巧用勾股定理解决几何问题试题.docx
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巧用勾股定理解决几何问题试题
巧用勾股定理解决几何问题
［重点难点易错宜点宜《通3
一、勾股定理在解决几何问题中的应用技巧
1.构造直角三角形
根据题意，合理构造直角三角形，比如等腰三角形中的求值或面积问题，经常作高构造直角三角形。
女口：
在ABC中，AB=AC=5BC=8求三角形ABC的面积。
.答案：
12。
2.利用勾股定理列方程
将三角形的边用同一未知数表示，列出方程，解出所求值。
（1）在翻折问题中，大多数求值都是这种应用
女口：
如图，矩形纸片ABCD中，AB=8,AD=6折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG则AG的长为多少？
答案：
3。
（2）求折断物体长度时，使用方程
女如:
一根竹子高10尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面高度是多少？
91
答案：
一尺。
20
3.分类讨论思想
已知一个直角三角形的两边长，并没有指明是直角边还是斜边，因此要分类讨论。
女口：
已知一个直角三角形的两边长是3cm和4cm，求第三边的长。
答案：
5cm或J7emo
4.数形结合思想
几何与代数问题的综合。
女口：
在一棵树的5米高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树10米的池塘，而另
只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？
答案：
7.5米。
二、特殊几何图形中的勾股定理计算规律
1.含有30
（1）30°
（2）60°
2.等边三角形
高等于边长的—倍。
2
总结：
（1）勾股定理的几何应用是学习的重点内容，要在直角三角形中灵活运用。
（2）要有意识的训练自己辅助线的添加，经常性的思考不同问题的不同添加法。
逊【真题S鬆名校豊蠶题经典】
例题AAB是直角三角形，且AiA2=AB=a,AA3丄AiB,垂足为A,AA丄AB,垂足为A4,AA5丄A3B,垂足为A5,…，A+iAn+2丄AnB,垂足为A+2,则线段A+iAn+2（n为自然数）的长为（）
aaaa
历（72）422n
解析：
先根据勾股定理及等腰三角形的性质求出AA3及AA的长，找出规律即可解答.
AiA2=A2B=a,AA3丄AiB,•A\B=yja'^ca=^f2a,
答案：
•/△A1A2B是直角三角形，且•••△AAB是等腰直角三角形，
.A…A1逅aa
••AeA3=AA3=—AB==—=,
22松
同理，△A2A3B是等腰直角
辰
三角形，A2A3=A3B=—,A3A4丄A2B,A2B=a,
2
A3A4=AA4=1A1B=-a阜,
22羽
•••线段A+iA+2（n为自然数）的长为
故选Ao
点拨：
规律性题目，涉及到等腰三角形及直角三角形的性质，解答此题的关键是求出A2A3及A3A4的长，并找出规律.
j命【柘展3结谨升S分必读】
分类讨论求值
近年来，在各地中考试题中涉及“分类讨论”的问题十分常见，因为这类试题不仅考查
同学们的数学基本知识与方法，而且考查了同学们思维的深刻性。
在解决此类问题时,
虑不周全导致失分的较多，究其原因主要是平时的类讨论”的数学思想渗透不够。
所以同学们要充分考虑
例题
A.14
解析：
在^ABC中，AB=13,AC=15BC边上的高
B.4C.14或4
分两种情况讨论：
锐角三角形和钝角三角形，
因考.学习中，尤其是在中考复习时，对“分不同情况下的求值。
AD=12,则边BC的长是（）
D.756
根据勾股定理求得BDCD再由
图形求出BC在锐角三角形中，BC=BD+CP在钝角三角形中，BC=CD-BD
答案：
解：
（1）如图，锐角△ABC中，AB=13,AC=15BC边上高AD=12在Rt△ABD中AB=13,AD=12,由勾股定理得：
bD=AB-AD2=132-122=25，贝UBD=5在Rt
△ACD中AC=15,AD=12由勾股定理得：
cD=aC-AD2=152-122=81,贝UCD=9故BC的长
为BD+DC=9+5=14
（2）钝角△ABC中,AB=13,AC=15,BC边上高AD=12
在Rt△ABD中AB=13,AD=12,由勾股定理得：
BD=aB-AD2=132-122=25,贝UBD=5在Rt
△ACD中AC=15,AD=12由勾股定理得：
cD=aC-AD2=152-122=81,贝UCD=9故BC的长
为DC-BD=9-5=4.综上可得BC的长为14或4.故选C.
