《离散数学》试题及标准答案.docx

《离散数学》试题及标准答案.docx

《《离散数学》试题及标准答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《离散数学》试题及标准答案.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

《离散数学》试题及标准答案

《离散数学》试题及答案

————————————————————————————————作者：

————————————————————————————————日期：

一、填空题

1设集合A,B，其中A＝{1,2,3},B={1,2},则A-B＝{3};ρ（A）-ρ（B）＝{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.

2.设有限集合A,|A|=n,则|ρ（A×A）|=

.

3.设集合A={a,b},B={1,2},则从A到B的所有映射是α1={（a,1）,（b,1）},α2={（a,2）,（b,2）},α3={（a,1）,（b,2）},α4={（a,2）,（b,1）},其中双射的是α3,α4.

4.已知命题公式G＝⌝（P→Q）∧R，则G的主析取范式是（P∧⌝Q∧R）

5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为12，分枝点数为3.

6设A、B为两个集合,A={1,2,4},B={3,4},则从A⋂B＝{4};A⋃B＝{1,2,3,4};

A－B＝{1,2}.

7.设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是自反性,对称性

传递性.

8.设命题公式G＝⌝（P→（Q∧R）），则使公式G为真的解释有（1,0,0）,（1,0,1）,（1,1,0）

9.设集合A＝{1,2,3,4},A上的关系R1={（1,4）,（2,3）,（3,2）},R2={（2,1）,（3,2）,（4,3）},则R1∙R2={（1,3）,（2,2）,（3,1）},R2∙R1={（2,4）,（3,3）,（4,2）}_R12={（2,2）,（3,3）.

10.设有限集A,B，|A|=m,|B|=n,则||ρ（A⨯B）|=

.

11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A={x|-1≤x≤1,x∈R},B={x|0≤x<2,x∈R},则A-B=-1<=x<0,B-A={x|1

A∩B={x|0≤x≤1,x∈R},.

13.设集合A＝{2,3,4,5,6}，R是A上的整除关系，则R以集合形式（列举法）记为

{（2,2）,（2,4）,（2,6）,（3,3）,（3,6）,（4,4）,（5,5）,（6,6）}.

14.设一阶逻辑公式G=∀xP（x）→∃xQ（x），则G的前束范式是∃x（⌝P（x）∨Q（x））.

15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加21条边才能把G变成完全图。

（完全图的边数

，树的边数为n-1）

16.设谓词的定义域为{a,b},将表达式∀xR（x）→∃xS（x）中量词消除，写成与之对应的命题公式是_（R（a）∧R（b））→（S（a）∨S（b））_.

17.设集合A＝{1,2,3,4}，A上的二元关系R＝{（1,1）,（1,2）,（2,3）},S＝{（1,3）,（2,3）,（3,2）}。

则R⋅S＝{（1,3）,（2,2）},

R2＝{（1,1）,（1,2）,（1,3）}.

二、选择题

1设集合A={2,{a},3,4}，B={{a},3,4,1}，E为全集，则下列命题正确的是（C）。

（A）{2}∈A（B）{a}⊆A（C）∅⊆{{a}}⊆B⊆E（D）{{a},1,3,4}⊂B.

2设集合A={1,2,3},A上的关系R＝{（1,1）,（2,2）,（2,3）,（3,2）,（3,3）}，则R不具备（D）.

（A）自反性（B）传递性（C）对称性（D）反对称性

3设半序集（A,≤）关系≤的哈斯图如下所示，若A的子集B={2,3,4,5},则元素6为B的（B）。

（A）下界（B）上界（C）最小上界（D）以上答案都不对

4下列语句中，（B）是命题。

（A）请把门关上（B）地球外的星球上也有人

（C）x+5>6（D）下午有会吗？

5设I是如下一个解释：

D＝{a,b},

则在解释I下取真值为1的公式是（D）.

（A）∃x∀yP（x,y）（B）∀x∀yP（x,y）（C）∀xP（x,x）（D）∀x∃yP（x,y）.

6.若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是（C）.

（A）（1,2,2,3,4,5）（B）（1,2,3,4,5,5）（C）（1,1,1,2,3）（D）（2,3,3,4,5,6）.

