三角函数上课学习上课学习教案.docx

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三角函数教案

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　　m二、复习要求

　　、三角函数的概念及象限角、弧度制等概念;

　　2、三角公式,包括诱导公式,同角三角函数关系式和差倍半公式等;

　　3、三角函数的图象及性质。

　　三、学习指导

　　、角的概念的推广。

从运动的角度,在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。

这样一来,在直角坐标系中,当角的终边确定时,其大小不一定。

为了把握这些角之间的联系,引进终边相同的角的概念,凡是与终边α相同的角,都可以表示成k·3600α的形式,特例,终边在x轴上的角集合{α|α=k·1800,k∈Z},终边在y轴上的角集合{α|α=k·1800900,k∈Z},终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k·900,k∈Z}。

　　在已知三角函数值的大小求角的大小时,通常先确定角的终边位置,然后再确定大小。

　　弧度制是角的度量的重要表示法,能正确地进行弧度与角度的换算,熟记特殊角的弧度制。

在弧度制下,扇形弧长公式l=|α|R,扇形面积公式,其中α为弧所对圆心角的弧度数。

　　2、利用直角坐标系,可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数。

三角函数定义是本章重点,从它可以推出一些三角公式。

重视用数学定义解题。

　　设P是角α终边上任一点,记,则,,,。

　　利用三角函数定义,可以得到诱导公式:

即与α之间函数值关系,其规律是"奇变偶不变,符号看象限";同角三角函数关系式:

平方关系,倒数关系,商数关系。

　　3、三角变换公式包括和、差、倍、半公式,诱导公式是和差公式的特例,对公式要熟练地正用、逆用、变用。

如倍角公式:

cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α,变形后得,可以作为降幂公式使用。

　　三角变换公式除用来化简三角函数式外,还为研究三角函数图象及性质做准备。

　　4、三角函数的性质除了一般函数通性外,还出现了前面几种函数所没有的周期性。

周期性的定义:

设T为非零常数,若对f定义域中的每一个x,均有f=f,则称T为f的周期。

当T为f周期时,kT也为f周期。

　　三角函数图象是性质的重要组成部分。

利用单位圆中的三角函数线作函数图象称为几何作图法,熟练掌握平移、伸缩、振幅等变换法则。

　　5、本章思想方法

　　等价变换。

熟练运用公式对问题进行转化,化归为熟悉的基本问题;

　　数形结合。

充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题;

　　分类讨论。

　　四、典型例题

　　例1、已知函数f=

　　求它的定义域和值域;

　　求它的单调区间;

　　判断它的奇偶性;

　　判断它的周期性。

　　分析:

　　x必须满足sinx-cosx>0,利用单位圆中的三角函数线及,k∈Z

　　∴函数定义域为,k∈Z

　　∵

　　∴当x∈时,

　　∴

　　∴

　　∴函数值域为[）

　　∵f定义域在数轴上对应的点关于原点不对称

　　∴f不具备奇偶性

　　∵f=f

　　∴函数f最小正周期为2π

　　注;利用单位圆中的三角函数线可知,以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准,可区分sinx-cosx的符号;

　　以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准,可区分sinxcosx的符号,如图。

　　例2、化简,α∈

　　分析:

　　凑根号下为完全平方式,化无理式为有理式

　　∵

　　∴原式=

　　∵α∈

　　∴

　　∴

　　当时,

　　∴原式=

　　当时,

　　∴原式=

　　∴原式=

　　注:

　　、本题利用了"1"的逆代技巧,即化1为,是欲擒故纵原则。

一般地有,,。

　　2、三角函数式asinxbcosx是基本三角函数式之一,引进辅助角,将它化为是常用变形手段。

特别是与特殊角有关的sin±cosx,±sinx±cosx,要熟练掌握变形结论。

　　例3、求。

　　分析:

　　原式=

　　注:

在化简三角函数式过程中,除利用三角变换公式,还需用到代数变形公式,如本题平方差公式。

　　例4、已知00<α<β<900,且sinα,sinβ是方程=0的两个实数根,求sin的值。

　　分析:

