高中数学《数学归纳法》专题自测试题.docx

1、高中数学数学归纳法专题自测试题2015年高中数学数学归纳法专题自测试题【梳理自测】1(教材习题改编)用数学归纳法证明1n2(n1)3(n2)n116n(n1)(n2)时，当n1时，等式左边有_( )A1项 B2项 C3项 Dn项 2在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n3)条时，第一步检验第一个值n0等于( )A1 B2 C3 D03用数学归纳法证明：“1aa2an11an21a(a1，nN*)”在验证n1时，左端计算所得的项为( ) A1 B1a C1aa2 D1aa2a34记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)_.5(教材习题改编)用数学归纳法证明1

2、121312n1n(nN，且n1)，第一步要证的不等式是_答案：1.A 2.C 3.C 4.180 5.112132以上题目主要考查了以下内容：数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立上述方法叫做数学归纳法【指点迷津】 1一类问题数学归纳法是用来证明与正整数n有关的命题2二个步骤第一步是递推的“基础”，第二步是递推的“依据”，两个步骤缺一不可3三个防范n0不一定

3、是1.nk成立时，下一个后继数可能是nk1或者nk2等证明nk1命题成立时，必须用nk的结论考向一 用数学归纳法证明等式例题1是否存在常数a，b，c使得等式122232n(n1)2n(n112(an2bnc)对于一切正整数n都成立？并证明你的结论【审题视点】 由n1，n2，n3代入，求a，b，c，再用数学归纳法证明等式成立【典例精讲】 假设存在符合题意的常数a，b，c，在等式122232n(n1)2n(n112(an2bnc)中，令n1，得416(abc) 令n2，得2212(4a2bc) 令n3，得709a3bc 由解得a3，b11，c10，于是，对于n1,2,3都有122232n(n1)2

4、n(n112(3n211n10)(*)式成立下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，(*)式都成立(1)当n1时，由上述知，(*)式成立(2)假设nk(kN*)时，(*)式成立，即122232k(k1)2k(k112(3k211k10)，那么当nk1时，122232k(k1)2(k1)(k2)2k(k112(3k211k10)(k1)(k2)2(k112(3k25k12k24)(k1123(k1)211(k1)10，由此可知，当nk1时，(*)式也成立综上所述，当a3，b11，c10时题设的等式对于一切正整数n都成立【类题通法】 用数学归纳法证明等式时，要注意第(1)步中验证n0的值，如本题要

5、取n02，在第(2)步的证明中应在归纳假设的基础上正确地使用正切的差角公式变式训练1nN*，求 证：112131412n112n1n11n212n.证明：(1)当n1时，左边11212，右边11112.左边右边(2)假设nk时等式成立，即112131412k112k1k11k212k，则当nk1时，12k12k212k12k21k21k312k112k2.即当nk1时，等式也成立综合(1)，(2)可知，对一切nN*，等式成立考向二 用数学归纳法证明不等式例题2已知函数f(x)13x3x，数列an满足条件：a11，an1f(an1)试比较11a111a211a311an与1的大小，并说明理由【审

6、题视点】 由an1f(an1)归纳猜想an的不等式，再得出11an的不等关系，求和比较大小【典例精讲】 f(x)x21，an1f(an1)，an1(an1)21.函数g(x)(x1)21x22x在区间1，)上单调递增，于是由a11，得a2(a11)21221，进而得a3(a21)21241231，由此猜想：an2n1.下面用数学归纳法证明这个猜想：当n1时，a12111，结论成立；假设nk(k1且kN*)时结论成立，即ak2k1，则当nk1时，由g(x)(x1)21在区间1，)上单调递增知，ak1(ak1)2122k12k11，即nk1时，结论也成立由、知，对任意nN*，都有an2n1.即1a

7、n2n，11an12n，11a111a211a311an1212212312n112n1.【类题通法】 在由nk到nk1的推证过程中，应用放缩技巧，使问题得以简化，用数学归纳法证明不等式问题时，从nk到nk1的推证过程中，证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等变式训练2设数列an满足a12，an1an1an(n1,2，)证明：an对一切正整数n都成立证明：当n1时，a12，不等式成立假设当nk(kN*)时，ak成立那么当nk1时，a2k1a2k2k22k32k2(k1)1.当nk1时，ak1成立综上，an对一切正整数n都成立考向三 归纳、猜想、证明 例题3(2014东北三校联考

8、)已知数列an的前n项和Sn满足：Snan21an1，且an0，nN*.(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；(2)证明通项公式的正确性【审题视点】 当n1时，建立关于a1的方程，求a1，再由a1建立a2的方程求a2，a3猜想an.由ak的表达式建立ak1的方程，求ak1.用数学归纳法证明【典例精讲】 (1)当n1时，由已知得a1a121a11，a212a120.a11或a11(舍去)xKb 1. Com 当n2时，由已知得a1a2a221a21，将a11代入并整理得a222a220.a2或a2(舍去)同理可得a3.由a1，a2，a3，猜想an(nN*)(2)证明：由(1)的计算过程