7.设G、H是一阶逻辑公式，P是一个谓词，G＝∃xP（x）,H＝∀xP（x）,则一阶逻辑公式G→H是（C）.

（A）恒真的（B）恒假的（C）可满足的（D）前束范式.

8设命题公式G＝⌝（P→Q），H＝P→（Q→⌝P），则G与H的关系是（A）。

（A）G⇒H（B）H⇒G（C）G＝H（D）以上都不是.

9设A,B为集合，当（D）时A－B＝B.

（A）A＝B（B）A⊆B（C）B⊆A（D）A＝B＝∅.

10设集合A={1,2,3,4},A上的关系R＝{（1,1）,（2,3）,（2,4）,（3,4）},则R具有（B）。

（A）自反性（B）传递性（C）对称性（D）以上答案都不对

11下列关于集合的表示中正确的为（B）。

（A）{a}∈{a,b,c}（B）{a}⊆{a,b,c}（C）∅∈{a,b,c}（D）{a,b}∈{a,b,c}

12命题∀xG（x）取真值1的充分必要条件是（A）.

（A）对任意x，G（x）都取真值1.（B）有一个x0，使G（x0）取真值1.

（C）有某些x，使G（x0）取真值1.（D）以上答案都不对.

13.设G是连通平面图，有5个顶点，6个面，则G的边数是（A）.

（A）9条（B）5条（C）6条（D）11条.

14.设G是5个顶点的完全图，则从G中删去（A）条边可以得到树.

（A）6（B）5（C）10（D）4.

15.设图G的相邻矩阵为

，则G的顶点数与边数分别为（D）.

（A）4,5（B）5,6（C）4,10（D）5,8.

三、计算证明题

1.设集合A＝{1,2,3,4,6,8,9,12}，R为整除关系。

（1）画出半序集（A,R）的哈斯图；

（2）写出A的子集B={3,6,9,12}的上界，下界，最小上界，最大下界；

（3）写出A的最大元，最小元，极大元，极小元。

解：

（1）

（2）B无上界，也无最小上界。

下界1,3;最大下界是3

（3）A无最大元，最小元是1，极大元8,12,9;极小元是1

2.设集合A＝{1,2,3,4}，A上的关系R＝{（x,y）|x,y∈A且x≥y},求

（1）画出R的关系图；

（2）写出R的关系矩阵.

解：

（1）

（2）

3.设R是实数集合，σ,τ,ϕ是R上的三个映射，σ（x）=x+3,τ（x）=2x,ϕ（x）＝x/4,试求复合映射σ•τ，σ•σ,σ•ϕ,ϕ•τ，σ•ϕ•τ.

解：

（1）σ•τ＝σ（τ（x））＝τ（x）+3＝2x+3＝2x+3.

（2）σ•σ＝σ（σ（x））＝σ（x）+3＝（x+3）+3＝x+6,

（3）σ•ϕ＝σ（ϕ（x））＝ϕ（x）+3＝x/4+3,

（4）ϕ•τ＝ϕ（τ（x））＝τ（x）/4＝2x/4=x/2,

（5）σ•ϕ•τ＝σ•（ϕ•τ）＝ϕ•τ+3＝2x/4+3＝x/2+3.

▲4.设I是如下一个解释：

D={2,3},

a

b

f

（2）

f（3）

P（2,2）

P（2,3）

P（3,2）

P（3,3）

3

2

3

2

0

0

1

1

试求

（1）P（a,f（a））∧P（b,f（b））;

（2）∀x∃yP（y,x）.

解：

（1）P（a,f（a））∧P（b,f（b））=P（3,f（3））∧P（2,f

（2））

=P（3,2）∧P（2,3）

=1∧0

=0.

（2）∀x∃yP（y,x）=∀x（P（2,x）∨P（3,x））

=（P（2,2）∨P（3,2））∧（P（2,3）∨P（3,3））

=（0∨1）∧（0∨1）

=1∧1

=1.

