整合提升密码50.docx

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整合提升密码50

专训1.利用特殊四边形的性质巧解折叠问题

名师点金：

四边形的折叠问题是指将四边形按照某种方式折叠，然后在平面图形内按照要求完成相应的计算和证明．折叠的本质是图形的轴对称变换，折叠后的图形与原图形全等．

平行四边形的折叠问题

1．在▱中，＝6，＝8，∠B是锐角，将△沿对角线所在直线折叠，点D落在△所在平面内的点E处．如果恰好经过的中点，那么▱的面积是．

2．如图，将平行四边形纸片沿对角线所在直线折叠，点D落在点E处，恰好经过边的中点．若＝3，＝6，求∠B的度数．

（第2题）

矩形的折叠问题

3．（中考·衢州）如图①，将矩形沿折叠，使顶点A落在上的点A′处，然后将矩形展平，沿折叠，使顶点A落在折痕上的点G处．再将矩形沿折叠，此时顶点B恰好落在上的点H处．如图②.

（1）求证：

＝；

（2）已知＝，求和的长．

（第3题）

菱形的折叠问题

（第4题）

4．如图，在菱形中，∠A＝120°，E是上的点，沿折叠△，点A恰好落在上的F点，连接，那么∠的度数是（　　）

A．60°B．70°C．75°D．80°

5．如图，将菱形纸片折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为.若菱形的边长为2，∠A＝120°，求的长．

（第5题）

正方形的折叠问题

（第6题）

6．如图，正方形纸片的边长＝12，E是上一点，＝5，折叠正方形纸片使点B和点E重合，折痕为，则的长为．

7．（中考·德州）如图，现有一张边长为4的正方形纸片，点P为正方形边上的一点（不与点A，点D重合）．将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，交于H，折痕为，连接，.

（1）求证：

∠＝∠.

（2）当点P在边上移动时，△的周长是否发生变化？

并证明你的结论．

（第7题）

专训2.利用特殊四边形的性质巧解动点问题

名师点金：

利用特殊四边形的性质解动点问题，一般将动点看成特殊点解决问题，再运用从特殊到一般的思想，将特殊点转化为一般点（动点）来解答．

平行四边形中的动点问题

1．如图，在▱中，E，F两点在对角线上运动（E，F两点不重合），且保持＝，连接，.请你猜想与有怎样的数量关系和位置关系，并对你的猜想加以证明．

（第1题）

矩形中的动点问题

2．已知，在矩形中，＝4，＝8，的垂直平分线分别交，于点E，F，垂足为O.

（1）如图①，连接，，试说明四边形为菱形，并求的长；

（2）如图②，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△和△各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为5，点Q的速度为4，运动时间为ts，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

（第2题）

菱形中的动点问题

3．如图，在菱形中，∠B＝60°，动点E在边上，动点F在边上．

（1）如图①，若E是的中点，∠＝60°，求证：

＝；

（2）如图②，若∠＝60°，求证：

△是等边三角形．

（第3题）

正方形中的动点问题

4．如图，正方形的边长为8，E，F，G，H分别是，，，上的动点，且＝＝＝.

（1）求证：

四边形是正方形；

（2）判断直线是否经过一个定点，并说明理由．

（第4题）

专训3.特殊平行四边形中的五种常见热门题型

名师点金：

本章主要学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质与判定的灵活应用，其中特殊平行四边形中的折叠问题、动点问题、中点四边形问题、图形变换问题是中考的热门考点．

特殊平行四边形中的折叠问题

1．如图，将一张长为10，宽为8的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（图③中的虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（　　）

A．102B．202

C．402D．802

（第1题）

（第2题）

2．（中考·泰安）如图，在矩形中，E是的中点，将△沿直线折叠后得到△，延长交于点F，若＝6，＝4，则的长为（　　）

A．2B．4D．2

3．如图，将正方形纸片折叠，使边，均落在对角线上，得折痕，，则∠的大小为（　　）　

A．15°B．30°C．45°D．60°

（第3题）

（第4题）

特殊平行四边形中的动点问题

4．如图，在△中，∠B＝90°，＝60，∠A＝60°.点D从点C出发沿方向以4的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以2的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0≤t≤15）．过点D作⊥于点F，连接，.若四边形为菱形，则t的值为（　　）　

A．5B．10

C．15D．20

5．如图，正方形的边长为4，∠的平分线交于点E.若点P，Q分别是和上的动点，则＋的最小值是（　　）

A．2B．4C．2D．4

（第5题）

（第6题）

特殊平行四边形中的中点四边形问题

6．如图，在四边形中，＝a，＝b，且⊥，顺次连接四边形各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，…，如此进行下去，得到四边形.下列结论正确的是（　　）

①四边形A4B4C4D4是菱形；②四边形A3B3C3D3是矩形；③四边形A7B7C7D7的周长为；④四边形的面积为.

