第12章 第1课时机械振动.docx

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第12章第1课时机械振动

考点内容

要求

考纲解读

简谐运动

Ⅰ

1．本章考查的热点有简谐运动的特点及图象、波的图象以及波长、波速、频率的关系，光的折射和全反射，题型以选择题和填空题为主，难度中等偏下，波动与振动的综合及光的折射与全反射的综合，有的考区也以计算题的形式考查．

2．复习时应注意理解振动过程中回复力、位移、速度、加速度等各物理量的变化规律、振动与波动的关系及两个图象的物理意义，注意图象在空间和时间上的周期性，分析几何光学中的折射、全反射和临界角问题时，应注意与实际应用的联系，作出正确的光路图；光和相对论部分，以考查基本概念及对规律的简单理解为主，不可忽视任何一个知识点.

简谐运动的公式和图象

Ⅱ

单摆、单摆的周期公式

Ⅰ

受迫振动和共振

Ⅰ

机械波

Ⅰ

横波和纵波

Ⅰ

横波的图象

Ⅱ

波速、波长和频率（周期）的关系

Ⅱ

波的干涉和衍射现象

Ⅰ

多普勒效应

Ⅰ

光的折射定律

Ⅱ

折射率

Ⅰ

全反射、光导纤维

Ⅰ

光的干涉、衍射和偏振现象

Ⅰ

变化的磁场产生电场、变化的电场产生磁场、电磁波及其传播

Ⅰ

电磁波的产生、发射和接收

Ⅰ

电磁波谱

Ⅰ

狭义相对论的基本假设

Ⅰ

质速关系、质能关系

Ⅰ

相对论质能关系式

Ⅰ

实验：

探究单摆的运动、用单摆测定重力加速度

实验：

测定玻璃的折射率

实验：

用双缝干涉测量光的波长

第1课时　机械振动

考纲解读

1.知道简谐运动的概念，理解简谐运动的表达式和图象.2.知道什么是单摆，知道在摆角较小的情况下单摆的运动是简谐运动，熟记单摆的周期公式.3.理解受迫振动和共振的概念，掌握产生共振的条件．

1．[对简谐运动的理解]某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asint，则质点（　　）

A．第1s末与第3s末的位移相同

B．第1s末与第3s末的速度相同

C．3s末至5s末的位移方向都相同

D．3s末至5s末的速度方向都相同

答案　AD

解析　由关系式x＝Asint知，ω＝，简谐运动的周期T＝＝8s．关系式对应的振动图象如图所示．

质点在1s末的位移x1＝Asin（×1）＝A

质点在3s末的位移x3＝Asin（×3）＝A，故A正确．由前面计算可知t＝1s和t＝3s质点连续通过同一位置，故两时刻质点速度大小相等，但方向相反，B错误；由x－t图象可知，3s～4s内质点的位移为正值，4s～5s内质点的位移为负值，C错误；同样由x－t图象可知，在3s～5s内，质点一直向负方向运动，D正确．

2．[对单摆特点的理解]做简谐运动的单摆摆长不变，若摆球质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减小为原来的1/2，则单摆振动的（　　）

A．频率、振幅都不变

B．频率、振幅都改变

C．频率不变、振幅改变

D．频率改变、振幅不变

答案　C

解析　由单摆周期公式T＝2π知周期只与l、g有关，与m和v无关，周期不变，其频率不变．没改变摆球质量前，设单摆最低点与最高点高度差为h，最低点速度为v，mgh＝mv2.摆球质量改变后：