5.设集合A＝{1,2,4,6,8,12}，R为A上整除关系。

（1）画出半序集（A,R）的哈斯图；

（2）写出A的最大元，最小元，极大元，极小元；

（3）写出A的子集B={4,6,8,12}的上界，下界，最小上界，最大下界.

解：

（1）

（2）无最大元，最小元1，极大元8,12;极小元是1.

（3）B无上界，无最小上界。

下界1,2;最大下界2.

6.设命题公式G=⌝（P→Q）∨（Q∧（⌝P→R））,求G的主析取范式。

解：

G=⌝（P→Q）∨（Q∧（⌝P→R））

=⌝（⌝P∨Q）∨（Q∧（P∨R））

=（P∧⌝Q）∨（Q∧（P∨R））

=（P∧⌝Q）∨（Q∧P）∨（Q∧R）

=（P∧⌝Q∧R）∨（P∧⌝Q∧⌝R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧⌝R）∨（P∧Q∧R）∨（⌝P∧Q∧R）

=（P∧⌝Q∧R）∨（P∧⌝Q∧⌝R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧⌝R）∨（⌝P∧Q∧R）

=m3∨m4∨m5∨m6∨m7=∑（3,4,5,6,7）.

7.（9分）设一阶逻辑公式：

G=（∀xP（x）∨∃yQ（y））→∀xR（x），把G化成前束范式.

解：

G=（∀xP（x）∨∃yQ（y））→∀xR（x）

=⌝（∀xP（x）∨∃yQ（y））∨∀xR（x）

=（⌝∀xP（x）∧⌝∃yQ（y））∨∀xR（x）

=（∃x⌝P（x）∧∀y⌝Q（y））∨∀zR（z）

=∃x∀y∀z（（⌝P（x）∧⌝Q（y））∨R（z））

9.设R是集合A={a,b,c,d}.R是A上的二元关系,R={（a,b）,（b,a）,（b,c）,（c,d）},

（1）求出r（R）,s（R）,t（R）；

（2）画出r（R）,s（R）,t（R）的关系图.

解：

（1）

r（R）＝R∪IA＝{（a,b）,（b,a）,（b,c）,（c,d）,（a,a）,（b,b）,（c,c）,（d,d）},

s（R）＝R∪R－1＝{（a,b）,（b,a）,（b,c）,（c,b）（c,d）,（d,c）},

t（R）＝R∪R2∪R3∪R4＝{（a,a）,（a,b）,（a,c）,（a,d）,（b,a）,（b,b）,（b,c）,（b,d）,（c,d）}；

（2）关系图:

11.通过求主析取范式判断下列命题公式是否等价：

（1）G=（P∧Q）∨（⌝P∧Q∧R）

（2）H=（P∨（Q∧R））∧（Q∨（⌝P∧R））

解：

G＝（P∧Q）∨（⌝P∧Q∧R）

＝（P∧Q∧⌝R）∨（P∧Q∧R）∨（⌝P∧Q∧R）

＝m6∨m7∨m3

＝∑（3,6,7）

H=（P∨（Q∧R））∧（Q∨（⌝P∧R））

＝（P∧Q）∨（Q∧R））∨（⌝P∧Q∧R）

＝（P∧Q∧⌝R）∨（P∧Q∧R）∨（⌝P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（⌝P∧Q∧R）

＝（P∧Q∧⌝R）∨（⌝P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）

＝m6∨m3∨m7

G,H的主析取范式相同，所以G=H.

13.设R和S是集合A＝{a,b,c,d}上的关系，其中R＝{（a,a）,（a,c）,（b,c）,（c,d）},S＝{（a,b）,（b,c）,（b,d）,（d,d）}.

（1）试写出R和S的关系矩阵；

（2）计算R•S,R∪S,R－1,S－1•R－1.

解：

（1）

（2）R•S＝{（a,b）,（c,d）},

R∪S＝{（a,a）,（a,b）,（a,c）,（b,c）,（b,d）,（c,d）,（d,d）},

R－1＝{（a,a）,（c,a）,（c,b）,（d,c）},

S－1•R－1＝{（b,a）,（d,c）}.