A．①②③B．②③④

C．①③④D．①②③④

7．（中考·广安）如图，已知E，F，G，H分别为菱形四边的中点，＝6，∠＝60°，则四边形的面积为．

（第7题）

（第8题）

特殊平行四边形中的图形变换问题

8．（中考·枣庄）如图，边长为1的正方形绕点A逆时针旋转45°得到正方形1C1D1，边B1C1与交于点O，则四边形1的面积是（　　）

－1D．1＋

9．如图，四边形是正方形，点G是边上任意一点，⊥于点E，∥，交于点F.

（1）求证：

－＝；

（2）将△绕点A逆时针旋转，使得与重合，记此时点F的对应点为点F′，若正方形的边长为3，求点F′与旋转前的图形中点E之间的距离．

（第9题）

灵活应用特殊平行四边形的性质与判定进行计算或证明

10．如图，在▱中，E，F分别是，的中点，连接，.

（1）求证：

△≌△；

（2）连接，当＝时，判断四边形是什么特殊四边形，并说明理由．

（第10题）

11．（中考·漳州）如图，在矩形中，点E在边上，将该矩形沿折叠，使点D落在边上的点F处，过点F作∥，交于点G，连接.

（1）求证：

四边形为菱形；

（2）若＝8，＝4，求的值．

（第11题）

12．如图①，在正方形中，E，F分别是边，上的点，且⊥.

（1）求证：

＝.

（2）如图②，在正方形中，M，N，P，Q分别是边，，，上的点，且⊥与是否相等？

并说明理由．

（第12题）

专训4.全章热门考点整合应用

名师点金：

本章内容是中考的必考内容，主要考查与平行四边形、矩形、菱形、正方形有关的计算和证明等问题．近几年又出现了许多与平行四边形有关的开放探索题、操作题以及与全等、相似（以后学到）、函数知识相结合的综合题．其主要考点可概括为：

一个性质，两个定理，四个图形，三个技巧，三种思想．

一个性质——直角三角形斜边上的中线性质

1．如图，在△中，点D，E，F分别是，，的中点，是边上的高．求证：

（1）四边形是平行四边形；

（2）∠＝∠.

　（第1题）

两个定理

三角形的中位线定理

2．如图，已知在四边形中，＝且⊥，点E，F，G，H，P，Q分别是，，，，，的中点．

求证：

（1）四边形是矩形；

（2）四边形是菱形．

　（第2题）

多边形的内角和与外角和定理

3．如果一个多边形的内角和等于1260°，那么这个多边形的边数为（　　）

A．7B．8C．9D．10

5．如图，一张多边形纸片按图所示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（　　）

A．13B．14C．15D．16

（第4题）

（第5题）

5．如图，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则∠α等于度．

6．如图所示，小明从A点出发，沿直线前进8米后左转40°，再沿直线前进8米，又左转40°，照这样走下去，他第一次回到出发点A时：

（1）整个行走路线是什么图形？

（2）一共走了多少米？

（第6题）

四个图形

平行四边形

7．如图，E，F分别是▱的，边上的点，且＝.

（1）求证：

△≌△；

（2）若M，N分别是，的中点，连接，，试判断四边形是什么特殊的四边形，并证明你的结论．

　（第7题）

矩形

8．如图，在▱中，点O是与的交点，过点O的直线与的延长线，的延长线分别交于点E，F.

（1）求证：

△≌△.

（2）连接，，则与满足什么数量关系时，四边形是矩形？

请说明理由．

　（第8题）

菱形

9．如图，在△中，D，E分别是，的中点，过点E作∥，交于点F.

