流体力学第五章习题.docx
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流体力学第五章习题
P125
第五章习题
5-1
流速为uo=10m/s
沿正向的平均流与位于原点的点涡叠加。
已知驻点位于（
0，5），试
求
（1）点涡的强度；
（2）点（0，5）的流速；（3）经过驻点（
0，-5）的流线方程。
平均流与位于原点的点涡叠加后的速度势为。
=v0rcos
0
此中
0为沿顺时针方向点涡涡强。
2
在极坐标下：
A
驻点为（0，5），则
vr
v0cos0v0cos
1
r
v0sin
0
v
2r
r
3,r5
2
（1）vr
v0cos（3
）
0
2
v
v0
sin（3
）
0
0
010
v0100
即点涡强强度
2
2
5
1100
（2）点（0，5）的流速
r5代入vr,v
2
vr
v0cos0
v
100
100
即v0,u20m/s
v0sin
v0
20（m/s）
2r
10
负号表示以逆时针方向为正
（3）经过驻点（0，5）的流线方程
平均流与位于原点点涡叠加后的流函数
v0r
sin
0
lnr
2
将（0，5）对应
3
r5代入上
式得：
2
驻点
10
5（-1）50ln550
50ln5
即
0
y
50lnr
50
50ln5
y
50lnr
5ln5
5
0
y
5lnr
50
5
5-2平面势流由点源和点汇叠加而成，点源位于（
-1，0），其流量为120m3/s，点
汇位于（2，0）点，其流量为
240m3/s，已知流体密度为
1.8kg/m3，流场中（0，
0）点的压力为0，试求点（0，1）和（1，1）的流速和压力。
解：
平面势流点源和点汇组成的速度势为：
-1
0
2
A（源）
B（汇）
m1ln（xxA）2
y2
m2ln（xxB）2
y2
2
2
u
m1
x
xA
m2
xxB
2
（xxA）2
y2
2
（xxB）2
y2
v
m1
y
m2
y
2
（xxA）2
y2
2
（xxB）2
y2
因：
m1
1
20
m
3
/
2
403
/
xA
1,
xB
2
sm2
m
s
u
10
x
1
20
x
2
（x1）2
y2
（x2）2
y2
则
10
y
20
x
2
v
（x1）2
y2
（x2）2
y2
（1）则点（0，1）的速度为：
u
10
0
1
20
0
2
10
1
20
2
13
（0
1）2
12
（0
2）2
12
2
5
（m/s）
（2）
v
10
1
12
20
1
12
10
1
20
2
1（m/s）
（0
1）2
（0
2）2
2
5
因为全流场中随意一点知足伯努力方程的拉格朗日形式（
p72,）即
v2
P
z
c
则（0，0
），（0，1
），（1
，1）都知足上式，因P（0,0）0
2
v（0,0）
u（0,0）
10
（0
0
1
0
20
0
2
20（m/s）
1）2
（0
2）2
0
2
P（0,0）
2
P（0,1）
（13）2
（
1）
2
v（0,0）
z（0,0）
v（0,1）
z（0,1）
P（0,1）
1
2
2
2
则
P（0,1）19.17（N/m2）
（2）（1，1）点流速与压力
u（1,1）
10
1
1
20
1
2
10
2
20
1
14
（1
1）2
12
（1
2）2
12
5
2
（m/s）
v（1,1）
10
1
12
20
1
12
10
1
20
1
8（m/s）
（1
1）2
（1
2）2
5
2
因：
v（20,0）
P（0,0）
z（0,0）
v（21,1）
P（1,1）
z（1,1）
2
2
（20）2
（14）2
（8）2
P（1,1）
1
2
2
400
260
P（1,1）
2
2
2
1
70
P（1,1）
P（1,1）
10.97（N/m
2
）
21
5-3直径为2m的圆柱体在水下深度为
H=10m以平移速度u0运动，试求
（1）A、B、C、D四
点的绝对压力
（2）若圆柱体运动的同时还遇到自己轴线以角速度
60r/min转动，试决定驻
点的地点以及
B、D两点的速度和压力。
此时若水深增至100m，求产生空泡时的速度（注：
温度为15c时，水的饱和蒸汽压力为
2.332103
N/m2。
）
P0
（1）
等效于：
平均流+偶极
y
BH
A
C
x
u0
D
偶极强度：
M2v0a2
a1m,v0u010m/s,M2v0a2
20
平均流与偶极叠加的速度势：
v0rcos
M
cos
2
r
vr
v0
cos
M
cos
v0cos
（1
a2
r
2
r
2
r
2）
v
1
v0
sin（1
a2
r
r
2）
代入r=a
的圆柱表面的速度散布为：
vr
0,v
2v0sin
B
C:
0
vAvC
0
vB
A
A:
C
vD
D
B
：
2
vB
2v0
D
：
3
vD2v0
2
从无量远流体流向：
Q
A，列出伯努力方程：
PQ
P0
hg1.013105
103
9.81
10
1.994105（帕）
注：
P0取1标准大气压
PQ
1v02
PA
1vA2
2
2
PA
PQ
1
v02
1.994
105
0.5103
102
2.494
105
249.4103（N/m2）
2
