利用三角函数求解最值问题.docx

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利用三角函数求解最值问题

利用三角函数求解最值问题

一、教学目标

1、知识技能目标：

以圆的内接矩形的最大面积的求法作为引例，使学生逐步探究在半圆，四分之一圆的内接矩形相关最值问题，学会用三角函数求得内接矩形面积的最大值，能够总结求解最值问题基本思路。

2、过程方法目标：

在恰当引进自变量、建立函数关系式的过程中，不断加强图形，文字，符号这三种数学语言的联系，培养学生讲实际问题抽象为数学问题的化归能力。

同时增强学生数形结合、分类讨论的数学思想，逐步提高学生应用意识和创新意识。

个问题的解决，培养学生积极主动的探索精神；通过加强学生的环保意识，增强学生的社会责任感

4、教材分析：

（1）教材的知识结构：

本节课是一节复习课，是以三角函数中的三角公式、三角函数的图象、三角函数的性质为必要基础。

属于人教版高中《数学》第四册（必修B）第一、三章内容。

（2）教材的地位和作用：

三角函数作为一种基本的初等函数，教材中主要介绍了各种三角公式及三角函数的图象与性质，对三角函数的具体应用涉及较少。

而新课程标准提倡在学生生活经验的基础上，教师尽可能多地提供各种机会让他们体验数学与日常生活及其他学科的联系，感受数学的应用价值。

本课为此联系生活实际提出问题，设计层层探究，促使学生出于证明或求解需要而思考引进自变量的特点，通过对常量和变量的分析，让学生体会三角函数的优势所在。

（3）对知识的处理：

本节课在设计上以“创设情景、揭示矛盾（提出数学问题）——自主探索、展开讨论（形成数学概念）——反思总结、归纳提升（获得数学结论）——巩固深化、学以致用（运用数学知识）”为教学模式。

本课从教材中的一道习题出发，以最常见、最熟悉的例子—锯木料为切入点，对教学内容层层分析挖掘，促使学生思考探究，给学生提供了观察、操作、表达等机会。

同时帮助学生对所学内容进行加工处理，使之条理化，系统化便于存储记忆，并通过解题运用不断加深对知识本质的认识。

培养了学生勇于探索、深入研究的优秀学习品质。

（4）教学过程与方法：

在教学中要注意学生的数学学习思维形成和深化过程，培养学生探究学习、合作学习的习惯。

让学生充分体会由特殊到一般的认识规律，培养学生学会观察、分析、发现、判断、归纳证明等研究问题的方法。

5、学情与学法指导

学情分析：

一方面从知识水平上看，学生刚学完三角函数的相关内容，对这一知识体系的综合运用能力没有达到一定高度，但已经具备一定的观察能力，分析能力和解题能力；另一方面师生之间比较熟悉，课堂沟通不成问题，在进度上可适当加快，但结构设计要符合学生的认知结构，要注重对学生观察，归纳能力的培养，而且要通过问题的设计激发学生自主探索的欲望。

学法指导：

通过对圆、半圆、四分之一圆的内接矩形面积最大值的探索，让学生学会多角度、多方法去观察问题、分析问题、研究问题，增强化归意识。

通过对问题的不断发掘，培养学生积极参与乐于研究的良好学风。

二、教学重点、难点

重点：

利用三角函数将实际问题化归

难点：

寻找恰当自变量，建立函数关系式

关键：

准确把握常量和变量之间的密切关系

三、教学过程与教学设计

课题

《利用三角函数求解最值问题》

课型

复习

授课教师

大连市第一中学数学组胡冬梅

教

学

目

标

1、知识技能目标：

以圆的内接矩形的最大面积的求法作为引例，使学生逐步探究在半圆，四分之一圆的内接矩形相关最值问题，学会用三角函数求得内接矩形面积的最大值，能够总结求解最值问题基本思路。