四、证明题

1.利用形式演绎法证明：

{P→Q,R→S,P∨R}蕴涵Q∨S。

解：

（1）P∨RP

（2）⌝R→PQ

（1）

（3）P→QP

（4）⌝R→QQ

（2）（3）

（5）⌝Q→RQ（4）

（6）R→SP

（7）⌝Q→SQ（5）（6）

（8）Q∨SQ（7）

2.设A,B为任意集合，证明：

（A-B）-C=A-（B∪C）.

解：

（A-B）-C=

3.（本题10分）利用形式演绎法证明：

{⌝A∨B,⌝C→⌝B,C→D}蕴涵A→D。

解：

（1）AD（附加）

（2）⌝A∨BP

（3）BQ

（1）

（2）

（4）⌝C→⌝BP

（5）B→CQ（4）

（6）CQ（3）（5）

（7）C→DP

（8）DQ（6）（7）

（9）A→DD

（1）（8）

所以{⌝A∨B,⌝C→⌝B,C→D}蕴涵A→D.

4.（本题10分）A,B为两个任意集合，求证：

A－（A∩B）=（A∪B）－B.

解：

4.A－（A∩B）

=A∩~（A∩B）

＝A∩（~A∪~B）

＝（A∩~A）∪（A∩~B）

＝∅∪（A∩~B）

＝（A∩~B）

＝A－B

而（A∪B）－B

=（A∪B）∩~B

=（A∩~B）∪（B∩~B）

=（A∩~B）∪∅

=A－B

所以：

A－（A∩B）=（A∪B）－B.

参考答案

一、填空题

1.{3};{{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.

2.

.

3.α1={（a,1）,（b,1）},α2={（a,2）,（b,2）},α3={（a,1）,（b,2）},α4={（a,2）,（b,1）};α3,α4.

4.（P∧⌝Q∧R）.

5.12,3.

6.{4},{1,2,3,4},{1,2}.

7.自反性；对称性；传递性.

8.（1,0,0）,（1,0,1）,（1,1,0）.

9.{（1,3）,（2,2）,（3,1）};{（2,4）,（3,3）,（4,2）};{（2,2）,（3,3）}.

10.2m⨯n.

11.{x|-1≤x<0,x∈R};{x|1

12.12;6.

13.{（2,2）,（2,4）,（2,6）,（3,3）,（3,6）,（4,4）,（5,5）,（6,6）}.

14.∃x（⌝P（x）∨Q（x））.

15.21.

16.（R（a）∧R（b））→（S（a）∨S（b））.

17.{（1,3）,（2,2）};{（1,1）,（1,2）,（1,3）}.

二、选择题

1.C.2.D.3.B.4.B.

5.D.6.C.7.C.

8.A.9.D.10.B.11.B.

13.A.14.A.15.D

三、计算证明题

1.

（1）

（2）B无上界，也无最小上界。

下界1,3;最大下界是3.

（3）A无最大元，最小元是1，极大元8,12,90+;极小元是1.

2.R={（1,1）,（2,1）,（2,2）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）}.

（1）

（2）

3.

（1）σ•τ＝σ（τ（x））＝τ（x）+3＝2x+3＝2x+3.

（2）σ•σ＝σ（σ（x））＝σ（x）+3＝（x+3）+3＝x+6,

（3）σ•ϕ＝σ（ϕ（x））＝ϕ（x）+3＝x/4+3,

（4）ϕ•τ＝ϕ（τ（x））＝τ（x）/4＝2x/4=x/2,

（5）σ•ϕ•τ＝σ•（ϕ•τ）＝ϕ•τ+3＝2x/4+3＝x/2+3.

4.

（1）P（a,f（a））∧P（b,f（b））=P（3,f（3））∧P（2,f

（2））

=P（3,2）∧P（2,3）

=1∧0

=0.

（2）∀x∃yP（y,x）=∀x（P（2,x）∨P（3,x））

=（P（2,2）∨P（3,2））∧（P（2,3）∨P（3,3））

=（0∨1）∧（0∨1）

=1∧1

=1.

5.

（1）

（2）无最大元，最小元1，极大元8,12;极小元是1.

（3）B无上界，无最小上界。

下界1,2;最大下界2.

