名师整理最新中考数学专题复习《直线与圆的位置关系》精品教案.docx

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名师整理最新中考数学专题复习《直线与圆的位置关系》精品教案

中考数学人教版专题复习：

直线与圆的位置关系

一、教学内容

直线和圆的位置关系

1.直线和圆的位置关系.

2.切线的判定和性质.

3.切线长定理、三角形内切圆的性质.

二、知识要点

1.直线和圆的位置关系

如图

（1）直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这

条直线叫做圆的割线.

如图

（2）直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.

如图（3）直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离.

根据直线和圆相交、相切、相离的定义，容易得到：

直线l和⊙O相交

d＜r；

直线l和⊙O相切

d＝r；

直线l和⊙O相离

d＞r.

2.圆的切线

（1）判定定理：

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

（2）性质定理：

圆的切线垂直于过切点的半径.

3.切线长定理

（1）定义：

经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.

（2）切线长定理：

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

4.三角形的内切圆

与三角形三条边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.

三、重点难点

本讲重点是直线和圆的不同位置关系，以及切线的判定和性质、切线长定理等.其中，切线的判定和性质是本节的难点内容.

【典型例题】

例1.

（1）如图所示，⊙O的半径为5cm，直线l⊥OD，垂足为O，则直线l沿射线OD方向平移__________cm时与⊙O相切.

（2）⊙O的半径为r，直线l与⊙O有公共点，且圆心O到直线l的距离为d，则d与r的关系是（）

A.d＜rB.d＝rC.d＞rD.d≤r

分析：

（1）当圆心O到直线l的距离与圆的半径相等时，直线l仍与OD垂直且经过点D，此时l与⊙O相切，因此直线l应沿射线OD的方向平移5cm.

（2）直线l与⊙O有公共点，存在两种可能：

①直线l与⊙O有唯一公共点，此时直线l与⊙O相切，则d＝r；②直线l与⊙O有两个公共点，此

时直线l与⊙O相交，则d＜r，故选D.

解：

（1）5

（2）D

评析：

（1）本题在考查直线与圆的位置关系的同时，也考查了图形平移的特征.

（2）本题考查了利用直线与圆的公共点的个数来判断直线与圆的位置关系，从而得出d与r的关系.

例2.如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，AC和BD相交于点O，过O作EF∥AB，分别交BC于E，交AD于F.问以点B为圆心，

长为半径的圆与直线AC、EF、CD的位置关系分别是什么？

分析：

要判断⊙B与AC的位置关系，只要求出点B到AC的距离，把它与⊙B的半径

作比较，即可得出结论.其他两条直线与⊙B的位置关系也可同样判断.

解：

由题中已知条件得BO⊥AC，BO＝

BD＝

＝

，

即点B到AC的距离为

，与⊙B的半径相等，

∴直线AC与⊙B相切.

又∵

BC⊥CD，垂足为C，且BC＝2＞

，

∴直线CD与⊙B相离.

∵EF∥AB，

∴BE⊥EF，垂足为E，

且BE＝

BC＝

×2＝1＜

，

∴直线EF与⊙B相交.

评析：

判断直线与圆的位置关系时，一是可以根据直线与圆的公共点（交点）的个数来确定，二是比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小来确定.

例3.如图，AB是⊙O的直径，D在AB的延长线上，点C在圆上，AC＝DC，∠CAB＝30

°.试说明DC是⊙O的切线.

分析：

要说明DC是⊙O的切线，根据切线的定义，必须满足两个条件，一是半径，二是垂直.题目

中已知C点在圆上，所以OC是半径.为了研究问题的需要，作辅助线，连结半径OC，再说明OC⊥DC即可.

解：

连结OC，则OA＝OC.

所以∠OCA＝∠A＝30°，

∠COB＝∠A＋∠OCA＝60°.

因为CA＝CD，所以∠A＝∠D＝30°.

在△COD中，∠OCD＝180°－∠COD－∠D＝180°－60°－30°＝90°.

即OC⊥CD.又OC是⊙O的半径.

所以DC是⊙O的切线.

评析：

题目中“半径”已有，只需说明“垂直”，便可得直线与圆相切.在应用切线的定义时，要注意有时为了研究问题的需要，要作辅助线.如果在已知条件中，一条直线和圆上已有一个公共点，要说明这条直线是圆的切线，那么一般是连结这个公共点和圆心，再说明这条半径和直线垂直.简称为“连半径证垂直”.