若取P0为一个工程大气压：
P0
0.981
105Pa
则
PA
246.2103（N/m2）
（与课后答案一致，暂取
P0为一个工程大气压）
P
P'
gh
P'
P
gR（静止状态，液体静力学方程）
A
B
B
A
A、B两点列伯努力方程
gzA
PA
1vA2
PB
1vB2
gzB
2
2
zA
0,zB
R,vA
0,vB
2v0
PA
PB
1
（2V0）2
gR
2
PB
PA
1
4v02
gR
2
246.2
103
1
103
4
102
103
9.81
1
2
246.21032001039.8110336.4103（N/m2）
A、D列伯努力方程
gR
PA
PD
1
（2v0）2
2
PD
gR
PA
1
（2v0）2
2
246.2
103
103
9.81
1
1
103
4
102
2
56.1
103（N/m2）
PA
PC
246.2
103（N/m2）
（2）等效于绕圆柱有环量流动
v0cos
（r
a2
）
0
r
2
0
2
a2
60r/min
60
2
/602（rad/s）
a
1m,
0
（2
）2
2
vr
v0
cos（1
a2
）
速度散布：
r
r
1
a2
0
v
r
v0sin
（1
r2）
2r
圆柱表面r=a
上速度散布为：
vr
0
v
2v0
sin
0
2r
假定无量远处
PP0',vv0由定常运动的伯努力方程的圆柱表面压力散布为：
（质量力忽视不计）
P0'
1v02
P
1v2
2
2
1
1
2
P
P0'
v02
2v0sin
0
2
2
2a
此中P0'
P0
gH
0.981
105
103
9.81
101.962105（N/m2）
vA
B
A:
v
2vsin
0
（2
）2
v
A
6.28m/s
0
B
2a
2
1
D
A
C
vD
D
vC
B:
2
vB
2v0sin
0
2
v01
（2
）2
26.28m/s
2a
2
1
C:
0
vC
2v0sin
0
6.28m/s
2a
）2
3
vC
2v0sin
0
2
v0（
1）
（2
13.72m/s
D:
2a
2
1
2
列A、B两点伯努力方程
PB
P0'
1v02
1vB2
gR
1vA2
2
2
2
1.962
105
1
103
102
1
103
26.282
103
9.81
1
1
103
6.282
2
2
2
驻点地点：
v
2v0
sin
0
0
2a
2v0sin
0
2a
）2
2
10sin
（2
2
1
2
sin0.314
20
arcsin（0.314）
当H增添到100米,vB速度>vD,应vB先产生气泡，其速为
PB
PA
1
vA2
gR
1
vB2
2
2
PB
2.332
103（N/m2）
2.332
103
gH
1
v02
1
vA2
1
vA2
gR
1vB2
2
2
2
2
2.332
9810.5v02
9.81
0.54v0
2
981
0.5v02
9.81
2v02
2v0
2
1.5v02
12.57v0
（2.332981
9.81
2
2）
0
1.5v02
12.57v0
949
0
v0
b
b2
4ac
12.57
12.572
6
949
（取正）29.68m/s
2a
3
5-4写出以下流动的复势（
1）u
U0cos
v
U0sin
;
（2）强度为
m，位于（a，0）点
的平面点源；（3）强度为
位于原点的点涡；（3）强度为M，方向为
，合于原点的平面偶
极
（1）
u0
x
v0
y
U0
cos
x
U0
sin
y
U0cos
y
U0
sin
x
u
yvx
w（z）
i
U0cos
xU0sin
y
i（U0cos
yU0sin
x）
U0
cos
（x
iy）
U0
sin
（y
ix）
U0
cos
z
（
i）U0
sin
（x
iy）
U0
cos
z
iU0
sin
z
U0
z
（cos
isin
）
U0
zei
（2）强度为m，位于（a,0）点源的复势，只要求强度为
m，位于（0，0）点的复势
m
2r
vr
vr
m,v
0
2r
vrdr
v
rd
m
dr
mlnr
2r
2
vdr
vr
rd
m
m
源强
2
d
2
w（z）
i
mlnr
i
m
mlnrlnei
mln（rei）
mlnz
2
2
2
2
2
则合于（a，0）的点源复势为
w（z）za
mln（za）
2
2
2
lnr
w（z）
i
2
i（
lnr）
2
（3）
（
i
lnr）
2
i
i
）
（lnr
2
i（lnr
ei
）
2
ilnz
位于原点点涡复势
2
位于（a,0）点涡的复势为：
w（z）za
iln（za）
2
（4）强度为M，方向为
，位于原点的平面偶极
汇
x0
2
y02
y0
（x0
x0,y0y0）
tan
x0
源
源的速度势：
m
（源位于原点）
lnr
2
汇的速度势：
mlnr
（汇位于原点）
2
点源此刻位于（
x0
）点汇位于（
）
y0,
x0x0,y0y0
求解推导以下：
点源位于（
x0,y0）点汇位于（x0
x0,y0y0）
则源和汇叠加流场的速度势为：
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