三角函数解决实际问题.docx

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三角函数解决实际问题

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（经典版）

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三角函数解决实际问题

　　这是三角函数解决实际问题，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

　　三角函数解决实际问题第1篇

　　经典题目解析

　　1.分析根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点A到OC的距离，本题得以解决．点评本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

　　2.分析根据题意作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出AB的长．点评本题考查解直角三角形的应用、轴对称图形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

　　3.分析过点E作EM⊥AB与点M，根据斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：

可设CD＝x，则CG＝x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出CG与DG的长，故可得出EG的长．由矩形的判定定理得出四边形EGBM是矩形，故可得出EM＝BG，BM＝EG，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出结论．点评本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

　　6.分析过O作OE⊥BD，过A作AF⊥BD，可得OE∥AF，利用等腰三角形的三线合一得到OE为角平分线，进而求出同位角的度数，在直角三角形AFB中，利用锐角三角函数定义求出h即可．点评此题考查了解直角三角形的应用，弄清题中的数据是解本题的关键．

　　7.分析

（1）先由已知可得B、C两点的路程之比为5：

4，再结合B运动的路程即可求出C运动的路程，相加即可求出BC的长；

（2）当A向M方向继续滑动15cm时，AA'＝15cm，由勾股定理和题目条件得出△A'EB'、△D'FC'和梯形A'EFD'边长，即可利用割补法求出四边形四边形ABCD的面积．点评本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．

　　8.分析通过解直角△OAC求得OC的长度，然后通过解直角△OBC求得OB的长度即可．点评考查了解直角三角形的应用﹣方向角的问题．此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．

　　10.分析如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．点评本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

　　11.分析根据正切的定义分别求出、，结合图形计算即可．点评本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

　　12.分析在Rt△APC中，由AC的长及sinB＝0.63的值可得出AB的长，即可解答．点评本题考查了解直角三角形的应用，通过解直角三角形选择适当的三角函数求出三角形边长是解题的关键．

　　17.分析：

（1）要求B到C的时间，已知其速度，则只要求得BC的路程，再利用路程公式即可求得所需的时间；

（2）过C作CD⊥OA，垂足为D，设相会处为点E．求出OC=OBcos30°=60，CD=OC=30，OD=OCcos30°=90，则DE=90﹣3v．在直角△CDE中利用勾股定理得出CD2+DE2=CE2，即（30）2+（90﹣3v）2=602，解方程求出v=20或40，进而求出相遇处与港口O的距离．点评：

此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，锐角三角函数的定义，勾股定理等知识，理解方向角的定义，得出∠BCO=90°是解题的关键，本题难易程度适中．

　　18.考点解直角三角形的应用-方向角问题．分析

（1）根据题意得出：

∠CBD=30°，BC=120海里，再利用cos30°=，进而求出答案；

（2）根据题意结合已知得出当点B在A′的南偏东75°的方向上，则A′B平分∠CBA，进而得出等式求出答案．

　　20.分析

（1）在Rt△ACD中，由AD=可得答案；

（2）设AF=x米，则BF=AB+AF=9+x，在Rt△BEF中求得AD=BE==18+x，由cos∠CAD=可建立关于x的方程，解之求得x的值，即可得出AD的长，继而根据CD=ADsin∠CAD求得CD从而得出答案．

　　22.分析

（1）根据坡度的概念计算；

（2）作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，根据正切的定义求出EN，结合图形计算即可．点评本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

　　23.分析

（1）作EM⊥CD于点M，由EM＝ECsin∠BCM＝75sin46°可得答案；

（2）作E′H⊥CD于点H，先根据E′C＝求得E′C的长度，再根据EE′＝CE﹣CE′可得答案.点评本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数进行解答．

　　24.本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、弧长公式等知识；熟练掌握切线的性质和弧长公式是解题的关键．

　　25.分析

（1）过点作，垂足为点，交于点，利用旋转的性质可得出厘米，，利用矩形的性质可得出，在△中，通过解直角三角形可求出的长，结合及可求出点到的距离；

（2）连接，，，利用旋转的性质可得出，，进而可得出是等边三角形，利用等边三角形的性质可得出，在中，利用勾股定理可求出的长度，结合可得出、两点的距离．点评本题考查了解直角三角形的应用、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：

（1）通过解直角三角形求出的长度；

（2）利用勾股定理求出的长度．

　　26.此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是正确构造直角三角形．

　　27.本题考查了解直角三角形的应用、方向角、直角三角形的性质；正确作出辅助线是解题的关键．

　　28.分析由三角函数求出AC＝≈82.1m，得出BC＝AC﹣AB＝61.1m，在Rt△BCD中，由三角函数得出CD＝BC≈105.7m，即可得出答案．点评本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度适中．

　　30.本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积公式．锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．

　　三角函数解决实际问题第2篇

　　一、教学分析

　　三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数。

也就是说以角度为自变量，角度对应任意两边的比值为因变量的函数叫三角函数，三角函数将直角三角形的内角和它的两个边长度的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。

三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。

三角函数是基本初等函数之一，它是中学数学的重要内容之一，它的认知基础主要是几何中圆的性质、相似形的有关知识，在必修Ⅰ中建立的函数概念以及指数函数、对数函数的研究方法。