　　由韦达定理得sinαsinβ=cos400,sinαsinβ=cos2400-

　　∴sinβ-sinα=

　　又sinαsinβ=cos400

　　∴

　　∵00<α<β<900

　　∴

　　∴sin=sin600=

　　注:

利用韦达定理变形寻找与sinα,sinβ相关的方程组,在求出sinα,sinβ后再利用单调性求α,β的值。

　　例5、已知cos5cosβ=0,求tan·tanα的值;

　　已知,求的值。

　　分析:

　　从变换角的差异着手。

　　∵2αβ=α,β=-α

　　∴8cos[α]5cos[-α]=0

　　展开得:

　　3coscosα-3sinsinα=0

　　同除以coscosα得:

tantanα=

　　以三角函数结构特点出发

　　∵

　　∴

　　∴tanθ=2

　　∴

　　注;齐次式是三角函数式中的基本式,其处理方法是化切或降幂。

　　例6、已知函数）,求f的最值,并讨论周期性,奇偶性,单调性。

　　分析:

　　对三角函数式降幂

　　∴f=

　　令

　　则y=au

　　∴0<a<1

　　∴y=au是减函数

　　∴由得,此为f的减区间

　　由得,此为f增区间

　　∵u=u

　　∴f=f

　　∴f为偶函数

　　∵u=f

　　∴f=f

　　∴f为周期函数,最小正周期为π

　　当x=kπ时,ymin=1

　　当x=kπ时,ynax=

　　注:

研究三角函数性质,一般降幂化为y=Asin等一名一次一项的形式。

　　同步

选择题

　　、下列函数中,既是上的增函数,又是以π为周期的偶函数是

　　A、y=lgx2B、y=|sinx|c、y=cosxD、y=

　　2、如果函数y=sin2xacos2x图象关于直线x=-对称,则a值为

　　A、-B、-1c、1D、

　　3、函数y=Asin,在一个周期内,当x=时,ymax=2;当x=时,ymin=-2,则此函数解析式为

　　A、B、

　　c、D、

　　4、已知=1998,则的值为

　　A、1997B、1998c、1999D、XX

　　5、已知tanα,tanβ是方程两根,且α,β,则αβ等于

　　A、B、或c、或D、

　　6、若,则sinx·siny的最小值为

　　A、-1B、-c、D、

　　7、函数f=3sin5sin的最大值是

　　A、5.5B、6.5c、7D、8

　　8、若θ∈B、c、D、

　　9、下列命题正确的是

　　A、若α,β是第一象限角,α>β,则sinα>sinβ

　　B、函数y=sinx·cotx的单调区间是,k∈Z

　　c、函数的最小正周期是2π

　　D、函数y=sinxcos2φ-cosxsin2x的图象关于y轴对称,则,k∈Z

　　0、函数的单调减区间是

　　A、B、

　　B、D、k∈Z

　　填空题

　　1、函数f=sincos的图象关于y轴对称,则θ=________。

　　2、已知αβ=,且tanα=0,那么tanβ=______。

　　3、函数y=2sinxcosx-的最大值与最小值的积为________。

　　4、已知22=1,则xy的最大值为________。

　　5、函数f=sin3x图象的对称中心是________。

　　解答题

　　6、已知tan=,tanβ=,α,β∈,求2α-β的值。

　　7、是否存在实数a,使得函数y=sin2xacosx在闭区间[0,]上的最大值是1?

若存在,求出对应的a值。

　　8、已知f=5sinxcosx-cos2x

　　求f的最小正周期;

　　求f单调区间;

　　求f图象的对称轴,对称中心。

　　参考答案

　　选择题

　　、B2、B3、B4、B5、A6、c7、c8、c9、D10、B

　　填空题

　　1、,k∈Z12、13、-414、15、

　　解答题

　　6、

　　7、

　　8、T=π

　　增区间[kπ-,kππ],减区间[kπ

　　对称中心,对称轴,k∈

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