4mgh′＝×4m·（）2，可知h′≠h，振幅改变．

3．[对受迫振动与共振的理解]受迫振动是在周期性驱动力作用下的振动，关于它的驱动力与振动的关系，下面说法正确的是（　　）

A．做受迫振动的物体达到稳定后，其振动的频率一定等于驱动力的频率

B．做受迫振动的物体达到稳定后，周期一定等于驱动力的周期

C．做受迫振动的物体达到稳定后，振幅与驱动力的周期无关

D．做受迫振动的物体达到稳定后，振幅与驱动力的大小无关

答案　AB

解析　做受迫振动的物体达到稳定后，其振动频率（周期）等于驱动力的频率（周期），而和固有频率（周期）无关，A、B正确；当驱动力的周期和固有周期接近时，振动的振幅大，C错误；驱动力大，做功多，转化的能量多，受迫振动的振幅大，D错误．

1．简谐运动

（1）定义：

物体在跟位移大小成正比并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动．

（2）简谐运动的特征

①动力学特征：

F＝－kx.

②运动学特征：

x、v、a均按正弦或余弦规律发生周期性变化（注意v、a的变化趋势相反）．

③能量特征：

系统的机械能守恒，振幅A不变．

（3）描述简谐运动的物理量

①位移x：

由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段，是矢量．

②振幅A：

振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量，它表示振动的强弱．

③周期T和频率f：

物体完成一次全振动所需的时间叫做周期，而频率则等于单位时间内物体完成全振动的次数．它们是表示振动快慢的物理量，二者互为倒数关系：

T＝.

（4）简谐运动的表达式

①动力学表达式：

F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反．

②运动学表达式：

x＝Asin（ωt＋φ），其中A代表振幅，ω＝2πf表示简谐运动的快慢，ωt＋φ代表简谐运动的相位，φ叫做初相．

2．单摆

（1）定义：

如图1所示，在细线的一端拴一个小球，另一端固定在悬点上，如果线的伸长和质量都不计，球的直径比摆线短得多，这样的装置叫做单摆．

图1

（2）视为简谐运动的条件：

摆角小于5°.

（3）回复力：

小球所受重力沿圆弧切线方向的分力，即：

F＝G2＝Gsinθ＝－x，F的方向与位移x的方向相反．

（4）周期公式：

T＝2π.

（5）单摆的等时性：

单摆的振动周期取决于摆长l和重力加速度g，与振幅和振子（小球）质量都没有关系．

3．受迫振动与共振

（1）受迫振动：

系统在驱动力作用下的振动．做受迫振动的物体，它做受迫振动的周期（或频率）等于驱动力的周期（或频率），而与物体的固有周期（或频率）无关．

（2）共振：

做受迫振动的物体，它的固有频率与驱动力的频率越接近，其振幅就越大，当二者相等时，振幅达到最大，这就是共振现象．共振曲线如图2所示.

图2

考点一　简谐运动的图象及运动规律

振动图象的信息：

（1）由图象可以看出振幅、周期．

（2）可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移．

（3）可以根据图象确定某时刻质点回复力、加速度和速度的方向．

①回复力和加速度的方向：

因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度在图象上总是指向t轴．

②速度的方向：

速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定，若下一时刻位移增加，振动质点的速度方向就是远离t轴，若下一时刻位移减小，振动质点的速度方向就是指向t轴．

例1

　一质点做简谐运动，其位移和时间的关系如图3所示．

图3

（1）求t＝0.25×10－2s时的位移；

（2）在t＝1.5×10－2s到t＝2×10－2s的振动过程中，质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何变化？

（3）在t＝0到t＝8.5×10－2s时间内，质点的路程、位移各多大？

解析　

（1）由题图可知A＝2cm，T＝2×10－2s，振动方程为x＝Asin（ωt－）＝－Acosωt＝－2costcm＝－2cos100πtcm

当t＝0.25×10－2s时，x＝－2coscm＝－cm.

（2）由题图可知在1.5×10－2s～2×10－2s的振动过程中，质点的位移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大．

（3）从t＝0至t＝8.5×10－2s时间内经历个周期，质点的路程为s＝17A＝34cm，位移为2cm.

