北京市清华大学届高三数学中学生标准学术能力诊断性测试试题理.docx

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北京市清华大学届高三数学中学生标准学术能力诊断性测试试题理

北京市清华大学2020届高三数学11月中学生标准学术能力诊断性测试试题理

本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.己知集合U＝{－1，1，3，5，7，9}，A＝{1，5}，B＝{－1，5，7}，则

（A∪B）＝

A.{3，9}B.{I，5，7}C.{－1，1，3，9}D.{－1，1，3，7，9}

2.己知空间三条直线l，m，n，若l与m垂直，l与n垂直，则

A.m与n异面B.m与n相交

C.m与n平行D.m与n平行、相交、异面均有可能

3.复数z满足|z－1|＝|z＋3|，则|z|

A.恒等于1B.最大值为1，无最小值

C.最小值为1，无最大值D.无最大值，也无最小值

4.某几何体的三视图如图所示（单位：

cm），则该几何体的表面积（单位：

cm2）是

A.16B.32C.44D.64

5.已知x＋y>0，则“2|x|＋x2>2|y|＋y2”是“x>0”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.函数y＝ln|x|·cos（

－2x）的图像可能是

7·已知两个不相等的非零向量

，

，满足|

|与

－

的夹角为60°，则|

|的取值范围是

A.

B.

C.

D.

8.已知随机变量ξ的分布列为：

则下列说法正确的是

A.存在x，y∈（0，1），E（ξ）>

B.对任意x，y∈（0，1），E（ξ）≤

C.对任意x，y∈（0，1），D（ξ）≤E（ξ）D.存在x，y∈（0，1），D（ξ）>

9.设函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a，b，c，d∈R且a≠0），若0<2f

（2）＝3f（3）＝4f（4）<1，则f

（1）＋f（5）的取值范围是

A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）

10.已知F1，F2分别为双曲线

的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，使得点F2到直线PF1的距离为a，则该双曲线的离心率的取值范围是

A.

B.

C.

D.

11.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E，F分别是边AB，CD的中点，现将△ABC沿着对角线AC翻折，则直线EF与平面ACD所成角的正切值最大值为

A.

B.

C.

D.

12.己数列{an}满足a1＝1，an＋1＝lnan＋

＋1，记Sn＝[a1]＋[a2]＋···＋[an]，[t]表示不超过t的最大整数，则S2019的值为

A.2019B.2018C.4038D.4037

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在[－2，2]上随机地取一个实数k，则事件“直线y＝kx与圆（x－5）2＋y2＝9相交”发生的概率为。

14.如图，在△ABC中，AB>AC，BC＝

，A＝60°，△ABC的面积等于

，则角平分线AD的长等于。

15.已知数列{an}满足an＋an＋1＝15－2n，其前n项和为Sn，若Sn≤S8恒成立，则a1的取值范围为。

16.已知P为椭圆C：

上一个动点，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，O为坐标原点，O到椭圆C在P点处的切线距离为d，若

，则d＝。

三、解答题：

共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：

60分。

17.（12分）已知函数f（x）＝sinx－

cosx

（1）求函数f（x）的单调递增区间；

（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f（B）＝

，b＝3，求△ABC面积的最大值。

18.（12分）如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，BC＝2AD，AD⊥CD，PD⊥平面ABCD，E为PB的中点。

（1）求证：

AE//平面PDC；

（2）若BC＝CD＝PD，求直线AC与平面PBC所成角的余弦值。

19.（12分）已知甲盒内有大小相同的2个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑球，现从甲，乙两个盒内各取2个球。

（1）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；

（2）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望。

20.（12分）如图，斜率为k的直线l与抛物线y2＝4x交于A、B两点，直线PM垂直平分弦AB，且分别交AB、x轴于M、P，已知P（4，0）。

（1）求M点的横坐标；

（2）求△PAB面积（用k表示）。

21.（12分）已知函数

。

（1）若a＝0，求函数f（x）的值域；

（2）设函数f（x）的两个零点为x1，x2，且x1≠x2，求证：

x1·x2>e2。

（二）选考题：

共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

作答时请写清题号。

22.[选修4－4：

坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

（α为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P的极坐标为

，直线l的极坐标方程为

。

（1）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；

（2）若Q是曲线C上的动点，M为线段PQ的中点，直线l上有两点A，B，始终满足|AB|＝4，求△MAB面积的最大值与最小值。

23.[选修4－5：

不等式选讲]（10分）

已知a，b，c为正实数，且满足a＋b＋c＝3。

证明：

（1）ab＋bc＋ac≤3；

（2）

。