（1）求证：

四边形是平行四边形．

（2）当△满足什么条件时，四边形是菱形？

为什么？

　（第9题）

正方形

10．（中考·甘孜州）已知E，F分别为正方形的边，上的点，，相交于点G，当E，F分别为边，的中点时，有：

①＝；

②⊥成立．试探究下列问题：

（1）如图①，若点E不是边的中点，点F不是边的中点，且＝，上述结论①，②是否仍然成立？

（请直接回答“成立”或“不成立”，不需要证明）

（2）如图②，若点E，F分别在的延长线和的延长线上，且＝，此时，上述结论①，②是否仍然成立？

若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

（3）如图③，在

（2）的基础上，连接和，若点M，N，P，Q分别为，，，的中点，请判断四边形是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并说明理由．

（第10题）

11．如图，已知在△中，∠＝90°，先把△绕点B顺时针旋转90°后至△，再把△沿射线平移至△，，相交于点H.

（1）判断线段，的位置关系，并说明理由；

（2）连接，求证：

四边形是正方形．

（第11题）

三个技巧

解与四边形有关的折叠问题的技巧（轴对称变换法）

12．如图所示，在矩形中，＝10，＝5，点E，F分别在，上，将矩形沿折叠，使点A，D分别落在矩形外部的点A1，D1处，求阴影部分图形的周长．

（第12题）

解与四边形有关的旋转问题的技巧（特殊位置法）

13．如图，正方形的对角线相交于点O，点O也是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于1，那么正方形A′B′C′O绕顶点O转动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？

请说明理由．

（第13题）

解与四边形有关的动态问题的技巧（固定位置法）

14．如图，在边长为10的菱形中，对角线＝16，对角线，相交于点G，点O是直线上的动点，⊥于E，⊥于F.

（1）求对角线的长及菱形的面积．

（2）如图①，当点O在对角线上运动时，＋的值是否发生变化？

请说明理由．

（3）如图②，当点O在对角线的延长线上时，＋的值是否发生变化？

若不变，请说明理由；若变化，请探究，之间的数量关系，并说明理由．

（第14题）

三种思想

方程思想

15．如图，四边形是平行四边形，⊥于点E，⊥交的延长线于点F，＝4，＝5，四边形的周长为36.求，的长．

（第15题）

16．如图，在矩形纸片中，，相交于点O，∶＝1∶2，＝，将纸片折叠使点B与点D重合，求折叠后纸片重合部分的面积．

（第16题）

转化思想

17．如图，在▱中，对角线，相交于点O，过点O作直线交于点E，交于点F，若▱的面积为302，求阴影部分的面积．

（第17题）

分类讨论思想

18．已知四边形是正方形，△是等边三角形，求∠的度数．

答案

1．12　点拨：

如图，设，的交点为O，连接，已知O是的中点．∵在△和△中，＝，＝，＝，∴△≌△，则△≌△，∴∠＝∠，同时，＝，即在四边形中，两条对角线相等．∵在△中，∠＝∠，∴＝，易得O是的中点．∴四边形是矩形，在△中，＝＝6，＝＝8，由勾股定理得＝＝＝2.

∴▱的面积＝·＝6×2＝12.

（第1题）

（第2题）

2．解：

设与相交于点F，如图．

∵四边形为平行四边形，∴∥.∴∠1＝∠3.

∵平行四边形纸片沿对角线所在直线折叠，点D落在点E处，

∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2.∴＝.

∵F为边的中点，＝6，∴＝＝＝×6＝3.

又∵＝3，∴△是等边三角形．∴∠B＝60°.

3．

（1）证明：

由折叠知＝＝，＝.

∵四边形是矩形，∴＝.∴＝.

（2）解：

∵∠＝45°，∠＝∠A＝90°，＝，

∴＝，＝2.∴＝2＋.

如图，由折叠知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∴∠2＋∠4＝90°，∠1＋∠3＝90°.

∵∠1＋∠＝90°，∴∠3＝∠.

又∵∠A＝∠B＝90°，由

（1）知，＝，∴△≌△.

∴＝.∴＝＋＝＋＝2＋＋＝2＋2.

（第3题）

（第5题）

4．C

5．解：

如图，连接，.

∵四边形是菱形，∴⊥，平分∠.

∵∠＝120°，∴∠＝60°.∴∠＝90°－60°＝30°.

∵∠＝90°，∴＝＝×2＝1.

由勾股定理，得＝＝.

∵点A沿折叠与点O重合，∴⊥，平分.

∵⊥，∴∥，易得为△的中位线，

∴＝＝×（＋）＝.

6．13　点拨：

如图，过点F作⊥，垂足为M，连接，，设交于点N，由折叠的性质知⊥，

∴∠C＝∠＝90°，∴∠＝∠.易知＝，∠＝∠C，∴△≌△，∴＝＝5，由勾股定理得＝＝13.