答案　

（1）－cm　

（2）变大　变大　变小　变小　变大

（3）34cm　2cm

求解简谐运动问题的有效方法就是紧紧抓住一个模型——水平方向振动的弹簧振子，熟练掌握振子的振动过程以及振子振动过程中各物理量的变化规律，遇到简谐运动问题，头脑中立即呈现出一幅弹簧振子振动的图景，再把问题一一对应、分析求解．

突破训练1

　如图4甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动．取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是（　　）

图4

A．t＝0.8s时，振子的速度方向向左

B．t＝0.2s时，振子在O点右侧6cm处

C．t＝0.4s和t＝1.2s时，振子的加速度完全相同

D．t＝0.4s到t＝0.8s的时间内，振子的速度逐渐减小

答案　A

解析　本题考查了弹簧振子以及振动图象，意在考查学生对简谐运动的理解．从t＝0.8s时起，再过一段微小时间，振子的位移为负值，因为取向右为正方向，故t＝0.8s时，速度方向向左，A正确；由题中图象得振子的位移x＝12sintcm，故t＝0.2s时，x＝6cm，故B错误；t＝0.4s和t＝1.2s时，振子的位移方向相反，由a＝知，加速度方向相反，C错误；t＝0.4s到t＝0.8s的时间内，振子的位移逐渐变小，故振子逐渐靠近平衡位置，其速度逐渐变大，故D错误．

考点二　单摆及其周期

1．受力特征：

重力和细线的拉力

（1）回复力：

摆球重力沿切线方向上的分力，F＝mgsinθ＝－x＝－kx，负号表示回复力F与位移x的方向相反．

（2）向心力：

细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力充当向心力，F向＝FT－mgcosθ.

特别提醒　1.当摆球在最高点时，F向＝＝0，FT＝mgcosθ.

2．当摆球在最低点时，F向＝，F向最大，FT＝mg＋m.

2．周期公式：

T＝2π，f＝

（1）只要测出单摆的摆长l和周期T，就可以根据g＝4π2，求出当地的重力加速度g.

（2）l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离，要区分摆长和摆线长，悬点实质为摆球摆动所在圆弧的圆心．

（3）g为当地的重力加速度．

例2

　如图5甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置．设向右为正方向．图乙是这个单摆的振动图象．根据图象回答：

图5

（1）单摆振动的频率是多大？

（2）开始时摆球在何位置？

（3）若当地的重力加速度为10m/s2，试求这个摆的摆长是多少？

解析　

（1）由题图乙知周期T＝0.8s，则频率

f＝＝1.25Hz

（2）由题图乙知，0时刻摆球在负向最大位移处，因向右为正方向，所以开始时摆球在B点．

（3）由T＝2π得l＝≈0.16m

答案　

（1）1.25Hz　

（2）B点　（3）0.16m

突破训练2

　如图6所示，一单摆悬于O点，摆长为L，若在O点的E下方的O′点钉一个光滑钉子，使OO′＝L/2，将单摆拉至A处释放，小球将在A、B、C间来回振动，若振动中摆线与竖直方向夹角小于5°，则此摆的周期是（　　）

图6

A．2π

B．2π

C．2π（＋）

D．π（＋）

答案　D

解析　根据T＝2π，该单摆有周期摆长为L，周期摆长为L，故T＝π＋π＝π（＋），故D正确．

考点三　受迫振动和共振

1．自由振动、受迫振动和共振的关系比较

　振动

项目

自由振动

受迫振动

共振

受力情况

仅受回复力　

受驱动力作用

受驱动力作用

振动周期或频率

由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0

由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱

T驱＝T0或f驱＝f0

振动能量

振动物体的机械能不变

由产生驱动力的物体提供

振动物体获得的能量最大　

常见例子

弹簧振子或单摆（θ≤5°）

机械工作时底座发生的振动

共振筛、声音的共鸣等

2．对共振的理解

（1）共振曲线：

如图7所示，横坐标为驱动力频率f，纵坐标为振幅A.它直观地反映了驱动力频率对某固有频率为f0的振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知，f与f0越接近，振幅A越大；当f＝f0时，振幅A最大．