生活中的勾股定理方案设计
在实际生活中应用勾股定理。
例题某园艺公司对-一块直角三角形的花园进行改造，测得两直角边长分别为b=8米.现要将其扩建成等腰三角形，的等腰三角
形花圃的周长为（
且扩充部分是以
）米
b为直角边的直角三角形,
a=6米，
则扩建后
A.32
或20+475
C.32
或80或20+475
D.32
80
B.32或36或巴^
3
或36或80或20+4J5
33
解析：
由于扩充所得的等腰三角形腰和底不确定，若设扩充所得的三角形是△
应分为①AB=AD②ad=bd两种情况进行讨论.
答案：
解：
如图所示：
在Rt△ABC中，•••AC=8m
=10+10+6+6=32（m；
BD=x（m），CD=（x-6）m；25
x=——；
3
囲1图？
如图1,当AB=AD寸，DC=BC=6m此时等腰三角形花圃的周长
女口图2:
当AD=BD寸，设AD=BD=x（m）;Rt△ACD中,
由勾股定理，得aD=dC+cA，即（x-6）2+82=x2，解得
此时等腰三角形绿地的周长=25X2+10=80（m.
33
当AB=BD寸，在Rt△ACD中,AD=/aC2+CD2=J82+（10—6）2=4^5,•••等腰三角形绿地的周长=2X10+4（5=20+4J5（m）.
故选C.
【即学即测巩固提升】
（答题时间：
45分钟）
一、选择题
1.观察以下几组勾股数，并寻找规律：
①4，3，5:
②6，8，10；③8,15,17;④10,
24,26;…，根据以上规律的第⑦组勾股数是（）
A.14、48、49B.16、12、20C.16、63、65D.16、30、34
2.
如图，一个长为梯子的顶端下滑1米，
A.等于1米B.
Rt△ABC的斜边AC为直角边，画
AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE…，依此）
D.
V'2n*cm
F
A出发，经过每个面的中心点后,
*4.如图所示，一只小蚂蚁从棱长为1的正方体的顶点
又回到A点，蚂蚁爬行最短程S满足（）
A.5DE在BC上，且/DAE=45,
①AB丄DE②/ADE=
④ADIEE'⑤bD+cE=dU正确的有（）
**5.如图，△ABC是等腰直角三角形，/BAC=90，点
现将△ACE绕点A旋转至△ABE处，连接DE和EE'，则下列结论中/BAEAEE是等腰直角三角形
个
A.1个B.2个C.3个D.4
二、填空题：
*6.如图，一牧童在A处放羊，牧童的家在B处，A、B距河岸的距离ACBD分别为500m
和700m且C、D两地相距500m,天黑前牧童要将羊赶往河边喝水再回家，那么牧童至少应该走m.
45°降至30°.已知滑梯
AD的长是m.
*7.如图，为安全起见，幼儿园打算加长滑梯，将其倾斜角由AB的长为3m,点DBC在同一水平地面上，那么加长后的滑梯
**8.勾股定理是初等几何中的一个基本定理.这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，
人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最早
证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个
正方形，它可以验证勾股定理•在如图的弦图中，已知：
正方形EFGH的顶点E、F、GH
分别在正方形ABCD的边DAABBCCD上.若正方形ABCD的面积=16,AE=1;则正方形EFGH的面积=
ab
**9.图
（1）是一个面积为1的正方形，经过第一次“生长”后，在它的左右肩上生出两
个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，如图
（2）;经过第2次“生长”
后变成图（3）,经过第3次“生长”后变成图（4）,如果继续“生长”下去，它将变得更加“枝繁叶茂”，这就是美丽的“勾股树”.已知“生长”后形成的图形中所有正方形的面
积和存在一定的变化规律，请你利用这一规律求：
①经过第一次“生长”后的所有正方形的
面积和为，②经过第10次“生长”后，图中所有正方形的面积和为：
三、解答题：
*10.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）.图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中
**12.点D.
（1）求D点的坐标；
（2）
如图所示，A、B两点在x轴、y轴上的位置不变，在线段AB上有两动点MN,满足/MON=4°，下列结论①BM+AN=MN②bM+aN=mN,其中有且只有一个结论成立，请你判断哪一个结论成立，并证明成立的结论.
叮iy1
1.
C解析：
根据题目给出的前几组数的规律可得：
这组数中的第一个数是第二个是：
n（n+2）,第三个数是：
（n+1）2+1,故可得第⑦组.勾股数是选C.
2.B解析：
如图，AC=EF=10米,AB=8米，AE=1米，求CF；v/B=90°,
BC=6米，又vAE=1米，BE=7米，EF=10米，由勾股定理得，BF=J5i米，v>749,
即冏>7,aj5i-6>1.故选B.