（第6题）

（第7题）

7．

（1）证明：

∵＝，∴∠＝∠.

又∵∠＝∠＝90°，∴∠－∠＝∠－∠，

即∠＝∠.

又∵∥，∴∠＝∠，∴∠＝∠.

（2）解：

△的周长不变且为定值8.

证明如下：

过B作⊥，垂足为Q.如图．由

（1）知∠＝∠，

又∵∠A＝∠＝90°，＝，∴△≌△.

∴＝，＝.又∵＝，∴＝.

又∵∠C＝∠＝90°，＝，

∴△≌△，∴＝.

∴△的周长为：

＋＋＝＋＋＋＝＋＝8.

1．解：

＝，∥.证明如下：

∵四边形是平行四边形，∴＝，∥.

∴∠＝∠.

在△和△中，∵＝，∠＝∠，＝，

∴△≌△.∴＝，∠＝∠.

∵∠＋∠＝∠＋∠＝180°，

∴∠＝∠.∴∥.

2．解：

（1）∵四边形是矩形，∴∥.

∴∠＝∠，∠＝∠.

∵垂直平分，垂足为O，∴＝.

∴△≌△.∴＝.∴四边形为平行四边形．

又∵⊥，∴四边形为菱形．

设＝＝x，则＝（8－x），

（第2题）

在△中，＝4，由勾股定理得42＋（8－x）2＝x2，解得x＝5.

∴＝5.

（2）显然当P点在上，Q点在上时，A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在上，Q点在或上时，也不可能构成平行四边形．因此只有当P点在上，Q点在上时，才能构成平行四边形，如图，连接，，则以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，此时＝.∵点P的速度为5，点Q的速度为4，运动时间为ts，

∴＝5t，＝（12－4t）.∴5t＝12－4t，解得t＝.

∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t＝.

3．证明：

（1）连接.∵在菱形中，∠B＝60°，∴＝＝，∠＝180°－∠B＝120°.∴△是等边三角形．又∵E是的中点，∴⊥.∵∠＝60°，∴∠＝90°－∠＝30°.∴∠＝180°－∠－∠＝180°－30°－120°＝30°.∴∠＝∠.∴＝.∴＝.

（2）连接.由

（1）知△是等边三角形，

∴＝，∠＝∠＝60°.

又∵∠＝60°，∴∠＝∠.

∵∠＝120°，∠＝60°，

∴∠＝60°＝∠B.

∴△≌△.

∴＝.∴△是等边三角形．

　（第3题）

（第4题）

4．

（1）证明：

如图，∵四边形为正方形，

∴∠A＝∠＝∠C＝∠＝90°，＝＝＝.

∵＝＝＝，∴＝＝＝.

∴△≌△≌△≌△.　

∴∠1＝∠2，＝＝＝.∴四边形为菱形．

∵∠1＋∠3＝90°，∠1＝∠2，∴∠2＋∠3＝90°.∴∠＝90°.

∴四边形为正方形．

（2）解：

直线经过一个定点．理由如下：

如图，连接，，，.设与交于O点．

∵綊，∴四边形为平行四边形．

∴，互相平分．∴＝.∴点O为正方形的中心．

∴直线必过正方形的中心．

1．A　2　3

4．B　点拨：

在△中，∠＝90°，∠C＝30°，＝4t，所以＝2t.又因为＝2t，所以＝.因为∥，所以可推出四边形为平行四边形．令＝，则60－4t＝2t.解得t＝10.所以当t＝10时，四边形为菱形．

5．C　点拨：

连接交于点O，由图可知，＋的最小值即为的长，由正方形的边长为4可知，的长为2，所以＋的最小值为2.

6．A

（第7题）

7．92　点拨：

连接，，设，相交于点O，如图，

易知，四边形是矩形．

由四边形是菱形，∠＝60°，

可得∠＝30°，

又∵∠＝90°，∴＝＝3.

∴＝6.

在△中，＝＝3（），

∴＝6.

∵＝，＝，∴＝3，＝3.

∴矩形的面积＝·＝3×3＝9

（2）．

8．C

9．

（1）证明：

∵四边形是正方形，

（第9题）

∴＝，∠＝∠＋∠＝90°.

∵⊥，∴∠＝∠＝90°.

∴∠＋∠＝90°.∴∠＝∠.