2、过程方法目标：

在恰当引进自变量、建立函数关系式的过程中，不断加强图形，文字，符号这三种数学语言的联系，培养学生讲实际问题抽象为数学问题的化归能力。

同时增强学生数形结合、分类讨论的数学思想，逐步提高学生应用意识和创新意识。

3、情感态度目标：

在探究活动中提高学生的学习兴趣，提高学习数学的信心，通过每个问题的解决，培养学生积极主动的探索精神；通过加强学生的环保意识，增强学生的社会责任感

教学重点

利用三角函数将实际问题化归

教学难点

寻找恰当自变量，建立函数关系式

教学关键

准确把握常量和变量之间的密切关系

教学方法

引导、讨论、发现、探究等方法，由浅入深，步步深入。

教学手段

充分运用多媒体，进行启发式教学

教学过程

教学活动

学生

活动

多媒体辅助

设计

意图

　设

置

情

境

引

入

探

究

问

题

大家都知道我们国家的森林资源非常短缺，面对这种基本国情，我们只能更充分地利用有效的资源，让它获得最大的使用效率。

今天我们也从节约木材的角度出发，来探讨以下问题，这是某工厂一批圆木的截面，根据生产需求，要把它锯成横截面为矩形的木材，那么怎样锯法使得矩形面积最大？

学生观察思考并回答问题

大屏幕展示下图

通过观察，使学生对所提出的问题有直观的印象并为进一步猜想作铺垫。

思考并回答：

（1）圆的内接矩形面积与哪些变量、常量相关？

（2）你能猜想圆的内接矩形何时面积最大吗？

（3）如何证明你的猜想呢？

你有几种方法？

（4）比较上述方法，寻求最简便的方法.