例4.如图所示，已知AB切⊙O于B，OA交⊙O于C，又知△OBA的面积为6cm2，⊙O的半径为2cm，求AC的长.

分析：

AB切⊙O于B，则OB⊥AB，△AOB是直角三角形，应用勾股定理可求出OA的长，在此基础上便可求出AC的长.

解：

∵AB为⊙O的切线且切点为B，

∴OB⊥AB，∴△OAB为直角三角形.

又∵⊙O的半径为2cm，即OB＝2cm，

∴S△OAB＝6cm2.

∴

AB·OB＝6，即AB＝6cm.

设AC为xcm，则OA＝（2＋x）cm，

由勾股定理得OA2＝AB2＋OB2，

即（2＋x）2＝62＋

22.

解得：

x1＝2

－2，x2＝－2

－2（舍去）.

∴AC＝（2

－2）cm.

评析：

切线性质在圆的有关计算中有着重要的作用，要识别切线性质的基本图形.

例5.如图所示，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径.试说明：

（1）∠APB＝2∠ABC；

（2）AC∥OP.

分析：

此图是基本图形结构，图形中隐含着丰富的“内容”.要说明∠APB＝2∠ABC，也即是∠ABC＝

∠APB，由PA、PB为⊙O的切线知，∠BPO＝

∠APB.所以问题转化为研究∠ABC＝∠BPO.由BC是⊙O的直径，得AB⊥AC.只要OP⊥AB，就有AC∥OP.

解：

（1）因为PA、PB切⊙O于点A、B，

所以∠BPO＝

∠APB，PA＝PB.

所以PO⊥AB，有∠ABP＋∠BPO＝90°.

又PB是⊙O的切线，

所以OB⊥PB，有∠ABP＋∠ABC＝90°.

所以∠ABC＝∠BPO＝

∠APB，

即∠APB＝2∠ABC.

（2）因为BC是⊙O的直径，

所以AC⊥AB.已得PO⊥AB，

所以AC∥OP.

评析：

题目中已知从圆外一点引圆的两条切线，一定会联系到切线长性质，同学们要掌握这一个基本图形，知道其中有哪一些特殊三角形，有哪些相关的线段、相等的角、相等的弧等.明确这些会为解题带来许多方便.

例6.如图所示，△ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，P为

上任一点，若∠BAC＝40°，求∠EDF和∠EPF的度数.

分析：

根据已知切线，一般地应作出经过切点的半径这一规律，分别

连结IE、IF，则IF⊥AB，IE⊥AC，而∠A＝40°，则∠FIE＝360°－90°－90°－40°＝140°，由圆心角和圆周角定理可求出∠FDP、∠FDE.

解：

连结IE、IF，则IE⊥AC，IF⊥AB，

∴∠A＋∠EIF＝360°－90°－90°.

∵∠A＝40°，∴∠EIF＝140°，大于平角的∠EIF的度数是220°.

∴∠FDE＝70°，∠FPE＝110°.

评析：

已知切线常过切点作半径.

【方法总结】

切线的性质包括：

①切线与圆有唯一公共点；②和圆心的距离等于半径；③垂直于过切点的半径.切线的判定方法有：

①切线的定义：

与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；②数量关系上：

和圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线；③切线的判定定理：

经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

在解题过程中，如果有“圆的切线”这个条件，我们常用的方法是连结切点与圆心，构造直角三角形，记住口诀“见切点，连半径”，它是解决有关切线问题的重要辅助线.

切线判定方法的选择要根据题目条件：

①如果已知直线与圆的唯一公共点给定，一般利用切线的判定定理来证明；②如果直线与圆的唯一公共点没有给定时，则利用数量关系，作出圆心到直线的距离，证明这个距离等于这个圆的半径.

【模拟试题】（答题时间：

50分钟）

一、选择题

1.已知直线l，在l上取一点A，过A点与l相切且半径为5cm的圆有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.圆中最长弦长为10cm，如果直线与该圆相交，且直线与圆心的距离为d，则（）

A.d＞10cmB.d＜10cmC.d＞5cmD.d＜5cm

3.下列直线是圆的切线的是（）

A.与圆有公共点的直线

B.到圆心的距离等于圆的半径的直线

C.到圆心的距离大于圆的半径的直线

D.到圆心的距离小于圆的半径的直线

4.如图所示，PA切⊙O于A，PA＝

，∠APO＝30°，则PO的长为（）

A.1B.