6.G=⌝（P→Q）∨（Q∧（⌝P→R））

=⌝（⌝P∨Q）∨（Q∧（P∨R））

=（P∧⌝Q）∨（Q∧（P∨R））

=（P∧⌝Q）∨（Q∧P）∨（Q∧R）

=（P∧⌝Q∧R）∨（P∧⌝Q∧⌝R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧⌝R）∨（P∧Q∧R）∨（⌝P∧Q∧R）

=（P∧⌝Q∧R）∨（P∧⌝Q∧⌝R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧⌝R）∨（⌝P∧Q∧R）

=m3∨m4∨m5∨m6∨m7=∑（3,4,5,6,7）.

7.G=（∀xP（x）∨∃yQ（y））→∀xR（x）

=⌝（∀xP（x）∨∃yQ（y））∨∀xR（x）

=（⌝∀xP（x）∧⌝∃yQ（y））∨∀xR（x）

=（∃x⌝P（x）∧∀y⌝Q（y））∨∀zR（z）

=∃x∀y∀z（（⌝P（x）∧⌝Q（y））∨R（z））

9.

（1）r（R）＝R∪IA＝{（a,b）,（b,a）,（b,c）,（c,d）,（a,a）,（b,b）,（c,c）,（d,d）},

s（R）＝R∪R－1＝{（a,b）,（b,a）,（b,c）,（c,b）（c,d）,（d,c）},

t（R）＝R∪R2∪R3∪R4＝{（a,a）,（a,b）,（a,c）,（a,d）,（b,a）,（b,b）,（b,c）,（b,d）,（c,d）}；

（2）关系图:

11.G＝（P∧Q）∨（⌝P∧Q∧R）

＝（P∧Q∧⌝R）∨（P∧Q∧R）∨（⌝P∧Q∧R）

＝m6∨m7∨m3

＝∑（3,6,7）

H=（P∨（Q∧R））∧（Q∨（⌝P∧R））

＝（P∧Q）∨（Q∧R））∨（⌝P∧Q∧R）

＝（P∧Q∧⌝R）∨（P∧Q∧R）∨（⌝P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（⌝P∧Q∧R）

＝（P∧Q∧⌝R）∨（⌝P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）

＝m6∨m3∨m7

＝∑（3,6,7）

G,H的主析取范式相同，所以G=H.

13.

（1）

（2）R•S＝{（a,b）,（c,d）},

R∪S＝{（a,a）,（a,b）,（a,c）,（b,c）,（b,d）,（c,d）,（d,d）},

R－1＝{（a,a）,（c,a）,（c,b）,（d,c）},

S－1•R－1＝{（b,a）,（d,c）}.

四证明题

1.证明：

{P→Q,R→S,P∨R}蕴涵Q∨S

（1）P∨RP

（2）⌝R→PQ

（1）

（3）P→QP

（4）⌝R→QQ

（2）（3）

（5）⌝Q→RQ（4）

（6）R→SP

（7）⌝Q→SQ（5）（6）

（8）Q∨SQ（7）

2.证明：

（A-B）-C=（A∩~B）∩~C

=A∩（~B∩~C）

=A∩~（B∪C）

=A-（B∪C）

3.证明：

{⌝A∨B,⌝C→⌝B,C→D}蕴涵A→D

（1）AD（附加）

（2）⌝A∨BP

（3）BQ

（1）

（2）

（4）⌝C→⌝BP

（5）B→CQ（4）

（6）CQ（3）（5）

（7）C→DP

（8）DQ（6）（7）

（9）A→DD

（1）（8）

所以{⌝A∨B,⌝C→⌝B,C→D}蕴涵A→D.

5.证明：

A－（A∩B）

=A∩~（A∩B）

＝A∩（~A∪~B）

＝（A∩~A）∪（A∩~B）

＝∅∪（A∩~B）

＝（A∩~B）

＝A－B

而（A∪B）－B

=（A∪B）∩~B

=（A∩~B）∪（B∩~B）

=（A∩~B）∪∅

=A－B

所以：

A－（A∩B）=（A∪B）－B.