　小结引出课题：

灵活、准确地运用三角函数，为解决一些最值问题带来很大的方便。

本课，我们重点讨论利用三角函数求解最值问题。

学生动笔求解证明，并回答。

大屏幕呈现图形，后呈现学生的解答过程

三角函数方法：

1、通过矩形面积的最大值的求解过程唤起学生运用函数的意识。

2、注意自变量的取值范围使学生养成仔细审视、全方位考虑问题的良好习惯

自主探索、展开讨论

探究1：

若把上述问题中的圆木改换成半圆木，怎样截法得到面积最大的矩形？

观察半圆的内接矩形并回答：

1、半圆中哪个量是不变的？

2、内接矩形的长和宽于哪个量的变化相关？

3、你能用一个函数表示出它的面积吗？

小结渗透求解最值问题的基本思想，使学生初步体会三角函数的优越性。

学生设角为自变量，找出问题解决的关键。

1、大屏幕演示半圆的内接矩形面积的变化情况：

2、呈现学生的解法

1、有了前面的引导，放手让学生尝试解决，培养学生的独立性。

2、通过改变题设的条件，一题多变，培养学生类比、推理的能力。

探究2：

若把半圆木改成四分之一圆木，，截得矩形的最大面积是多少？

1、通过自己的想象，让学生画四分之一圆的内接矩形，并交流不同的意见。

2、通过讨论得出以下的结果：

截法1：

若让内接矩形一边在一条半径OP上。

截法2：

若让内接矩形的一组对边与弦PQ平行。

3、对于截法1进行与探究1半圆内接矩形的类比，使学生迅速解决此类问题

4、让学生反复观察截法2的动画过程

组织学生讨论：

（1）.矩形面积变化时哪些量始终不变？

（2）.哪些点的位置变化引起矩形面积改变且与常量相关？

（3）.选择哪个量为自变量？

5、通过讨论，学生寻找出恰当的自变量，建立起关于面积的函数式.运用三角的恒等变形求解出结果，使学生深刻领会三角函数的应用价值

6、学生完成解题过程的书写表达。

并巡视，纠正。

7、板演规范的书写表达。

1、让学生先思考、讨论，后由学生提出解题方案。

2、师生共同探讨矩形ABCD面积化归过程。

3、学生完善解题思路并反思总结引进自变量的方法

1、显示画法

2、演示截法2的动画，使抽象问题具体化。

让学生看清楚内接矩形的运动规律。

便于他们寻找变量与常量的关系。

3、学生板演解题过程。

如图设MOB=，则

1、进一步的深入研究在四分之一圆中的内接矩形的面积最大问题是更为复杂的思维过程，让学生先画出内接矩形的两种情况，便于寻找自变量和函数式。

2、通过师生共同讨论分析，使学生明确解决问题的关键是找出一个恰当的角为自变量。

3、通过图形、电脑动画辅助分析，进一步延拓学生思维的深度。

讨论、合作、交流、探索、尝试等活动使学生成为主动的学习者。

4、通过两种解法中所得的两个最大值的计算和比较过程，强化学生三角恒等变形的技能和规范的数学表达能力

反思总结、归纳提升

小结：

第一选择适当的“变量”作为函数自变量，寻求函数关系。

第二注意自变量的实际意义，确定定义域。

第三熟练进行代数式恒等变换。

最终得出结论。

学生结合上面两例题进行归纳小结。

板演小结内容。

为学生提供自我反思省悟的机会，培养学生归纳、抽象概括能力。

练习题

A组题

1、求60°扇形（120°扇形）的最大内接矩形面积。

2、在RtABC中，AB=2a，AC=a，A=90，当A、B两点分别在x轴、y轴的正半轴上移动，且点C与原点O在AB的两侧时，求OC长的最大值。

学生动脑、动手完成，可以讨论协作完成。

显示题目内容，点击显示答案。

A、B两组练习题是对不同层次学生的学习要求。

B组题：

半圆O的直径为2，A为直径MN延长线上一点，且OA=3，B为半圆上任意一点，以AB为边作正三角形ABC。

问AOB为多少时，四边形OACB面积最大？

并求出它的最大值。

这组题是提供给能力强的同学完成。

显示题目，点击显示答案。

并配动画。

让有能力的同学多做，为学有余力的学生留有进一步探索、发展的空间.

巩固深化、学以致用

作业：

某体育馆用运动场的边角地建一个矩形的健身房，如图所示。

ABCD是一块边长为50m的正方形地皮，扇形CEF是运动场的一部分，其半径为40m，矩形AGHM就是拟建的健身房，其中G、M分别在AB和CD上，H在弧EF上，设矩形AGHM的面积为S，HCF=，请将S表示为的函数，并指出当点H在弧EF的何处时，该健身房的面积最大？