（2）受迫振动中系统能量的转化：

做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换．

例3

　如图8所示，A球振动后，通过水平细绳迫使B、C振动，振动达到稳定时，下列说法中正确的是（　　）

图8

A．只有A、C的振动周期相等

B．C的振幅比B的振幅小

C．C的振幅比B的振幅大

D．A、B、C的振动周期相等

解析　A振动后，水平细绳上驱动力的周期TA＝2π，迫使B、C做受迫振动，受迫振动的频率等于A施加的驱动力的频率，所以TA＝TB＝TC，而TC固＝2π＝TA，TB固＝2π>TA，故C共振，B不共振，C的振幅比B的振幅大，所以C、D正确．

答案　CD

突破训练3

　一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线（振幅A与驱动力频率f的关系）如图9所示，则（　　）

图9

A．此单摆的固有周期约为0.5s

B．此单摆的摆长约为1m

C．若摆长增大，单摆的固有频率增大

D．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动

答案　B

解析　由共振曲线知此单摆的固有频率为0.5Hz，固有周期为2s；再由T＝2π，得此单摆的摆长约为1m；若摆长增大，单摆的固有周期增大，固有频率减小，则共振曲线的峰将向左移动．

49．单摆模型问题的特点和应用

单摆是一种理想化的物理模型，其周期公式为T＝2π，其中l为等效摆长：

摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离．如图10甲所示的双线摆的摆长l＝r＋Lcosα.乙图中小球（可看做质点）在半径为R的光滑圆槽中靠近A点振动，其等效摆长为l＝R.

图10

例4

　如图11所示，ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，C为弧形槽最低点，R≫

.甲球从弧形槽的球心处自由下落，乙球从A点由静止释放，问：

图11

（1）两球第1次到达C点的时间之比．

（2）若在圆弧的最低点C的正上方h处由静止释放小球甲，让其自由下落，同时将乙球从圆弧左侧由静止释放，欲使甲、乙两球在圆弧最低点C处相遇，则甲球下落的高度h是多少？

审题与关联

解析　

（1）甲球做自由落体运动

R＝gt，所以t1＝

乙球沿圆弧做简谐运动（由于

≪R，可认为摆角θ＜5°）．此运动与一个摆长为R的单摆运动模型相同，故此等效摆长为R，因此乙球第1次到达C处的时间为t2＝T＝×2π＝，所以t1∶t2＝

（2）甲球从离弧形槽最低点h高处自由下落，到达C点的时间为t甲＝

由于乙球运动的周期性，所以乙球到达C点的时间为

t乙＝＋n＝（2n＋1）　n＝0,1,2，…

由于甲、乙在C点相遇，故t甲＝t乙

联立解得h＝（n＝0,1,2，…）

答案　

（1）　

（2）（n＝0,1,2，…）

突破训练4

　一个半圆形光滑轨道如图12所示，半径是R，圆心是O，如果拿两个物体（可视为质点）分别放在O点和B点（B点离轨道最低点A很近），同时从静止释放，问这两个物体谁先到达A点？

图12

答案　放在O点的物体先到达A点

解析　解决此问题的关键是看这两个物体的运动可以看成什么物理模型．对于放在O点的物体，可看成是自由落体运动，于是可以求出从O到A的时间t1，由R＝gt得

t1＝1.41

对于放在B点的物体，从受力情况来看，受到了重力与指向圆心O的轨道面的支持力的作用，这个运动物体与单摆摆球的受力情况相似．又由于B离A很近，相当于摆角很小，于是，可以把它的运动看成单摆运动，从B到A经历个周期，设为t2，由T＝2π，得t2＝T＝1.57，即t2>t1，所以，放在O点的物体先到达A点．

高考题组

1．（2013·江苏单科·12B

（1））如图13所示的装置，弹簧振子的固有频率是4Hz.现匀速转动把手，给弹簧振子以周期性的驱动力，测得弹簧振子振动达到稳定时的频率为1Hz，则把手转动的频率为（　　）

