

猜想：

an＝n.………………2分

由2Sn＝a2n＋n①

可知，当n≥2时，2Sn－1＝a2n－1＋（n－1）②

①－②，得2an＝a2n－a2n－1＋1，

即a2n＝2an＋a2n－1－1.………………3分

（ⅰ）当n＝2时，a22＝2a2＋12－1，

∵a2＞0，∴a2＝2.…………………………4分

（ⅱ）假设当n＝k（k≥2）时，ak＝k，那么当n＝k＋1时，

a2k＋1＝2ak＋1＋a2k－1＝2ak＋1＋k2－1

⇒[ak＋1－（k＋1）][ak＋1＋（k－1）]＝0，

∵ak＋1＞0，k≥2，∴ak＋1＋（k－1）＞0，

∴ak＋1＝k＋1.……………………

即当n＝k＋1时也成立.……………………6分

∴an＝n（n≥2）．

显然n＝1时，也成立，故对于一切n∈N*，均有an＝n.7分

（2）要证＋≤，

只要证nx＋1＋2＋ny＋1≤2（n＋2）.…………8分

即n（x＋y）＋2＋2≤2（n＋2），

将x＋y＝1代入，得2≤n＋2，

即只要证4（n2xy＋n＋1）≤（n＋2）2，

即4xy≤1.10分

∵x＞0，y＞0，且x＋y＝1，∴≤x＋y2＝12，

即xy≤14，故4xy≤1成立，所以原不等式成立.12分

【规范建议】

（1）为了正确地猜想an，首先准确求出a1，a2，a3的值．

（2）证明n＝k到n＝k＋1这一步时，不要忽略了假设条件去证明，造成不是纯正的数学归纳法．

如本题：

2Sn－1＝a2n－1＋n－1

∴2（Sn－Sn－1）＝a2n－a2n－1＋1推导an与an－1的递推关系，再推出an，则不是数学归纳法．

（3）第二问中不等式证明不是关于n的不等式，由x＋y＝1来推证，则不能称为数学归纳法．

真题体验

1．（2012·高考天津卷）已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10.

（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；

（2）记Tn＝anb1＋an－1b2＋…＋a1bn，n∈N*，证明：

Tn＋12＝－2an＋10bn（n∈N*）．

解析：

（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d.

由条件，得方程组2＋3d＋2q3＝27，8＋6d－2q3＝10，解得d＝3，q＝2.

所以an＝3n－1，bn＝2n，n∈N*.

（2）证明：

（方法一）由

（1）得Tn＝2an＋22an－1＋23an－2＋…＋2na1，①

2Tn＝22an＋23an－1＋…＋2na2＋2n＋1a1.②

②－①，得

Tn＝－2（3n－1）＋3×22＋3×23＋…＋3×2n＋2n＋2

＝12（1－2n－11－2＋2n＋2－6n＋2

＝10×2n－6n－10.

而－2an＋10bn－12＝－2（3n－1）＋10×2n－12

＝10×2n－6n－10，

故Tn＋12＝－2an＋10bn，n∈N*.

（方法二）

（1）当n＝1时，T1＋12＝a1b1＋12＝16，－2a1＋10b1＝16，故等式成立；

（2）假设当n＝k时等式成立，

即Tk＋12＝－2ak＋10bk，

则当n＝k＋1时有

Tk＋1＝ak＋1b1＋akb2＋ak－1b3＋…＋a1bk＋1

＝ak＋1b1＋q（akb1＋ak－1b2＋…＋a1bk）

＝ak＋1b1＋qTk

＝ak＋1b1＋q（－2ak＋10bk－12）

＝2ak＋1－4（ak＋1－3）＋10bk＋1－24

＝－2ak＋1＋10bk＋1－12，

即Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1.

因此n＝k＋1时等式也成立．

由

（1）和

（2），可知对任意n∈N*，Tn＋12＝－2an＋10bn成立．

2．（2012·高考全国卷）函数f（x）＝x2－2x－3.定义数列{xn}如下：

x1＝2，xn＋1是过两点P（4,5）、Qn（xn，f（xn））的直线PQn与x轴交点的横坐标．

（1）证明：

2≤xn＜xn＋1＜3；

（2）求数列{xn}的通项公式．

解析：

（1）证明：

①当n＝1时，x1＝2，直线PQ1的方程为

y－5＝f（22－4（x－4），

令y＝0，解得x2＝114，所以2≤x1＜x2＜3.

②假设当n＝k时，结论成立，即2≤xk＜xk＋1＜3.

直线PQk＋1的方程为

y－5＝f（xk＋1xk＋1－4（x－4），

令y＝0，解得xk＋2＝3＋4xk＋12＋xk＋1.

由归纳假设知

xk＋2＝3＋4xk＋12＋xk＋1＝4－52＋xk＋1＜4－52＋3＝3；

xk＋2－xk＋1＝（3－xk＋12＋xk＋1＞0，

即xk＋1＜xk＋2.

所以2≤xk＋1＜xk＋2＜3，即当n＝k＋1时，结论成立．

由①②知对任意的正整数n,2≤xn＜xn＋1＜3.

（2）由

（1）及题意得xn＋1＝3＋4xn2＋xn.

设bn＝xn－3，则

1bn＋1＝5bn＋1，

1bn＋1＋14＝514，

数列14是首项为－34，公比为5的等比数列．

因此1bn＋14＝－34·5n－1，

即bn＝－43·5n－1＋1，

所以数列{xn}的通项公式为

xn＝3－43·5n－1＋1.

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