主要的学习内容是三角函数是概念、图像和性质，以及三角函数模型的简单应用；研究方法主要是代数变形和图像分析。

因此，三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了。

本章所介绍的知识，既是解决生产实际问题的工具，又是学习后继内容和高等数学的基础，三角函数是数学中重要的数学模型之一，是研究度量几何的基础，又是研究自然界周期变化规律最强有力的数学工具。

三角函数作为描述周期现象的重要数学模型，与其他学科联系紧密。

　　二、目标要求

　　1.总体要求

　　三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域有着重要作用。

在本模块中，学生将通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。

　　2.具体要求

（1）任意角、弧度制：

了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。

（2）三角函数

　　①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

　　②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（的正弦、余弦、正切），能画出y=sinx，y=cosx，y=tanx的图像，了解三角函数的周期性。

　　③借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2]，正切函数在上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x轴的交点等）。

　　三角函数解决实际问题第3篇

　　一、教学目标：

　　1.掌握用待定系数法求三角函数解析式的方法；

　　2.培养学生用已有的知识解决实际问题的能力；

　　3.能用计算机处理有关的近似计算问题.

　　二、重点难点：

　　重点是待定系数法求三角函数解析式;

　　难点是选择合理数学模型解决实际问题.

　　三、教学过程：

　　【创设情境】

　　三角函数能够模拟许多周期现象，因此在解决实际问题中有着广泛的应用.

　　【自主学习探索研究】

　　1．学生自学完成P42例1

　　点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时.

（1）求物体对平衡位置的位移x（cm）和时间t（s）之间的函数关系；

（2）求该物体在t=5s时的`位置.

　　（教师进行适当的评析.并回答下列问题：

据物理常识，应选择怎样的函数式模拟物体的运动；怎样求和初相位θ；第二问中的“t=5s时的位置”与函数式有何关系？

）

　　2．讲解p43例2（题目加已改变）

　　2．讲析P44例3

　　海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常的情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮是返回海洋.下面给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.

（1）选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的近似数值.

（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？

在港口能呆多久？

　　（3）若船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：

00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？

　　问题：

（1）选择怎样的数学模型反映该实际问题？

（2）图表中的最大值与三角函数的哪个量有关？

　　（3）函数的周期为多少？

　　（4）“吃水深度”对应函数中的哪个字母？

　　3．学生完成课本P45的练习1，3并评析.

　　【提炼总结】

　　从以上问题可以发现三角函数知识在解决实际问题中有着十分广泛的应用，而待定系数法是三角函数中确定函数解析式最重要的方法.三角函数知识作为数学工具之一，在以后的学习中将经常有所涉及.学数学是为了用数学，通过学习我们逐步提高自己分析问题解决问题的能力.

　　四、布置作业：

　　P46习题1.3第14、15题

　　三角函数解决实际问题第4篇

　　教学目标能应用三角函数的图象与性质解决有关实际问题，体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型。

　　重点难点能应用三角函数的图象与性质解决有关实际问题。

　　引入新课

　　1、如图，点为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为，周期为，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时。

（1）求物体对平衡位置的位移和时间的函数关系;

（2）求该物体在时的位置。

　　2、一半径为的水轮如图所示，水轮圆心距离水面，已知水轮每分钟转动圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间。

（1）将点距离水面的高度表示为时间的函数;

（2）点第一次到达最高点大约要多长时间?

　　（参考数据：

）

　　例题剖析

　　例1、一根长的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移和时间的函数关系式是。

（1）求小球摆动的周期;

（2）已知，要使小球摆动的周期是，线的长度应当是多少?

　　（精确到，取）

　　例2、心脏跳动时，血压在增加或减小。

血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为标准值。

　　设某人的血压满足函数式，其中为血压，为时间，试回答下列问题：

（1）求函数的周期;

（2）此人每分钟心跳的次数;

　　（3）画出函数的草图;

　　（4）求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值比较。

　　课堂小结

　　能应用三角函数的图象与性质解决有关实际问题。

　　课后训练

　　班级：

高一（）班姓名__________

　　一、基础题

　　1、在图中，点为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的'方向为物体位移的正方向。

若已知振幅为，周期为，且物体向右运动到平衡位置时开始记时。

（1）求物体对平衡位置的位移和时间之间的函数关系;

（2）求该物体在时的位置。

　　二、提高题

　　2、某城市一年中个月的月平均气温与月份数之间的关系可以近似地用一个三角函数来描述。

已知月份的月平均气温最高，为，月份的月平均气温最低，为。

求出这个三角函数的表达式，并画出该函数的图象。

　　三、能力题

　　3、如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度由下列关系式决定：

。

以为横坐标，为纵坐标，画出这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并且回答下列问题：

（1）小球在开始振动时（即时）的位置在哪里?

（2）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是什么?

　　（3）经过多少时间小球往复振动一次（周期）?

　　（4）每秒钟小球能振动多少次（频率）?

　　4、在一次气象调查中，发现某城市的温度的波动近似地按照规则

　　，其中是从某日∶开始计算的时间，且。

（1）画出温度随时间波动的图象;

（2）利用函数图象确定最高和最低温度;

　　（3）最高和最低温度在什么时候出现?

（4）在什么时候温度为：

①?

②?