最大面积是多少？

学生可以独立完成，

也可以合作完成。

通过对

实际问题

的转化求解，

巩固所学得

知识与方法。

板

书

设

计

课题

1、探究2中的截法1的解题过程

2、探究2中的截法2的解题过程

3、小结内容

四、学生的思维过程设计

1.设置情境,引入探究问题

师：

大家都知道我们国家的森林资源非常短缺，面对这种，我们只能更充分地利用有效的资源，让它获得最大的使用效率。

今天我们也从节约木材的角度出发，来探讨以下问题，大家请看大屏幕。

（大屏幕出现一批圆木，然后出现一根圆木的截面）

师：

这是一根圆木的截面，根据生产需求，要把它锯成横截面为矩形的木材，那么怎样锯法使得矩形面积最大？

（大屏幕展示下图）

师：

像这样在截面内画矩形，它的面积最大吗？

生：

不是

师：

若想使面积最大，矩形还需满足什么条件？

生：

这个矩形要内接于圆。

（大屏幕展示下图）

师：

圆的内接矩形不止一个，究竟哪一个面积最大？

生：

我们可以设这个内接矩形为ABCD，它的对角线BD就是圆的直径,我猜想矩形ABCD是圆的内接正方形时，面积能达到最大。

（大屏幕展示下图）

师：

这是个很好的想法，能不能证明这个猜想呢？

（同学们开始动笔证起来,一会儿就有学生举手）

生：

此时四边形ABCD是正方形。

（他的话音刚落，另一名同学又举手，她有另一种解法）

生：

我的自变量设的是矩形的边CD,已知ABCD横截面圆的半径为R，则BD=2R

设CD=x，则

于是

所以当即，S矩形ABCD最大值为2R2

此时四边形ABCD是正方形

师：

这两种证法都很好，一种方法是设角，引进三角函数；一种方法是设边，转化为二次函数的最值问题，都能解出矩形面积的最大值，它们的结果还验证了刚才那位同学的猜想。

结合这两种解法，我们来比较哪一种更简洁。

生：

设角的方法

师：

对，恰当地设角，引进三角函数可以简化问题的解决过程。

这正是三角函数的魅力所在。

这个问题还要我们的具体操作，你现在知道怎样来锯这根圆木了吗？

生：

过圆心做两条互相垂直的直径，连接直径与圆的四交点，就是我们要求得内接正方形，沿着正方形的边来锯木料。

（大屏幕显示下图）

2.自主探索、展开讨论

师：

很好。

今天，我们继续从节约木材的角度出发，再来探求几个问题

探究1：

若把上述问题中的圆木改换成半圆木，怎样截法得到面积最大的矩形？

生：

矩形应当是半圆的内接矩形（大屏幕显示下图），我们来求内接矩形的最大值。

师：

怎么求内接矩形的最大值呢？

我们观察矩形长和宽的变化是由哪些因素引起的？

生：

连接OC,设COB=，

的变化引起这个内接矩形的面积发生改变

师：

在半圆里，我们抓住了半径这个不变的常量，再观察出内接矩形的面积是随着半径OC与半圆的底边直径的夹角而变化的，这样问题就能迅速解决。

师：

探究2：

若把半圆木改成四分之一圆木，，截得矩形的最大面积是多少？

（学生开始动手画四分之一圆木的内接矩形，经过学生的亲自动脑思考和讨论后，教师提问画法）

生：

有两种截法，一种是让矩形一边在一条半径OP上；另一种截法，让矩形一组对边与弦PQ平行。

（大屏幕显示下图）

师：

对于第一种截法，内接矩形的长和宽随着哪些量在变化？

能不能求出这个矩形面积的的最大值？

生：

连接OC，矩形的长和宽都与∠COB有关，设COB=,则

师：

对于第二种截法呢？

大家找到影响内接矩形变化的相关量了吗？

（同学们议论纷纷，很多同学看不出常量和变量的关系）

师：

我们来看大屏幕这个内接矩形是怎么变化的？

（观察几次后，教师让学生讨论）

学生讨论：

1.矩形面积变化时哪些量始终不变？

2.哪些点的位置变化引起矩形面积改变且与常量相关？

3.选择哪个量为自变量？

（经过小组的讨论以及不断的交流,大家达成共识,并推举一名同学进行阐述）

生：

如图设MOB=，则

（大屏幕显示下图）

生：

因为

，所以探究2的结论是让矩形一边在一条半径OP上可以得到内接矩形面积的最大值。

（话音刚落，班级里响起了一阵热烈的掌声）

师：

同学们想得很周密，运算得也很准确，经过大家的一致努力，我们终于解决了这个难题，这说明只要我们积极主动地认真思考，每个人都可以成为学习的主宰者！

3.反思总结、归纳提升

师：

下面我们总结这类问题的解法，以便于在后续学习中借鉴

（学生初步总结，教师适当补充）

小结：

第一选择适当的“变量”作为函数自变量，寻求函数关系。

第二注意自变量的实际意义，确定定义域。

第三熟练进行代数式恒等变换。

最终得出结论。

A组练习：

（1）求60°扇形（120°扇形）的最大内接矩形面积。

（2）在RtABC中，AB=2a，AC=a，A=90，当A、B两点分别在x轴、y轴的正半轴上移动，且点C与原点O在AB的两侧时，求OC长的最大值。

B组练习：

半圆O的直径为2，A为直径MN延长线上一点，且OA=3，B为半圆上任意一点，以AB为边作正三角形ABC。

问AOB为多少时，四边形OACB面积最大？

并求出它的最大值。

4.巩固深化、学以致用

作业：

某体育馆用运动场的边角地建一个矩形的健身房，如图所示。

ABCD是一块边长为50m的正方形地皮，扇形CEF是运动场的一部分，其半径为40m，矩形AGHM就是拟建的健身房，其中G、M分别在AB和CD上，H在弧EF上，设矩形AGHM的面积为S，HCF=，请将S表示为的函数，并指出当点H在弧EF的何处时，该健身房的面积最大？

最大面积是多少？