图13

A．1HzB．3Hz

C．4HzD．5Hz

答案　A

解析　因把手每转动一周，驱动力完成一次周期性变化，即把手转动的频率即为驱动力的频率．弹簧振子做受迫振动，而受迫振动的频率等于驱动力的频率，与振动系统的固有频率无关，故A正确．

2．（2013·安徽理综·24）如图14所示，质量为M、倾角为α的斜面体（斜面光滑且足够长）放在粗糙的水平地面上，底部与地面的动摩擦因数为μ，斜面顶端与一劲度系数为k、自然长度为L的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块．压缩弹簧使其长度为L时将物块由静止释放，且物块在以后的运动过程中，斜面体始终处于静止状态．重力加速度为g.

图14

（1）求物块处于平衡位置时弹簧的长度；

（2）选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标轴，用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动；

（3）求弹簧的最大伸长量．

答案　

（1）L＋　

（2）见解析　（3）＋

解析　

（1）设物块在斜面上平衡时，弹簧的伸长量为ΔL，有mgsinα－kΔL＝0解得

ΔL＝

此时弹簧的长度为

L＋

（2）当物块的位移为x时，弹簧的伸长量为x＋ΔL，物块所受合力为

F合＝mgsinα－k（x＋ΔL）

联立以上各式可得F合＝－kx，可知物块做简谐运动．

（3）物块做简谐运动的振幅为A＝＋＝＋，由对称性可知，最大伸长量为A＋ΔL＝＋

模拟题组

3．如图15所示，质量相同的四个摆球悬于同一根横线上，四个摆的摆长分别为L1＝2m、L2＝1.5m、L3＝1m、L4＝0.5m．现以摆3为驱动摆，让摆3振动，使其余三个摆也振动起来，则摆球振动稳定后（　　）

图15

A．摆1的振幅一定最大

B．摆4的周期一定最短

C．四个摆的振幅相同

D．四个摆的周期相同

答案　D

解析　让摆3振动，则其余三个摆做受迫振动，四个摆的周期相同，振幅不同，摆1的振幅最小，选项D正确．

4．如图16甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图象，由图可知下列说法中正确的是（　　）

图16

A．在t＝0.2s时，弹簧振子的加速度为正向最大

B．在t＝0.1s与t＝0.3s两个时刻，弹簧振子在同一位置

C．在t＝0到t＝0.2s时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动

D．在t＝0.6s时，弹簧振子有最小的弹性势能

答案　BC

解析　t＝0.2s时，弹簧振子的位移为正向最大值，而弹簧振子的加速度与位移大小成正比，方向与位移方向相反，A错误；在t＝0.1s与t＝0.3s两个时刻，弹簧振子的位移相同，B正确；从t＝0到t＝0.2s时间内，弹簧振子从平衡位置向正的最大位移处运动，位移逐渐增大，加速度逐渐增大，加速度方向与速度方向相反，弹簧振子做加速度增大的减速运动，C正确；在t＝0.6s时，弹簧振子的位移为负向最大值，即弹簧的形变最大，弹簧振子的弹性势能最大，D错误．

5．甲、乙两弹簧振子，振动图象如图17所示，则可知（　　）

图17

A．两弹簧振子完全相同

B．两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲∶F乙＝2∶1

C．振子甲速度为零时，振子乙速度最大

D．两振子的振动频率之比f甲∶f乙＝1∶2

答案　CD

解析　从图象中可以看出，两弹簧振子周期之比T甲∶T乙＝2∶1，得频率之比f甲∶f乙＝1∶2，D选项正确；弹簧振子周期与振子质量、弹簧劲度系数k有关，周期不同，说明两弹簧振子不同，A错误；由于弹簧的劲度系数k不一定相同，所以两振子所受回复力（F＝－kx）的最大值之比F甲∶F乙不一定为2∶1，所以B错误；由简谐运动的特点可知，在振子到达平衡位置时位移为零，速度最大；在振子到达最大位移处时，速度为零，从图象中可以看出，在振子甲到达最大位移处时，振子乙恰好到达平衡位置，所以C正确．

