学而思寒假七学年尖子班讲义第1讲平行线四大模型.docx
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学而思寒假七学年尖子班讲义第1讲平行线四大模型
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Contents
第1平行四大模型⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1
第2数三大概念⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17
第3平面直角坐系⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯33
第4坐系与面初步⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯51
第5二元—次方程⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯67
第6含参不等式〔〕⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯79
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平行线四大模型
知识目标
目标一熟练掌握平行线四大模型的证明
目标二熟练掌握平行线四大模型的应用
目标三掌握辅助线的构造方法，熟悉平行线四大模型的构造
秋季回忆平行线的判定与性质
、平行线的判定
根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线
无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单
易行的判定方法来判定两直线平行．
判定方法l：
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
简称：
同位角相等，两直线平行．
判定方法2：
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简称：
内错角相等，两直线平行，
判定方法3：
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
简称：
同旁内角互补，两直线平行，
.
如上图：
假设∠1=∠2，那么AB∥CD〔同位角相等，两直线平行〕；
假设∠1=∠3，那么AB∥CD〔内错角相等，两直线平行〕；
假设∠1+∠4=180°，那么AB∥CD〔同旁内角互补，两直线平行〕．
另有平行公理推论也能证明两直线平行：
平行公理推论：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
2、平行线的性质
利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反
过来，如果两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同
旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．
性质1：
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．
简称：
两直线平行，同位角相等
性质2：
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简称：
两直线平行，内错角相等
性质3：
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．
简称：
两直线平行，同旁内角互补
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本讲进阶平行线四大模型
模型一“铅笔〞模型
点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔〞模型
结论1：
假设AB∥CD，那么∠P+∠AEP+∠PFC=360°；
结论2：
假设∠P+∠AEP+∠PFC=360°，那么AB∥CD.
模型二“猪蹄〞模型〔M模型〕
点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄〞模型
结论1：
假设AB∥CD，那么∠P=∠AEP+∠CFP；
结论2：
假设∠P=∠AEP+∠CFP，那么AB∥CD.
模型三“臭脚〞模型
点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚〞模型
结论1：
假设AB∥CD，那么∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；
.
结论2：
假设∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，那么AB∥CD.
模型四“骨折〞模型
点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折〞模型
结论1：
假设AB∥CD，那么∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；
结论2：
假设∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，那么AB∥CD.
稳固练习平行线四大模型证明
〔1〕AE//CF,求证∠P+∠AEP+∠PFC=360°
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〔2〕∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．
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3〕AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.
〔4〕∠P=∠CFP-∠AEP,求证AE//CF.
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模块一平行线四大模型应用
例1
〔1〕如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3=．
（2）如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，那么∠E的度数是．
（3）如图，AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，那么∠BCD=.
（4）如图，射线AC∥BD，∠A=70°，∠B=40°，那么∠P=．
练
（1）如下图，AB∥CD，∠E=37°，∠C=20°，那么∠EAB的度数为．
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〔七一中学2021-2021七下3月月考〕
如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．那么∠C=.
例2
如图，AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.
练
如图，AB∥DE，∠FBC=1∠ABF，∠FDC=1∠FDE.
nn
（1）假设n=2,直接写出∠C、∠F的关系；
假设n=3，试探宄∠C、∠F的关系；
（3）直接写出∠C、∠F的关系〔用含n的等式表示〕.
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例3
如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．求证：
∠E=2（∠A+∠C）.
练
如图，己知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.
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例4
如图，∠3==∠1+∠2，求证：
∠A+∠B+∠C+∠D=180°．
练
〔武昌七校2021-2021
七下期中〕如图，
AB
⊥，
AE
平分∠
BAD
交
BC
于
，
AE
⊥
，∠+∠2=90°，
BC
E
DEl
M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点
F那么∠F的度数为〔
〕．
A.120°B.135°C.145°D.150°
模块二平行线四大模型构造
例5
如图，直线AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，那么
∠GHM=.
.
练
如，直AB∥CD，∠EFG=100°，∠FGH=140°，∠AEF+∠CHG=.
例6
∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=l0°，求：
AB∥EF．
练
AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.
如（l），MA1∥NAn，探索∠A1、∠A2、⋯、∠An，∠B1、∠B2⋯∠Bn-1之的
关系．
（2）如
（2），己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之的关系．
（3）如（3），MA1∥NAn，探索∠A1、∠A2、⋯、∠An之的关系．
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如下图，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．
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挑战压轴题
〔粮道街2021—2021七下期中〕
如图1，直线AB∥CD，P是截线MN上的一点，MN与CD、AB分别交于E、F．
假设∠EFB=55°，∠EDP=30°，求∠MPD的度数；
（2）
当点P在线段EF上运动时，∠CPD与∠ABP的平分线交于Q,问：
Q是否为定值？
假设是定值，请
DPB
求出定值；假设不是，说明其范围；
（3）
当点
P
在线段
EF
的延长线上运动时，∠
与∠
的平分线交于
Q
，问
Q
的值足否认值，请
CDPABP
DPB
在图2中将图形补充完整并说明理由．
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第一讲平行线四大模型〔课后作业〕
1.如图，AB//CD//EF,EH⊥CD于H,那么∠BAC+∠ACE+∠CEH等于（）.
A
.180°
B
.270°
.360°
D
.450°
C
2．〔武昌七校2021-2021
七下期中〕
假设AB∥CD，∠CDF=2
∠CDE，∠ABF=2
∠ABE，那么∠E：
∠F=（）．
3
3
A．2:
1B．3:
1C．4:
3D．3:
2
3.如图3，己知AE∥BD，∠1=130°，∠2=30°，那么∠C=.
4.如图，直线AB∥CD，∠C=115°，∠A=25°，那么∠E=．
5．如阁所示，AB∥CD，∠l=ll0°，∠2=120°，那么∠α=.
.
6．如下图，
AB
∥，∠=116
°，∠
=93°，那么∠=
.
DFD
DCB
B
7．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b.∠1=50°，∠2=60°，那么∠3的度数为.
8．如图，AB∥CD，EP⊥FP,∠1=30°，∠2=20°．那么∠F的度数为．
9.如图，假设AB∥CD，∠BEF=70°，求∠B+∠F+∠C的度数.
10．，直线AB∥CD．
.
如图l，∠A、∠C、∠AEC之间有什么关系？
请说明理由；
〔2〕如图2，∠AEF、∠EFC、∠FCD之间有什么关系？
请说明理由；
（3）如图3，∠A、∠E、∠F、∠G、∠H、∠O、∠C之间的关是.
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