C.2D.2

*5.如图所示，点D在⊙O的直径AB的延长线上，且BD＝BO，若CD切⊙O于点C，则∠CAB的度数为（）

A.30°B.60°C.15°D.45°

6.我们

知道，“两点之间线段最短”，“直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短”.在此基础上，人们定义了点与点的距离，点到直线的距离.类似地，如图，若P是⊙O外一点，直线PO交⊙O于A、B两点，PC切⊙O于点C，那么点P到⊙O的距离是（）

A.线段PO的长度B.线段PA的长度

C.线段PB的长度D.线段PC的长度

*7.如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC＝（）

A.130°B.10

0°C.50°D.65°

**8.定点A与⊙O上的任意一点之间的距离的最小值称为点A与⊙O之间的距离.现有一矩形ABCD如图，AB＝14cm，BC＝12cm，⊙K与矩形的边AB、BC、CD分别相切于点E、F、G，则点A与⊙K的距离为（）

A.4cmB.8cmC.10cmD.12cm

二、填空题

1.已知，⊙O的直径为10cm，圆心O到直线l的距离为d，若d＝5cm，则l与⊙O有__________个公共点，这时l与⊙O__________；若d＝4cm，则l与⊙O有__________个公共点，这时l与⊙O__________；若d＝6cm，则l与⊙O有__________个公共点，这时l与⊙O__________.

*2.在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（m，0），半径是2，如果⊙M与y轴所在直线相切，那么m＝__________，如果与y轴所在直线相交，那么m的取值范围为__________.

3.已知∠ABC＝60°，点O在∠ABC的平分线上，OB＝5cm，以O为圆心，3cm为半径作圆，则⊙O与BC的位置关系是__________.

4.如图所示，PA、PB切⊙O于A、B，∠P

＝50°，C在⊙O上，则∠C＝__________.

5.如图，已知直线CD与⊙O相切于点C，AB为直径，若∠BCD＝40°，则∠ABC的大小等于______________（度）.

**6.△ABC中，∠A＝80°，若I是内心，则∠BIC＝__________，若I'是外心，则∠BI'C＝__________.

7.如图，AB为半圆O的直径，延长AB到点P，使BP＝

AB，PC切半圆O于点C，点D是

上和点C不重合的一点，则∠D的度数为__________.

**8.如图，⊙O是边长为2的等边三角形ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为__________.

三、解答题

1.如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，以C为圆心，r为半径作圆，当r取下列各值时，分别确定斜边AB与⊙C的位置关系：

（1）r＝4cm；

（2）r＝4

.8cm；（3）r＝5.6cm.

2.如图，MP切⊙O于点M，直线PO交

⊙O于点A

、B，弦AC∥MP，求证：

MO∥BC.

3.如图所示，AD是△ABC的角平分线，⊙O过BC上一点D.且分别交AB、AC于E、F，且EF∥BC.求证：

BC与⊙O相切于点D.

4.如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB.

（1）求证：

AD⊥DC；

（2）若AD＝2，AC＝

，求AB的长.

【试题答案】

一、选择题

1.B2.D3.B4.C5.A6.B7.A8.A

二、填空题

1.一，相切；两，相交；0，相离

2.±2，－2＜m＜2

3.相交

4.65°

5.

50°

6.130°，160°

7.30°

8.

－

π

三、解答题

1.

（1）相离

（2）相切（3）相交

2.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°∵MP为⊙O的切线，∴∠PMO＝90°∵MP∥AC，∴∠P＝∠CAB，∴∠MOP＝∠B，故MO∥BC.

3.连结OD，∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∴

＝

，∴OD⊥EF，∵EF∥BC，∴OD⊥BC，∴BC与⊙O相切于点D.

4.

（1）连结OC，则OA＝OC、OC⊥CD，所以∠CAB＝∠OCA，又AC平分∠DAB，所以∠DAC＝∠OCA.由OC⊥CD知∠DCA＋∠OCA＝90°，所以∠DAC＋∠DCA＝90°，所以AD⊥DC.

（2）连结BC，过点C作CE⊥AB，则CE＝CD＝1，由面积相等，

CE·AB＝

BC·AC，得BC＝

AB.又AC2＋BC2＝AB2，解得AB＝

.