（限时：

30分钟）

►题组1　对简谐运动的概念及对称性的考查

1．简谐运动的平衡位置是指（　　）

A．速度为零的位置B．回复力为零的位置

C．加速度为零的位置D．位移最大的位置

答案　B

解析　简谐运动的平衡位置是回复力为零的位置，而物体在平衡位置时加速度不一定为零，例如单摆在平衡位置时存在向心加速度．简谐运动的物体经过平衡位置时速度最大，位移为零．

2．如图1所示，弹簧振子在振动过程中，振子从a到b历时0.2s，振子经a、b两点时速度相同，若它从b再回到a的最短时间为0.4s，则该振子的振动频率为（　　）

图1

A．1HzB．1.25Hz

C．2HzD．2.5Hz

答案　B

解析　由简谐运动的对称性可知，tOb＝0.1s，tbc＝0.1s，故＝0.2s，解得T＝0.8s，f＝＝1.25Hz，选项B正确．

►题组2　对简谐运动的图象的考查

3．（2012·重庆理综·14）装有砂粒的试管竖直静浮于水面，如图2所示，将试管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动．若取竖直向上为正方向，则以下描述试管振动的图象中可能正确的是（　　）

图2

答案　D

解析　试管在竖直方向上做简谐运动，平衡位置是在重力与浮力相等的位置，开始计时时向上提起的距离，就是其偏离平衡位置的位移，为正向最大位移，因此应选D.

4．（2012·北京理综·17）一个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点．从某时刻开始计时，经过四分之一周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度．能正确反映振子位移x与时间t关系的图像是（　　）

答案　A

解析　根据F＝－kx及牛顿第二定律得a＝＝－x，当振子具有沿x轴正方向的最大加速度时，其具有沿x轴负方向的最大位移，故选项A正确，选项B、C、D错误．

5．劲度系数为20N/cm的弹簧振子，它的振动图象如图3所示，则（　　）

图3

A．在图中A点对应的时刻，振子所受的弹力大小为0.5N，方向指向x轴的负方向

B．在图中A点对应的时刻，振子的速度方向指向x轴的正方向

C．在0～4s内振子做了1.75次全振动

D．在0～4s内振子通过的路程为0.35cm，位移为0

答案　B

解析　由题图可知A在t轴上方，位移x＝0.25cm，所以弹力F＝－kx＝－5N，即弹力大小为5N，方向指向x轴的负方向，选项A错误．由题图可知此时振子的速度方向指向x轴的正方向，选项B正确．由题图可看出，t＝0、t＝4s时刻振子的位移都是最大，且都在t轴的上方，在0～4s内振子完成两次全振动，选项C错误．由于t＝0时刻和t＝4s时刻振子都在最大位移处，所以在0～4s内振子的位移为零，又由于振幅为0.5cm，在0～4s内振子完成了2次全振动，所以在这段时间内振子通过的路程为2×4×0.5cm＝4cm，故选项D错误．

6．弹簧振子做简谐运动的图象如图4所示，下列说法正确的是（　　）

图4

A．在第5秒末，振子的速度最大且沿＋x方向

B．在第5秒末，振子的位移最大且沿＋x方向

C．在第5秒末，振子的加速度最大且沿－x方向

D．在0到5秒内，振子通过的路程为10cm

答案　BCD

解析　由题图可知第5秒末，振子处于正的最大位移处，此时有负方向的最大加速度，速度为零，故B、C正确，A错误；在0到5s内，振子经过个全振动，路程为5A＝10cm，故D正确．

7．有一个在y方向上做简谐运动的物体，其振动图象如图5所示．下列关于图6中

（1）～（4）的判断正确的是（　　）

图5

图6

A．图

（1）可作为该