9、知，当n1,2,3时，通项公式成立假设当nk(k3，kN*)时，通项公式成立，即ak.那么由ak1Sk1Skak121ak1ak21ak，将ak代入上式并整理得a2k12ak120，解得：ak1或ak1(舍去)即当nk1时，通项公式也成立由和，可知对所有nN*，an都成立【类题通法】 利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性变式训练3(2014绵阳一模)已知数列xn满足x112，xn111xn，nN*.猜想数列x2n的单调性，并证明你的结论解析：由x112及xn111xn，得x22

10、3，x458，x61321，由x2x4x6猜想：数列x2n是递减数列下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，已证命题成立(2)假设当nk时命题成立，即x2kx2k2，易知xk0，那么x2k2x2k411x2k111x2k3x2k3x2k1(1x2k1x2kx2k2(1x2k0， 即x2(k1)x2(k1)2.也就是说，当nk1时命题也成立结合(1)和(2)知命题成立典型例题(2014九江模拟)设数列an的前n项和为Sn，并且满足2Sna2nn，an0(nN*)(1)猜想an的通项公式，并用数学归纳法加以证明(2)设x0，y0，且xy1，证明：.【解题指南】 (1)将n1,2,3代入已知等式得a1

11、，a2，a3，从而可猜想an，并用数学归纳法证明(2)利用分析法，结合x0，y0，xy1，利用基本不等式可证【思维流程】 寻找特例a1，a2，a3等猜想an的公式转换递推公式为an与an1的关系用数学归纳法证明an.验证递推公式中的第一个自然数n2.推证ak1的表达式为k1. 补验n1，说明对于nN*成立分析法证明【规范解答】 (1)分别令n1,2,3，得23，an0，a11，a22，a33. 猜想：ann.2分 由2Sna2nn可知，当n2时，2Sn1a2n1(n1)，得2ana2na2n11，即a2n2ana2n11.3分()当n2时，a222a2121，a20，a22. 4分()假设当n

12、k(k2)时，akk，那么当nk1时，a2k12ak1a2k12ak1k21ak1(k1)ak1(k1)0，ak10，k2，ak1(k1)0，ak1k1.即当nk1时也成立.6分ann(n2)显然n1时，也成立，故对于一切nN*，均有ann.7分(2)要证，只要证nx12ny12(n2).8分 即n(xy)222(n2)，将xy1代入，得2n2，即只要证4(n2xyn1)(n2)2，即4xy1.10分x0，y0，且xy1，xy212，即xy14，故4xy1成立，所以原不等式成立.12分【规范建议】 (1)为了正确地猜想an，首先准确求出a1，a2，a3的值(2)证明nk到nk1这一步时，不要忽

13、略了假设条件去证明，造成不是纯正的数学归纳法如本题：2Sn1a2n1n12(SnSn1)a2na2n11推导an与an1的递推关系，再推出an，则不是数学归纳法(3)第二问中不等式证明不是关于n的不等式，由xy1来推证，则不能称为数学归纳法真题体验1(2012高考天津卷)已知an是等差数列，其前n项和为Sn，bn是等比数列，且a1b12，a4b427，S4b410.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)记Tnanb1an1b2a1bn，nN*，证明：Tn122an10bn(nN*)解析：(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.由a1b12，得a423d，b42q3，S486d

14、.由条件，得方程组23d2q327，86d2q310，解得d3，q2.所以an3n1，bn2n，nN*.(2)证明：(方法一)由(1)得Tn2an22an123an22na1，2Tn22an23an12na22n1a1.，得Tn2(3n1)32232332n2n212(12n1122n26n2102n6n10.而2an10bn122(3n1)102n12102n6n10，故Tn122an10bn，nN*.(方法二)(1)当n1时，T112a1b11216，2a110b116，故等式成立；(2)假设当nk时等式成立，即Tk122ak10bk，则当nk1时有Tk1ak1b1akb2ak1b3a1b

15、k1ak1b1q(akb1ak1b2a1bk)ak1b1qTkak1b1q(2ak10bk12)2ak14(ak13)10bk1242ak110bk112，即Tk1122ak110bk1.因此nk1时等式也成立由(1)和(2)，可知对任意nN*，Tn122an10bn成立2(2012高考全国卷)函数f(x)x22x3.定义数列xn如下：x12，xn1是过两点P(4,5)、Qn(xn，f(xn)的直线PQn与x轴交点的横坐标(1)证明：2xnxn13；(2)求数列xn的通项公式解析：(1)证明：当n1时，x12，直线PQ1的方程为y5f(224(x4)，令y0，解得x2114，所以2x1x23.假设当nk时，结论成立，即2xkxk13.直线PQk1的方程为y5f(xk1xk14(x4)，令y0，解得xk234xk12xk1.由归纳假设知xk234xk12xk1452xk145233；xk2xk1(3xk12xk10，即xk1xk2.所以2xk1xk23，即当nk1时，结论成立由知对任意的正整数n,2xnxn13.(2)由(1)及题意得xn134xn2xn.设bnxn3，则1bn15bn1，1bn114514，数列14是首项为34，公比为5的等比数列因此1bn14345n1，即bn435n11，所以数列xn的通项公式为xn3435n11.=*以上是由明师教育编辑整理=