5.D解析：
（1）・.公ABC是等腰直角三角形，/BAC=90,a/ABC=/C=45,v/
ADE=ZABC/BAD/BAEKDAE+ZBADv/DAE=45,a/ADE玄BAE「•②正确。
（2）•/△ACE绕点A旋转至△ABE处，•••AE=AE,/EAC/E’Abv/BAC=90,a/E’AB+/BAE=90，•/EAB'+/BAE=90,•△AEE是等腰直角三角形；a③正确。
（3）v
/DAE=45,/BAC=90,••/EAC+ZBAD=45,v/EAC/E’AB••/DAE=/EAD=45,•••△AEE是等腰直角三角形，aADIEE',••••④正确。
（4）v/C=/E'BA=/DB/=45°,
•••/E'BD=90,vEC=EB,abD+CE=dE\a⑤.正确，综上所述.••②③④⑤项正确.故
选D.
6.1300解析：
解：
作A关于CD的对称点E,连接BE,并作BFIAC于点F.
贝UEF=BD+AC=700+500=1200mBF=CD=500m在Rt△BEF中，根据勾股定理得：
BE=JbF2+EF2=丿5002+12002=1300米.
7.3j2解析：
设AC=xm,•••/ABC/BAC=45,•BC=xm,v滑梯AB的长为3m,
•2x=9，解得x=3J2,•••/D=30,•••AD=2ACaAD=3m,故答案为：
“。
2
8.10解析：
•••四边形EFGH是正方形，aEH=FE/FEH=9C°,v/AEF+ZAFE=90,
9A=ND〕
II
{ZAFE=NDEH汀.△AEF[eF=HEJ
16,aAB=BC=CD=DA=4a
/AEF+/DEH=90,a/AFE=ZDEH,•••在厶AEF和^DHE中,
g△DHE（AAS）,•••AF=DE,•••正方形ABCD的面积为
AF=DE=AD-AE=4-1=3在Rt△AEF中，EF=JaE2+
=XJT0=1O.故答案为：
10.
9.2;11解析：
如图2：
设直角三角形的三条边分别是a、b、c•根据勾股定理，得a2+b2=c2,
即:
正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1;所有正方形的面积之和为2（1+1）X1;图（3）正方形E的面积+正方形F的面积=正方形A的面积，正方形M的面积+正方形N的面积=正方形.B的面积，正方形E的面积+正方形F的面积+正方形M的面积+正方形N的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1，所有正方形的面积之和为3=
（2+1）X1…推而广之，“生长”了n次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（n+1）
X1，则：
“生长”了10次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（10+1）x1=11.故答案为：
AF2=JT0，故正方形EFGH的面积
图⑴
10.解：
•••图中正方形ABCD正方形EFGH正方形MNKT的面积分别为S、S、aCG=NG
CF=DG=NFaS1=（CG+DG2=CG2+DG2+2CG?
DG=GF2+2CG?
DGGF2
S3=（NG-NF2=NG2+NF22NG?
N=gF-2NG•NF,
10
•••S1+S2+S3=10=GF2+2CG?
DG+GF2+GF2NG?
NF=3GF2^S的值是：
—
3
11.解：
如图，关系为20D=bD+cD.作OEIOD交AC于E,连接0GDE得到△OBD^^OCE从而Rt△DCE与Rt△EOD中，ch+DCuDE'OD+oEuDE由BD=CEOD=OE所以2OD=B[i+cD,（也可过O作BC垂线）.
12.解：
（1）过点D作DEIAB于E,设D点坐标为（m0）,根据题意得：
OB=1,OA=1
OD=m在Rt△AOB中，A占=oA+OB，所以AB=J2,/A=45;在^DOB和^DEB中，
Ndob
*NOBD
=NDEBl
=NEBD〉•••△DOB^AEDB（AAS,••OD=ED=mOB=EB=1在^AED中,/A=45,
BD=BD
（2）结论②正确；过点O作OE!
OM并使OE=OM连接NEAE在^MOB^HAEOA中,
Ob=OA
*NMOB=NAOE•△MOi^AEOA（SAS,•-BM=AE/B=/OAE在^MOIN^H^EON中，
I
[OM=OE
OM=OE
*NMON=NNOE=45°•△MON^AEONSAS；•-MN=EN又NAE=^NAO#OAE=90,
[ON=ON
•••△NAE为直角三角形，•••nA+aE=nE^.bM+aN=mN,即结论②正确.
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