又∵∥，∴∠＝∠＝90°.

在△和△中，

∵

∴△≌△（）．

∴＝.∵－＝，∴－＝.

（2）解：

如图，由题意知将△绕A点旋转得到△′，B与D重合，连接F′E，由

（1）易得＝.

根据题意知：

∠′＝90°，＝＝′，

∴∠F′＝∠＝90°.

即∠F′＋∠＝180°.

∴′∥.

∴四边形′为平行四边形．

又∠＝90°，∴四边形′是矩形．

∵＝3，∴′＝＝3.

10．

（1）证明：

∵四边形为平行四边形，

∴＝，∠B＝∠D，＝.∵E，F分别是，的中点，

∴＝.∴△≌△（）．

（2）解：

四边形是矩形，理由：

∵＝，＝，＝，∴＝.

∵∥，∴四边形是平行四边形．

当＝时，⊥，∴∠＝90°.

∴四边形是矩形．

　（第11题）

11．

（1）证明：

如图，由折叠的性质可知：

＝，＝，∠1＝∠2，

∵∥，∴∠3＝∠1.∴∠2＝∠3.∴＝.∴＝＝＝.

∴四边形为菱形．

（2）解：

设＝x，则＝＝x，＝8－x，

在△中，2＋2＝2，即42＋（8－x）2＝x2，

解得x＝5.∴＝8－x＝3.∴＝.

12．

（1）证明：

∵四边形是正方形，∴＝，∠D＝∠＝90°，

∴∠＋∠＝90°.

∵⊥，∴∠＋∠＝90°.

∴∠＝∠.∴△≌△（）．∴＝.

（2）解：

与相等．理由如下：

过点A作∥交于F，过点B作∥交于E，∵⊥，∴⊥，由

（1）知＝.易证四边形，四边形都是平行四边形，∴＝，＝，∴＝.

1．证明：

（1）∵点D，E分别是，的中点，

∴∥.同理可得∥.∴四边形是平行四边形．

（2）由

（1）知四边形是平行四边形，∴∠＝∠.

在△中，∵D是的中点，∴＝＝，

∴∠＝∠.

同理可得＝＝，

∴∠＝∠.∴∠＋∠＝∠＋∠.

∴∠＝∠.∴∠＝∠.

2．证明：

（1）∵点E，F，G，H分别为，，，的中点，

∴∥，∥，∥，∥，

∴∥，∥，∴四边形是平行四边形．

又∵⊥，∴⊥.∴▱是矩形．

（2）∵点E，P，G，Q分别为，，，的中点，

∴＝，＝，＝，＝.

∵＝，∴＝＝＝，∴四边形是菱形．

点拨：

在三角形中出现两边中点，常考虑利用三角形中位线得到线段的平行关系或数量关系．

3．C　4　5.72

6．解：

（1）正九边形．

（2）9×8＝72（米）．　答：

一共走了72米．

7．

（1）证明：

∵四边形是平行四边形，

∴＝，∠A＝∠C.　又∵＝，∴△≌△（）．

（2）解：

四边形是平行四边形．

证明：

由

（1）知△≌△，∴＝，∠＝∠.

∵M，N分别是，的中点，

∴＝，＝.∴＝.

又∵四边形是平行四边形，∴∥.

∴∠＝∠.∴∠＝∠.∴∥.

∴四边形是平行四边形．

8．

（1）证明：

∵四边形是平行四边形，

∴＝，∥，∴∠＝∠.

在△和△中，

∴△≌△（）．

（2）解：

当＝时，四边形是矩形．

理由如下：

由

（1）知△≌△，∴＝.

∵＝，∴四边形是平行四边形．

又∵＝，∴四边形是矩形．

9．

（1）证明：

∵D，E分别是，的中点，

∴是△的中位线，∴∥.

又∵∥，∴四边形是平行四边形．

（2）解：

答案不唯一，下列解法供参考．

当＝时，四边形是菱形．

理由：

∵D是的中点，∴＝.

∵是△的中位线，∴＝.

又∵＝，∴＝.

又∵四边形是平行四边形，

∴四边形是菱形．

10．解：

（1）上述结论①，②仍然成立．

（2）上述结论①，②仍然成立．

证明：

∵四边形为正方形，

∴＝，∠＝∠＝90°.

在△和△中，

∴△≌△（）．

∴＝，∠＝∠.

∵∠＋∠＝90°，∴∠＋∠＝90°.